COMPOSITION DES MULTIPLES

88 = 3XaX2X»i

go = sx3x3x5

9 i = 7Xi3

ioo = 2X2x5x5

etc.

J’engage le lecteur à continuer ce travail jusqu’à 200 ou 3oo, et même à le recommencer plusieurs fois , jusqu’à ce qu’il puisse écrire sans hésitation les facteurs simples de tout

nombre donné, surtout les facteurs 2 , 3, 5 et 11 .

Composition des multiples.

g3. Une des applications les plus utiles de la théorie précédente consiste à composer un nombre qui jouisse 'de la propriété d’être divisible par tel autre nombre donné q\ie l’on voudra. ‘ .

On conçoit d’après ce qui a été dit ( 80 ) , que pour qu’un nombre soit divisible exactement par un autre, il suffit de faire entrer ce dernier comme facteur dans la composition de

48 " nombres entiers.

celai que l’on cherche. Ainsi les nombres 3x5, 3x6, 3 x8, sont autant de multiples de 3.

94- 0 e même, si l’on voulait un nombre qui fût en même temps multiple de 8 et de 12, on pourrait prendre 8x 12=96, ou tout autre nombre contenant les facteurs 8 et 12. Mais, dans le calcul, si plusieurs nombres jouissent d'une même propriété, il est très important de choisir le plus petit d’entre eux. Or, 72, 46 et même 24 sont aussi divisibles par 8 et par 12; il serait donc avantageux d’avoir un moyen d’obtenir directement le plus simple de tous ces nombres. Pour y parvenir, on opérera comme il suit.

On décomposera 8 et 12 en leurs facteurs premiers, ce qui donnera

Or, pour que le nombre cherché soit multiple de 8, il suffit qu’il se compose des facteurs de 8, c’est-à-dire qu’il soit égal .12X2X2; mais on voit aussi que si je le multiplie par 3, il acquerra le seul facteur qui lui manquait pour être multiple de 12, sans toutefois avoir perdu la propriété d’être multiple de 8 , puisque les facteurs de ce dernier nombre restent dans sa composition. On aura donc le nombre

24 est multiple de 8 et de 12, puisqu’il est égal à 3 X 8 ou 2 X 13 ; et c’est le plus petit multiple des nombres proposés, puisque nous n'avons fait entrer dans sa composition que les facteurs absolument nécessaires pour le faire jouir des cette propriété.

Si l'on voulait le glus petit multiple des nombres 8, 12,

i5, 18, 20 et 27, on écrirait

COMPOSITION des multiples.

ao = 2 X a X 5 ,

èt l’on obtiendrait * * *

2X*Xax3x5x3x3= 1080.

Le nombre 2X2X2 étant multiple de 8 , il suffira de le multiplier par 3 pour le rendre multiple de 12, et l’on aura

2 X 2 X 2 X 3 . Multipliant par 5 on aura

2XaXaX3x5, qui sera multiple de t 5 . L’introduction d’un second facteur 3 rendra le nombre que nous composons multiplè de g. Il n’y aura rien à faire pour le rendre multiple de 20; mais on voit que pour le rendre multiple de 27, il faudra faire entrer dans sa composition un troisième facteur et l’on aura

2X2Xax3x5x3x3 = 1080,

qui est le plus petit multiple des nombres proposés.

95. En général, pour composer un nombre multiple de plusieurs autres et qui soit le plus petit possible , il faut décomposer les nombres donnés en leurs facteurs premiers , puis l’on composera un nombre qui contienne comme facteurs les facteurs premiers de chacun des nombres proposés.

Exemples.

Le plus petit multiple des nombres 1, 2, 3 , 4 > 5 , 6, 7, 8, g, 10, est 25 ao.

Celui des nombres 36 o, 216, 4 ®°» est 4 ® ao - Celui des nombres 8, 25 , 21 , est 4200.

5o NOMBRES ENTIERS. • #

Composer le plus petit multiple des nombres Cî, i§, 20 , 3o, 36, 48, 60 , 72 . \ •

■ » J la = 2 X 2 X 3,

72 = 2 X 2 Xax 3 x 3 .

