TRANSFORMATION DES FRACTIONS
d’être ça même temps multiple de 3,4) 6, 8, 12 , conviendra comme dénominateur commun à toutes les fractions proposées. . v t
Le plus petit multiple étant, comme nous venons de le dire , celui que l’on doit préférablement employer, on l’obtiendra par les moyens indiqués (q5). Ainsi, l’on aura
Dénominateur commun.
Le plus petit multiple étant 24 , on multipliera les deux * 2 •
termes de la fraction ^ par le tiers de 24 > qui est 8,
les deux termes de ^ par le quart de 24 ; les deux termes
de g par le sixième de a4 ) et ainsi dé suite, ce qui donnera
8XÏ"
Mi X 2
, îa “
De sorte que. les fractions par Içs fractions équivalentes.
TT, — , sont remplacées
, 1 lf ‘ • '■ *
• 128. En général, /a réduction des fractions au meme dé-
nominateur se compose de deux parties, savoir : la recherche du dénominateur commun , et la transformation.
i°. Pour, obtenir le dénominateur commun, on composera (95) le plus petit multiple des dénominateurs des fractions proposées . \
2 0 . Le dénominateur commun étant obtenu, on le divisera par le. dénominateur de la fraction que l’on voudra transjor- ■ mer, et le quotient sera le nombre par lequel on devra multiplier les deux termes'de cette fraction.
129. V.oLci quelques exemples sur lesquels on pourra s’exercer. - •
Fractions données.
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Dénominateur commun.
Fractions transformées. . v t
270 3oo 198 96. 84 , 195 70
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Fractions donnée#.
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. - Dénominateur commun.
. -, Fractions transformées ..
Fractions données.
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Dénominateur commun. ,* «
Fractions transformées. . . .
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■i3o. Jusqu’à présent, pn n-’avait pas présenté comme générale la. méthode que nous venons, de développer. On en dopnait pour faisou , que si les dénominateurs des fractions proposées étaient premiers’ entre eux ,• la décomposition en facteurs .deviendrait sâns objet ; mais alors on pourra regarder ce cas comme particulier, et la méthode précédente donnera encore le réSuhat le plus protnpteynent possible.
Ou doit sp rappeler en effet , que la seule condition essentielle et -généralement .suffisante x est que le nombre employé comme dénominateur, commun soit un multiple des dénominateurs des. fractions données. Et puisque l’on' a le choix parmi tous lhs nombres qui jouissent de cette propriété, il est tout aussr général de prendre ^e plus petit multiple, que d’employer, comme on le faisait autrefois, le produit des dénominateurs. . ' • ^
Or,*comme il est certain que parmi les multiples de plu-
Gtt ÏR ACTION S.
sieurs nombres .donnés il y en a toujours un plus petit que tous les autres , le principe est toujours applicable; seulement, dans le cas particulier où les dénominateurs des fractions proposées seront premiers entre eux, le plus petit multiple sera leur produit, et la manière d’opérer sera encore la même.
On pourrait, au reste , se dispenser de faire la décomposition en facteurs , si les nombres proposés ne s’y prêtaient pas facilement, le principe ne consistant pas dans cette décomposition, mais bien dans l’emploi d’un multiple quelconque des dénominateurs proposes, le plus petit ne devant être préféré qu’autant que son emploi abrège le calcul, ce que l’babitude fera facilement reconnaître.
