Tout nombre qui n’est point premier peut se décomposer

en facteurs premiers. En effet ,»

remplaçant 20 par 4 X 5, et 1 8 par 3X6, on aura . •

enfin remplaçant 4 par a x 2 , et 6 par, a X 5," on aura \ .

On voit que, par des décompositions successives; on finira toujours par obtenir des facteurs qui ne seront plus décomposables. SH-r . .

74 . On a trouvé pour les facteurs de 36o, trois facteurs a, *"

deux facteurs 3 et un facteur 5; on serait pàrvenu au même «"

îésultat si Ion avait suiyi tout autre ordre dans la décotn- '* position. En effet" on aurait pu dire

• * * * « ce qui donne les mêmes facteurs.

Mais quoique l’ordre de décomposition soit indifférent^, quant au résultat, il est plus facile de chercher à mettre d*a- '

bord en évidence les plus petits facteurs. Ainsi on dira

36o = 2Xi8o = 2X2X90=2X2X2X45=2X2X2X3Xi5

Pour faire la décomposition on disposera lé calcul de la manière suivante.

et 1 on dira : 36o= 2 X 180 , que Ton obtiendra en prenant" la moitié de 36o et l’écrivant dessous ; puis 180 = 2 X 90 : on écrit ce second facteur 2 à la suite du premier, et le nombre

90 au-dessous de 180; puis l’on continue à dire : go=aX45 ; 4^ = 3X 1 5 , et enfin 1 5 = 3 X 5 . Lorsque les nombres seront peu considérables, ou que l’on aura plus d’habitude du calcul, on pourra n’écrire que les facteurs premiers à mesure que l’on en reconnaîtra la présence. Ainsi

144 = 2X2X2X2X3X3; ia 5 = 5 X 5 X 5 ;

^5. Mais pour que ces décompositions deviennent un moyen de faciliter et d’accélérer le calcul, il ne faut pas qu’il y ait hésitation ; de sorte que l’on ne doit écrire un nombre comme facteur et effectuer la division par ce nombre , qu’après avoir reconnu que cette division se fera exactement, et que le nombre que l’on écrit comme facteur est un diviseur exact de celui que l’on décompose.

Nous allons donner quelques moyens de faciliter la décomposition des nombres en facteurs.

• 76. Soit le nombre

Si l’on divise tout par 12, on aura Y

77. On reconnaît donc , et nous avions déjà eu l’occasion d’admettre cette vérité, que c’est la même chose de diviser un nqmbre; ou de diviser chacun des termes qui le composent, et de prendre la somme des quotiens partiels.

On voit encore par ce qui précède , que si plusieurs nombres sont divisibles exactement par un certain nombre donné , ce dernier nombre divisera leur somme. Ainsi le nombre 7 divisant exactement 28, 35 et 42, divisera io5, et l’on aura ' < ■ V ,

•DIVISIBILITÉ. - 3g

78. Si un nombre est composé de deux parties , et qu'un certain nombre donné divise l’une d’elles sans diviser l’autre, il ne divisera pas la somme. Sqit ,

divisant tout par 4, par exemple, on aura

79. Un produit de deux facteurs est exactement divisible par chacun d’eux. Ainsi 35 ou 5 X 7 est divisible par 5 et par 7. Eu effet, diviser 35 par 5, c'est chercher un nombre qui multiplié par 5 ferait 35, et il est évident que ce nombre est 7.

80. Un produit d’un nombre quelconque de facteurs est toujours divisible non-seulement par chacun de ces facteurs, mais encore par les divers produits que l’on peut former eu multipliant ces facteurs les uns par les autres , de toutes les manières possibles. Ainsi le nombre

donc 3o est divisible par 1 , 2 , 3,5, par 2X3 = 6 , par 2X5=io, 3 X 5 = i5, et enfin par 2 X 3 X 5 = 3o, puisque chacun de ces nombres peut être considéré comme facteur de 3o. •

81. Le nombre 10 étant égal à 2 X 5, est divisible par 2. Tout nombre composé de dixaiues est divisible par 4. En effet,

est divisible par 2, puisqu’il contient ce facteur.

4 o NOMBRES ENTIERS.

Tout nombre terminé par un zéro ou un chiffre pair est divisible par 2. Soit

la première partie étant composée de dixaines est divisible par 2 , et le serait encore quand même on aurait plus ou moins de dixaines ; on voit donc que la possibilité de la division par a dépend uniquement du chiffre des unités.

82. Le nombre 100 étant égiil à 4 X 25 , est divisible par 4.

Tout nombre composé de centaines est divisible par 4. Soit

28 3 oo = a 83 X 100 = 283 x 4 X 25 ,

'qui contient le facteur 4-

83 . Toutes les fois que le chiffre des unités d’un nombre, plus deux fois celui des dixaines , formeront un multiple de \, on pourra diviser ce nombre par

Pour démontrer cette propriété, nous remarquerons d’abord que

Soit actuellement le nombre 5*4 3 76 ^ on a

54 376=54 3 oo

Sous celte dernière forme , le nombre se trouve décomposé en deux parties.

La première est évidemment divisible par 4 , puisque chacun des termes qui la composent contient le facteur 4 ; la possibilité de la division par \ dépend donc uniquement de la deuxième partie, qui n’est autre cjue le chiffre des unités, plus deux fois celui desdixaines; et comme on a 6-f»2X7=20,

dont on peut prendre le quart, on en conclut que le nombre

54 376 est divisible par 4 - En effet , = i 3 5 g 4 -