La soustraction, a pour but , étant donnés deux nombres

• SOUSTRACTION. i5

de trouver ce qui resterait de plus grand, si Von en ôtait toutes les unités qui composent le plus petit.

Par exemple, soustraire 4 de 7 c’est ôter du nombre 7 les 4 unite's qui composent le premier nombre : dans ce cas, on écrira :

et l’on prononcera 7 moins 4 égale 3 .

De même 846 349 — 2 3t 22 7 = 6«5 122.

a4- Pour voir plus facilement ce qui reste jlu nombre 846 34g, si l’on en ôte le nombre a3i 227, on*disposc le calcul de la manière suivante :

puis on cherche d’abord ce qui reste des unités du nombre supérieur lorsque l’on en ôte les unités du nombre inférieur, et l’on écrit le reste au-dessous des unités ; on cherche ensuite, ce qui resterait des dixaines du premier nombre si l’on en ôtait les dixaines du second, et l’on écrit le résultat sous les dixaines; enfin, l’on continue de cette manière jusqu’à la dernière colonne à gauche : l’ensemble des chiffres que l’on obtient ainsi forme le nombre cherché, que l’on nomme reste, excès ou différence.

25. Il arrive souvent que l’un des chiffres du nombre supérieur n’est pas assez grand pour que l’on en puisse ôter le chiffre inférieur correspondant; dans ce cas, on prend une des unités du chiffre qui est à gauche, on la compte pour dix unités de l’ordre sur lequel on opère, et on les joint avec celles que l’on avait, ce qui rend possible la soustraction du chiffre inférieur; mais alors il ne faut pas oublier de compter

comme valant une nnité de moins le chiffre auquel ou a emprunte’ une unité. Ainsi :

(Calcul. . . . ■

Pour obtenir le résultat, on dira s de 9 j’ôte 3, il reste 6; 11e pouvant pas ôter 5 de 3 , j’ethprunte sur le cinq une unité de centaines qui vaut dix dixaines, en les joignant avec les 3 dixaines*que j’ai, cela fait i3 dizaines, desquelles ôtant 5,. il reste 8 dixaines; mais alors il ne me reste plus que 4 centaines, si j’en ôte la centaine qui est dessous, il me reste 3 centaines, et ainsi de suite pour le reste de l’opération.

26. Dans le cas où le chiffre sur lequel on opère étant trop faible, il y aurait à sa gauche un ou plusieurs zéro, il faudrait emprunter une unité sur le premier chiffre significatif que l’on rencontrerait vers la gauche, puis cette unité en valant 10 de l’ordre qui est immédiatement à sa droite, on en laisserait 9 au lieu du zéro qui occupe cette place , et l’unité qui resterait étant comptée pour 10 de l'ordre suivant, on en laisserait encore 9 à la place du second zéro , ainsi jusqulà ce que l’on arrive au chiffre pour lequel on a emprunté, et auquel on joindrait, en la comptant pour 10, l’unité qui resterait de l'ordre précédent. Ainsi :

Calcul .

Ne pouvant pas ôter 8 de 4> j’emprunte sur le chiffre 3 une unité qui vaut 10000, mais que je puis écrire 9990+10, et

comme il ne reste plus* que 72 dixaines de mille, on voit que le nombre supérieur peut s’écrire ainsi :

en comptant >4 pour les unités; ce qui lève toutes les difficultés.

27. En général. Pour retrancher un nombre d’un autre , on écrira le premier de ces deux nombres sous Vautre , puis on retranchera successivement les unités des unités , les dixaines des dixaines, et ainsi de suite. Quand le chiffre supérieur sera trop faible, on empruntera une unité sur le chiffre qui est à sa gauche, .en ayant soin de compter ce chiffre comme valant une unité de moins ; et lorsqu 1 il y aura dans le nombre dont on retranche, un ou plusieurs zéros, on comptera le premier à droite comme valant 10, et tous les autres pour g, en ayant soin de diminuer dune unité le premier chiffre significatif que Von rencontrera vers la gauche .