De ce que nous venons de dire, il résulte que l’on ne doit pas hésiter à 1-egarder comme général un principe qui satisfait à tous les cas particuliers, et dont l’application, jamais plus longue, est au contraire presque toujours infiniment plus courte que la méthode qui a été donnée jusqu’à présent dans tous les traités d’Arithmétique ; méthode qne la routine seule peut faire conserver, et qui est d’ailleurs contraire à l’esprit d’analyse et de décomposition nécessaire à l’étude des Mathéma-
i3i. On a souvent besoin, dans'le calcul, de donner à un entier la forme d’une fraction ayant un certain dénominateur ; soit par exemple le nombre 7. Si l’on voulait mettre ce nombre sous la forme d’une fraction ayant le dénominateur 3 , on multiplierait et l’on diviserait par 3 , ce qui ne changerait pas la valeur ; ainsU’011 aurait
• ' X 3 ai. ’* ‘
n -iJ — — . •» •
Si Tort voulait transformer en cinquièmes, .on aurait :
Il est évident que cela revient à mettre le nombre donné
sous la forme d’une fraction -, puis à multiplier ces deux termes par un même nombre.
i3a. Le résultat que l’on obtient par l’opération précédente se présente sous la forme d’une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur. Pour distinguer ces sortes de ifombres des fractions plus petites que l’unité, on leur donne ordinairement le nom de nombres fractionnaires ; mais comme dans le calcul ils sont soumis aux mêmes lois que les fractions ordinaires, nous leur conserverons le ■nom de fraction, quel que soit le plus grand des deux termes, la fraction pouvant être dans tous les cas considérée comme composée d’un nombre quelconque de parties égales de l’unité à laquelle on la compare. ' '.
• * * / * i33. Quelques personnes ont l’habitude, lorsque, dans le cours du calcul, elles rencontrent un nombre fractionnairé , d’effectuer la division indiquée, afin de inetlre en évidence les unités entières contenues dans ce nombre ; ainsi elles diraient -, -
Quoique ce résultat soit exact, il ne faut pas en agir ainsi,
parce que l’expression 5 -f- ^ est moins simple et moins coul-
jn , **- . •
mode pour le calcul, que En général, à moins que l’on lie
reconnaisse d’avance que la division doit réussir sans reste, al ne faut pas se presser de faire la division ; et l’on doit, autant que possible , rejeter cette opération après toutes les autre;’, jusqu’au momeqt où l’application que )’on *e propose rie faire du résultat du calcul exigera que l’on connaisse combien jLy a d’entiersoontenus dans ce réstiltat. * ** • * * ■
Réduction des fractions à la plus simple expression.
i34- Une autre transformation que l’on fait souvent subir aux fractions a pour but de les ramener à leur expression la plus simple. C’est encore en appliquant les principes qui ont été établis (119), que l’on parvient à ce résultat. En effet nous avons reconnu qu’une fraction ne change pas de valeur quand on divise ses deux fermes par un même nombre. - ' ,5
Soit donc la fraction -q 5 si l’on divise ses deux termes par 3;
IO
on aura
expression plus simple que la première, puisque les deux tejrmes sont des nombres plus petits. On voit (pie, pour Simplifier V expression d'une fraction , il faudra diviser ses deux termes- par un même nombre ; ainsi
Toutes ces fractions sont des expressions différentes d’une
.même quantité; mais on reconnaît que g est la plus simple
de toutes, parce qu’il n’existe plus de facteur commun entre les deux termes. On peut donc dire en général que Von sera parvenu à l’expression la plus simple d'une fraction , lorsque Von aura supprimé tous les fadeurs communs à ses deux termes j ou autrement, lorsque les deux termes de cette fraction seront premiers entre eux.
r 35. Mais avant de penser à supprimer les faéteurs communs aux detox termes d’une' fraction, il faut avoir reconnu la pçésefice de tes fadeurs. J 0 r nous avons vu que le plus grand
TRANSFORMATIONS. ' 7 i
commun diviseur de deux nombres était le produit de tous leurs facteurs communs; il résulte de là que si l’on divise les deux termes d’une fraction par leur plus grand commun diviseur , les quotiens que l’on obtiendra pour ces deux termes seront premiers entre eux , et la fraction sera réduite à son expression la plus simple ; mais comme la recherche du plus grand diviseur commun dépend d’une opération assez longue (102), il sera mieux de débarrasser d’abord les deux termes de la fraction proposée de tous les facteurs communs , dont nous avons donné (79 )... (90) les moyens de reconnaître immédiatement la présence, sauf à soumettre les deux termes restans à la recherche du plus grand commun diviseur, si l’on soupçonnait qu’il existât encore entre eux quelque facteur commun.