Nombre cherché.

Après avoir pris les facteurs de 12, on a multiplié par 5 pour obtenir un multiple de t5, par 3, pour le rendre multiple de 18 ; enfin l’introduction des facteurs 2X 2 l’a rendu multiple de 48; et connue il contient les facteurs de chacun des nombres proposés, il est exactement divisible par chacun d’eux.

Après avoir composé le multiple demandé, il n’est pas moins important de s’exercer à le décomposer en facteurs, comme on le voit dans l'exemple suivant :

io X 36, ' . . f ■ 1

Cette décomposition peut se faire par la division ordinaire, mais lorsqu’on a sôus les yeux les facteurs d’un multiple et de ses diviseurs, il est plus Simple d’opérer de, la manière suivante. .■

fc *

,PL*fe*<&U$ œkwüN DIVISEUR. g*

. Pour diviser tfo par.ia, ôtez les facteurs de îa, et le pro- * duu des facteurt ratants sera 60, qui est la douzième partie de 720; pouf ^g^Ser par^ao, supprimez les facteurs de 20, et le produit des /acteurs restant donuera le vingtième , qui

est ici 3êj et ainsi de suite. * * -

96. En ge'néral, quand on voudra diviser un nombre décomposé en facteurs , On supprimera les fadeurs dutfatîseur, elle produit des fadeurs restants composera le quoiieM. En effet d’après là définition de la division, le dividende est leproduit d«i diviseur par le quotient, ou , ce qui revient au même, le

% dividende est égal au produit des facteura.du diviseur par les facteurs du quotient; donc, si l’on supprime les facteurs du f diviseur, il est évident qu’il restera les facteurs du quotient

Composition des diviseurs d’un nombre

97. Nous avons dit qu’un nombre ‘était divisible exactement, non-seulement par chacun de ses facteurs premieès mais encore par tous les produits que l’on pourrait former efi

multipliant ces facteurs les uns par les autres, de toutes les manières possible^

D’après cela, si l’on voulait composer les diviseurs de 72 on disposerait le calcul comme il suit : '

div.

C est-à-dire qu après avoir décomposé 72 en facteurs premiers, on écrira d’abord le diViseur 1 ; puis la seconde ligne contiendra toits les produits ‘qu# 1W peut former avec lès facteurs 2 dil nombre 72. ' . .

5 a NOMBRES ENTIERS.

La troisième ligne contient les produits que l’on peut for- , mer avec les facteurs 3 „ * . , "

Cela étant fait, pour composer les diviseurs de 72, on écrira d’abord le diviseur 1, puis on écrira à la suite les produits du nombre 1 par chacun des nombres de la seconde ligne. Enfin * . » on placera les produits de tqus les diviseurs déjà formés par chacun des nombres de la 3 * ligne.

Autre exemple.

Composer tous les diviseurs de 36 o. On a

4, § , tj&J'.ï ,

div. | 1 | 2, -4, 8 J 3 , 6, 12, 24^ 9, 18, 36 , 72 1 5 , 10, 20, 4 °i i 5 , 3 o, 60, 120, 45 , go,t 8 o, 36 o.

Il est facile de voir que par ce moyen on aura tous les produits que l’on peut former avec trois facteurs 2, deux facteurs 3 et un facteur 5 . •

' Nombres premiers entre eux ; plus grand commun diviseur.

98. On dit que deux nombres sont premiers entre eux , lorsqu’ils n’ont pas de facteur commun.

Si deux nombres ont des facteurs communs, ces facteurs les divisent tous deux, et leur produit forme ce que l’on nomme le plus grand commun diviseur.

99. Lorsque deux nombres sont décomposés en leurs facteurs premiers, il est facile de reconnaître quels sont les facteurs communs, et par conséquent, en les multipliant, de 'former le plus grand commun diviseur ; mais comme la décomposition en facteurs premiers est quelquefois assez

Digiti;