CHAPITRE PREMIER

107. Nous avons admis (77) que c’était la même chose de diviser un nombre ou de diviser les diverses parties dont il se compose. Ainsi ,

Si l’on divise tout par 8, on aura

On voit par là que le quotient de 29 par 8 se compose de

deux parties, 3 et g. La première partie du quotient est un

nombre entier, parce qu’elle se compose .d’unités entières ; quant à la seconde partie , c’est ee que l’on appelle une fraction , parce qu’elle représente une quantité plus petite que l’unité.

108. Pour se forîner une idée nette de la fraction 5 , que l’on

prononce ainsi , 5 huitièmes , nous rappellerons que

divisant tout par 8, on aura

Donc la fraction cinq huitièmes vaut cinq fois la huitième partie de l’unité. ,

109 . C’est donc la même chose de diviser 5 par 8 ou de diiser l’unité en 8 parties, et de prendre 5 fois l’une de ces '

viser parties.

De même,

On voit par ce qui précède, que. pour exprimer la valeur . d’une fraction, il faut deux nombres. Celui que l’on place dessous exprime en combien de parties l’unité est supposée partagée, et comme il sert à indiquer la' valeur de chacune de ces parties, on l’appelle dénominateur. Le nombre que l’on place au-dessus se nomme numérateur, parce qu’il exprime combien il y a de parties dans la fraction.

Lorsqu’on parle de ces deux nombres, on les nomme encore les deux termes de la fraction.

On voit que la fraction présente à l’esprit une idée composée , et que scs deux termes concourant tous les deux , mais chacun d’une manière différente, à l’expression de sa valeur, il e$t important dé connaître quels cliaugemens on produira dans cette fractio» lorsque l’on fera varier l’un ou l’autre des deux termes, ou tous les deux.

110 . Les principes que nous allons établir sont les plus essentiels de l’Arithmétique.

Soit par exemple la fraction Si je multipliais

liais son nu-

mérateur par 5, j’aurais pour résultat

. Pour

connaître l’effet produit, il suffit de se rappeler que la fraction ' proposée valait 3 X y , et que la fraction actuelle vaut i5x^

' FRACTIONS. 5g

» Or, la valeur de chacune dés parties dqnt se composent ces m fractions est restée la même, leur hombre seul a augmenté : au lieu de 3 parties on en a i5> c’est-à-dire cinq fois autant» Il résulte donc de là que la fraction a été multipliée par 5 ; on en conclut ce principe :

ni. En multipliant le numérateur d’une fraction par un certain nombre, on multiplie cette fraction par le mëihe nombre. v ' ‘ ' •••■’■* . •

m. De sorte que si l'on veut rendre une fraction deux , trois ou quatre fois plus grande, il suffit de multiplier son numérateur par deux, trois ou quatre. ’ , •

• as * e B ■ «y #

ii 3. Supposons, au contraire, que l'on ait multiplie' le

dénominateur par 5, çÿr exemple, alors on aurait s,

* - y"., . frffi,*’*"* V ' -, * . »'

On reconnaît qu'ici le nombre des parties dont se compose la fraction est toujours le mêinç* c’est la valeur de chacune de ces parties qui a changé : la première fraction se composait de quarts, et la seconde de vingtièmes, c’est-à-dire que dans l’expression de la seconde fraction l’unité est supposée partagée en cinq fois autant de parties, que par conséquent elles sont cinq fois aussi petites; et comme on n’en prend pas un plus grand nombre, il résulte de là que,

il 4 . En multipliant le dénominateur cT une fraction, on divise cette fraction.

Or, en combinant qes deux principes, on xoit que si l’on multiplie le numérateur par 5, la fraction sera rendue cinq fois plus forte; mais on voit aussi qu’elle serait rendue cinq fois plus faible si l’on multipliait son dénominateur. De sorte que cette seconde opération détruisant l’effet de la première, on peut dire qu’en général ,

il 5 . Une fraction ne changera pas de valeur. lorsque l’on * multipliera ses deux termes par un même nombre.

Des effets analogues résultent de la division. Ainsi, par

exemple, soit la fraction Divisons le numérateur par 3 , «

il viendra — -, — = — , = 5 X ; fraction trois fois aussi 24 24

petite que la fraction donnée, puisque les parties étant de même espèce, elle n’en contient que 5 , tandis que la première en contenait i 5 , donc

1 16. En divisant le numérateur d’une fraction par un certain nombre, la fraction sera divisée par ce nombre.

Si l’on avait divisé le dénominateur par 3 , on aurait eu *

- j = -g- = i 5 X^; traction trois fois aussi grande que

la fraction proposée. En effet , le nombre des parties est resté le même, mais chacune d’elles est trois fois aussi grande, puisqu’il n’en faudrait que huit pour composer l’unité, tan- m dis qu’il en faudrait 24 de celles dont se composait la fraction donnée. Donc

117. En divisant le dénominateur d’une fraction par un certain nombre, on multiplie la fraction parce nombre.

Il résulte de la combinaison de ces deux principes, que

118. La valeur d’une fraction ne sera pas changée si Ion divise les deux termes de cette fraction par un même nombre.

119. Les principes que nous venons d’établir étant la base de presque toutes les combinaisons du calcul, nous allons, pour aider la mémoire, les rassembler dans un même tableau.

le numérateur jon multiplie\

En multipliant

I le numérateur ]

* (/e dénominateur'' on divùe

) la fraction.

- i le numérateur .on divise

En divisait < „ • \

[le dénominateur on multiplie 1

Donc, en multipliant ou en divisant les deux termes d'une fraction par un même nombre, on ne change pas sa valeur.

iao. J’engage le lecteur à bien se rappeler qu’il ne s’agit ici que de multiplication et de division, et qu’il se tromperait s’il pensait qu’une fraction ne changeât pas en ajoutant ou en retranchant un même nombre de ces deux termes.

Ce n’est pas ici le moment de parler de cette opératîom