Soit par exemple la fraction Après avoir divisé les
deux termes successivement par les deux nombres 4 et 9 , ou
par leur produit 36, on obtient ~ — -. Cherchant le plus grand
commun diviseur entre les deux nombres i 7 35 et i 7 oo3, on trouve 347. Enfin, divisant les deux termes par ce nombre, * 5
Disposition du calcul.
on obtient — pour l’expression là plus simple de la fraction.
On peut encore disposer les nombres comme il 6uii :
ftxzxfâ 49
nv&i \ '
. i 7 oo3 • “>
i36r'On peut le plus ordina^emènt négliger 4a recherche
du diviseur commun. En effet, en examinant la nature de* nombres , on reconnaîtra que la moitié de tous les nombres contient le facteur 2 ; le tiers de tous les nombres est divisible par 3 ; de cinq en cinq, on en trouve un divisible par 5 . Les facteurs 7, i 3 et 17 entrent moins souvent dans la composition des nombres; ainsi, par exemple, sur une grande quantité de calculs, il n’y a en général qu’un nombre sur vingt-neuf dont on puisse prendre la 29' partie.
On voit donc que plus un nombre premier est grand, moins il y a de chances pour que ce nombre entre comme facteur en même temps dans les deux termes d’une fraction.
Aussi peut-on dire, en général, que sur cinquante fractions dans les deux termes desquelles on aura supprimé les facteurs communs, tels que 2, 3 , 5 et 11, il n’en restera peut-être pas deux qui soient encore susceptibles d’être simplifiées; de sorte qu’en appliquant à toutes ces fractions la recherche du commun diviseur, on ferait quarante-huit fois cette opération inutilement, et le temps que l’on perdrait par-là serait loin d’être compensé par l’avantage de réduire deux ou trois fractions à leur expression la plus simple.
* Nous nous contenterons donc, dans le calcul, de supprimer les facteurs tels que 2, 3 , 5 et 11, lorsqu’ils seront en même temps dans les deux termes d’une fraction , et nous ne soumettrons les deux termes restans à la recherche du diviseur commun, que lorsque la fraction qui doit en résulter sera destinée à être employée souvent par la suite, soit dans le calcul, soit dans les applications.
Voici quelques exemples.
1 37 Lorsque les deux tenues d’une fraction sont décomposes en facteurs, il faut débarrasser ces deux termes de fous leurs facteurs communs avant d’effectuer les multiplications indiquée • ■ . . • • 4
Soit , par exemple , la fraction
jrX7Xi8X9X5x8X7X n io5 4 X « X 6 X [J X 4 x 22 X 4 — ta8
On supprimera le facteur 3 dans le numérateur; puis dans le dénominateur on prendra le tiers du facteur ai ou de tout autre divisible par 3, et on l’écrira dessous, comme ou le voit dans l’exemple proposé. Par cette opération , les deux termes t
de la fraction auront été divisés par un même nombre , et la valeur de cette fraction n’aura pas changé ( 1 1 8). Te facteur > commun aux deux termes , pourra être supprimé ; on barrera le facteur 6 au dénominateur , et l’on remplacera dans le numérateur le facteur 18 par 3 que l’on écrira au-dessus; ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait fait disparaître tous les facteurs communs aux deux termes. En multipliant entre eux les facteurs restans, on aura l’expression simplifiée de la fraction.
1 38. Il ne faut pas oublier de barrer chaque facteur que l’on supprime ou que l’on divise. L’ordre dans lequel on fait les réductions est indifférent; cependant, autant qu’on le peut , il vaut mieux commencer par lès plus grands facteurs communs, leur suppression conduisant plus promptement à l’expression cherchée. . •
Exemples.