•*- , Exemples.

28. La multiplication doit son origine à l’addition. En effet, pour ajouter les nombres

ou écrira

et l’on aura fait une addition. Mais si l’on ajoute

on aura fait une multiplication. Or, il est évident que les deux opérations ne diffèrent entre elles que par cette circons-

tance particulière, que dans la seconde les nombres que l’on ajoute sont égaux entre eux. On peut d,onc dire que dans l’addition, en général, on ajoute des nombres quelconques, tandis que dans la multiplication c’est le même nombre que l’on ajoute plusieurs fois ; on est convenu d’écrire ainsi :

Le premier nombre est celui que l’on se propose d’ajouter, et le second indique combien de fois il faut l’ajouter. Le signe X est le signe de multiplication. On énonce ainsi :

7 multiplié par 6 égale fo.

29, On peut donc dire que la multiplication est une opération par laquelle, deux nombres étant donnés, on en compose un troisième qui contient l’un d’eux autant de fois que l’autre contient l’unité. Le nombre que l’on ajoute se ' nomme multiplicande , celui qui indique combien de fois 011 l’ajoute , se nomme multiplicateur, et le résultat se nomme produit. ÀiDsi, dans l’exemple précédent, 7 %st le multiplicande, 5 est le multiplicateur, et 42 est le produit. Le multiplicande et le multiplicateur se nomment encore les facteurs du produit.

3o. Nous avons vu, tout à l’heure, que la multiplication n’est qu’un cas particulier de l’addition ; mais la nature des combinaisons du calcul a fait de cette opération la plus importante de l'Arithmétique ; et comme dès l’origine on s’est aperçu qu’elle se présentait souvent dans les applications, on a dû chercher les moyens les plus prompts d’obtenir le résultat; c’est dans ces moyens, dont nous allons donner le développement, que consiste l’opération à laquelle on a donné le nom de multiplication arithmétique.

11 a d’abord été reconnu que l’on abrégerait beaucoup l’opération si l’on pouvait placer dans sa mémoire tous les produits provenant d’un nombre d’un seul chiffre, multiplié par un autre nombre d’un seul chiffre. , w

3i. Ainsi, la première cllose à faire, c’est de s’exercer et *'• !" de se mettre en état d’énoncer erd’écrire sans béeitation des combinaisons telles que - % ...

etc.

Pour faciliter cette étude, on peut se servir du tableau ‘ suivant, dont la disposition est attribuée à Pytbagore, et qui eu porte le nom. ' f . '

■ff

. jf

On reconnaîtra que, pour former tous les nombres qui composent la première ligne de cette table, l’unité a été successivement ajoutée à elle-même jusqu’au nombre neuf;

ao NOMBRES ENTIERS.'

.pour former les nombres de la seconde ligne, on a ajouté le nombre 2 successivement, une fois, deux fois, trois fois, etc.; dfe même pour la troisième ligne ; de sorte que si l’on veut arvoir 7X6, c’esl-il-dire 7 pris 6 fois, il faut prendre le nombre qui se trouve dans la 6 e case de la 7* ligne ; mais la fi e case fait partie de la colonne en haut de laquelle se trouve "'le chiffre 6, de sorte que le produit de 7 par 6 se trouve à la rencontre de la 7* ligne horizontale avec la 6' colonne verticale ; de même, 8 X 5 = 4 », se trouve à la rencontre de la 8* ligne avec laiâf colonne.

Au reste, é'n faisant usage de cette* table pour les com- •menccmens, il faut faire tous ses efforts pour en placer les résultats dans, sa mémoire, afin d’être, le plus promptement possible, en état de s’en passer. '•

Supposons que l’on y soit parvenu ; voyons comment l’on • pourra faire toute espèce de multiplication.

