PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

pénible, nous allons donner un autre moyeu de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.

ioo. Soient les deux nombres 7 856 et 2 4 31 •

Le nombre cbercbé devant diviser ces deux nombres, ne peut pas être plus grand que 2 4 a 1 : essayons si ce ne serait pas ce nombre lui-même ; dans ce cas il devrait diviser 7 856.

,856ja42t 5cj3 1 3

La division ne réussissant pas, j’en conclus que 2 ^21 n'est pas le nombre cherche'; mais on sait que dans toute division , si l’on multiplie le diviseur par le quotient, et que l’on ajoute le reste, on aura le dividende; donc

Or, si l’on connaissait le plus grand commun diviseur cherché, et si l’on divisait par ce nombre tous les termes de l’équation, on ne troublerait pas les relations qu’elle exprime; mais le nombre cherché devant jouir de la propriété de diviser exactement y 856 et 2 ^ 2 1 , divisera aussi le troisième terme de l’équation ; car s’il en était autrement, le premier membre, qui proviendrait de la division de 7 856 par le nombre cherché, et qui par cette raison doit être un nombre entier, serhit égal à une partie entière, plus une partie qui ne le-serait pas.

101 .' Le même raisonnement pouvant s’appliquer à tous les nombres, on en conclut que tout nombre qui en divise deux aulref doit diviser le reste de la division de l’un de ces nombres par l’autre. ^ \ , 4

D’après cela, le diviseur cherché devant diviser 5g3, ne peutpas être plus grand que ce nombre, et si 5g3 était lui-mêm)e le nombre cherché, il devrait diviser 2 421 . Nous allons essayer*cette nouvelle division * . .

5g3 ne divisant pas a ùp. 1 n’est pas le nombre cherché; mais ce nombre ne peut pas être plus grand que 49) puisqu’il doit le diviser. 11 faudra donc essayer la division du 5g3 par 4g- En continuant de raisonner de cette manière, on est conduit à la règle suivante.

102. Pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres, il faut diviser le plus grand de ces deux nombres par le plus petit, ce dernier par le reste de la division, ensuite le • *

premier reste par le second, le second par le troisième, et ainsi • de suite, jusqu’à ce que l'on parvienne à un reste nul; le dernier diviseur que l’on aura employé sera le plus grand commun diviseur. p. ( ,

Disposition du calcul : *■

io3

Le dernier diviseur étant i , j’en conclus que les deux nombres 7 856 et 2 421 sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas d’autre facteur commun que l’unité.

Autre exemple.

Le diviseur commun entre 2 726 o3? et 840 087, est 347.

io3. On peut souvent abréger l’opération qui a pour but de trouver le diviseur commun entre deux nombres ; pour