3 a. Outre les produits qui sont dans la tablé ci-dessus, on pourra encore se proposer d’obtenir : < , ,

( i°. Le produit d’un nombre de plusieurs chiffres par un - nombre d’un seul chiffre ; .

a°. Le produit (j’un nombre de plusieurs chiffres par un a utrenombre de plusieurs chiffres.

Soit d’abord à multiplier 986 par 7 , on pourrait écrire

et l’on opérerait comme pour une addition ordinaire; mais si, comme nous l’avons supposé, -on a placé dans sa mé-

MULTIPLICATION. a ,

moire tous les produits de la table de mullqilicatiou , on dira’ de suite, pour les unités, 7 fois 6 font 42, je pose les a unités et je retiens les 4 dixaines; pour la colonne des dixaiucs,

7 X 8 font 56 et 4 de retenue font 60, je pose o et je retiens 6; pour les centaines, 7X9 font 63 et 6 de retenue font 69 ; de sorte que la somme serait 6 902.

On voit que par ce moyen on aura beaucoup plus tôt fini que par la méthode ordinaire de l’addition; on conçoit meme . ; qu’il ne sera plus nécessaire d’écrire le nombre 986 sept fois ;i de suite, on l’écrira ainsi :

et l’on opérera comme nous venons de le faire , en multipliant successivement par 7 les unités, dixaines et centaines du nombre 986. , • ’

33 '. Supposons actuellement que l’on veuille multiplier 986 par 743.

On reconnaîtra d’abord que 743 est égal à 700 -f- 40 -J- 3 .* dé sorte qu’ajouter un nombre ‘748 fois revient à l’ajouter 700 fois plus 4 o fois plus 3 fois. Nous chercherons donc les 3 produits

Pour obtenir 986 X 3 , nous opérerons comme précédemment. ‘ ’•

34. Avant de former le produit de 986 par 40, nous re- ’• marquerons que pour multiplier un nombre par dix, il suf-- *

fit de placer un zéro à sa droite. Ainsi

■Eu effet, avant que le zéro ne fût placé, on avait 43 unités simples, et maintenant on a 43 dixaines, et comme une

9 «f • Vi

dixaine est dix fois aussi grande qu’une unité , les 43 dixaines que l’on a obtenues valent dix fois les 43 unités. En raisonnant de la même manière, on reconnaîtra que pour multiplier un nombre par ioo , 1000, ou io ooo, il suffit de placer à sa droite, 2, 3 ou 4 zéros.

35 . D’après cela, pour multiplier par 4 o, on dira : Puisque 4o ou 4 dixaines valent dix fois 4 unités, le produit par 4<> doit valoir dix fois le produit par 4 unités. O» formera d'abord le produit par 4» et quand on l’aura obtenu, on placera un zéro à droite ; de même pour multiplier par 700, on formera le produit par 7, et l’on mettra deux zéros à droite.

Par exemple :

Calcul

690 300 = 986 x 700 73a 5 g 8 = 986 X 743 36 . En général,

Pour multiplier deux nombres l'un par l'autre, il faut <Tabord placer, comme on le voit, le multiplicateur au-dessous du multiplicande, puis on multipliera successivement le multiplicande par chacun des chiffres du multiplicateur, en plaçant le premier chiffre de chaque produit partiel au-dessous du chiffre par lequel on aura multiplié; faisant ensuite la somme de ces produits partiels, on aura le produit total.

Exemples.

DIVISION

37. La division a pour but, étant donnés deux nombres, dont l’un est nommé dividende et l’autre diviseur, d’en trouver un troisième, nommé quotient, qui multipliant le diviseur ou étant multiplié par lui , reproduirait le dividende.

insi :

Diviser 12 par 4 , c’est chercher le nombre 3 , qui multiplié par 4 ferait’ 12. On écrit ' V

et l’on dit : 12 divisé par 4 égale 3. 12 est le dividende , 4 est le diviseur, et 3 est le quotient. O11 voit encore par là que 1 a est un produit dont les nombres 4 et 3 sont les facteurs;

1 a et 4 se nomment aussi les deux termes de la division. .

, 38. Il n’arrive pas toujours que l’on puisse, comme dans l’exemple précédent, représenter le quotient par un sedl nombre. Ainsi, par exemple, si l’on voulait diviser 14 par 3, on conçoit qu’il faudrait trouver un nombre qui, multiplié par 3 , ferait 14 : et comme nous ne connaissons pas de nombre qui jouisse de cette propriété, nous pourrions nous contenter d’indiquer l'opération sans la faire ; ainsi le nombre cherché

aurait pour expression ^ : on dirait 14 divisé par 3.

Mais quoique nous ne connaissions pas de nombre unique qui puisse répondre exactement à cette question, il en existe peut-être un capable de satisfaire approximativement à la condition demandée. Par exemple j ; '

Il est évident que le nombre 4 serait trop faible, puisqu’en le multipliant par 3 on n’aurait que 12; tandis que le nombre 5 serait trop fort, puisque son produit par 3 don- *' uerait 1 5 ; il est donc certain que le quotient de 14 divisé par 3 est compris entre 4 et 5 , et que par conséquent 41 sc

a 4 * NOMBRES ENTIERS. *■

compose de 4 plus une partie moindre que i , et que pour

celte raison je nommerai fraction d’unité.

Pour exprimer le quotient , je remarquerai que le dividende peut s’écrire ainsi

divisant tout par 3 , on aura

i4 la -f- a ia a . * a '

c’est-à-dire que le quotient se compose du nombre qui, multiplié par 3 , ferait ta , plus de la partie qui , multipliée par 3 ,

ferait a , ou du quotient de a par 3 , que l’on exprime ainsi

Or; si l’on négligeait cette dernière quantité , on dirait que l’on a obtenu la partie entière du quotient , et l’erreur dont serait affecté le résultat serait moindre que l’uuité. C’est ce que l’on exprimerait en disant que l’on a le quotient exact à moins d’une unité.

3 g. Outre les quotiens qui se trouvent directement dans la table de multiplication ou entre les nombres de cette table , on peut encore avoir à diviser,

i°. Un nombre quelconque de plusieurs chiffres par un nombre d’un seul chiffre ;

2 0 . Un nombre de plusieurs chiffres par un autre nombre de plusieurs chiffres.

4 o. Soit d’abord 786 546 à diviser par 9 ; on écrira

Pour opérer, on disposera le calcul de la manière suivante :

DIVISION

Calcul 786 546 9

Le nombre cherché , que nous sommes convenus d’appeler quotient, doit être tel, qu’étant multiplié par le diviseur, il reproduise le dividende ; mais comme on n’aperçoit pas de suite quel est le nombre qui jouit de cette propriété, oit cherchera un nombre tel que toutes ses parties multipliées par 9, reproduisent les parties correspondantes du dividende.

Il est d’abord évident que le quotient ne contiendra pas de millions , puisqu’il n’y en a pas dans le dividende. On voit encore qu’il ne contiendra pas de centaines de mille , car s’il en contenait une seule, celte centaine de mille , prise 9 fois, donnerait 900000, nombre plus fort que l'e «dividende. Les plus fortes unités du quotient seront donc des dixainfes de mille , et pour les obtenir , on cherchera le nombre de dixaines de mille qui étant multipliées par 9 reproduiraient* les 78 dixaines de mille du dividende. Cela revient à chercher combien de fois 78 contient 9 ; on voit que le nombre cherché est entre 8, et 9. On en conclut que le quotient se compose de 8 dixaines de raille, plus, d’autres parties que l’on déterminera bientôt; le chiffre des dixaines de mille, du quotient sera donc 8. Après l’avoir écrit, on multipliera par 9, et le produit 72 étant retranché des 78 dixaines de mille du divi-

dende, il reste 6 dixaines de mille + 6 546 , ou 66 mille -f- 546. Ou cherche alors le nombre de mille qui e'iant multiplie par 9 produirait les 66 mille du dividende. Ce nombre étant plus grand que 7 el plus petit que 8 , o,n écrira au quotient 7 mille , qui étant multiplié par 9 , et retranché des 66 mille du dividende , donne pour second reste 3 mille -f- 546 , que l’on peut compter pour 35 centaines +46 unités. On cherche combien de fois 35 contient 9, et l’on a pour les centaines du quotient, 3, qui multiplié par 9 et retranché des 35 centaines du dividende , donne pour reste 8 centaines + 46 unités; on continue de cette manière jusqu’aux unités ; alors on a obtenu le quotient, puisque l’on a un nombre telj que toutes ses parties ayant été successivement multipliées par 9 et retranchées du dividende, il 11e reste plus rien.

j 1 . ouït encore - —

V Calcul 786 548

Daus cet excinple, le chiffre 4 tics unités serait trop faible, puisque étant multiplié par 9 on n’a que 36; mais on conçoit que le chiffre 5 serait trop fort , puisque 9 X 5 donneS&it 45, qui ne serait pas contenu dans les 38 unités qui restent au

dividende. Le véritable quotient est donc 87 3g4 + ^ ,

en indiquant ainsi que 2 reste encore à diviser par 9 .

Dans le calcul précédent, les produits du diviseur par les diverses parties du quotient ont été retranchés de suite du dividende, sans avoir été écrits dessous ; il est très important de s’habituer ainsi de bonne heure à épargner les chiffres, la plupart des erreurs ne provenant pour l’ordinaire que de b

DIVISION: 27

fatigue qui résulte de; ta longueur du calcul , et de la confusion produite sous les yeux par un trop,, grand nombre de chiffres. . ,

4 *. Supposons actuellement que l’op veuille diviser 786 548 par 928, on aura • ,

Calcul 786548 j 923

’TiM/r

Pour obtenir le quotient , on remarquera d’abord que ce nombre ne doit pas contenir d’unitcs d’un ordre plus élevé que les centaines; car s’il y avait üue seule unité de mille dans le quotient f celte unité multipliée par le diviseur 923, donnerait pour produit 923 000 , nombre plus fort que le dividende ; pour obtenir les centaines du quotient , nous chercherons donc quel est le nombre de centaines qui multiplié par 923 reproduirait les 7865 centaines du dividende ; ce qui revient A chercher combien de fois 7865 contient 923. Mais pour apercevoir plus facilement le résultat de la comparaison de ces deux nombres, on remarquera que 7865= 7800 -J- 65 , et que le diviseur 923 = 900 -f- 23 ; or , 65 est une faible partie du nombre 7865 , et 23 une faible partie du nombre 923; de sorte que si l’on négligeait pour un moment, d’une part 65 , et d’autre part 23 , on altérerait peu chacun des deux nombres que l’on se propose de comparer, ainsi que le résultat de leur cbmparaison, -et par cet artifice ou rendrait la comparaison bien plus facile, car on voit de suite que 7800 contient 900 autant de fois que 78 contient 9, taudis qu’on

ne Voit pas aussi facilement combien de fois 7865 contient 923. Il est vrai que le résultat de cette comparaison pourrait n’ètre pas exact ; aussi ne devrait-on pas se permettre d'agir de la sorte, si l’on n’avait de soite'un moyen de vérification qui consiste à multiplier le chiffre 8, que l’on obtient- pour les centaines , par le diviseur 923, afin de s'assurer que le produit 738 4 <>o est bien effectivement contenu dans les 7865 centaines du dividende. ..y.

Après avoir fait la soustraction , il reste 481 centaines 48 unités, ou 4814 dixaines -f-8 unitég., .

Po*r avoir les dix aines du quotient, il faudra diviser 48*4 par 928, ou approximativement /ÉB par 9, et l’on aura 5 dixaines, qui étant multipliées par 923 et retranchées du dividende, donneront pour reste 199 dixaines -}- 8 unités, ou 1998 unités. On opérera de la même manière pour trouver les unités du quotient. Donc.