CHAPITRE II

transformation des FRACTIONS Die (MALES.

167. Les transformations auxquelles donnent lieu les principes précédens , sont de deux espèces :

1®. Transformer une fraction ordinaire en une fraction décimale équivalente ;

2°. Étant donnée une fraction décimale , mettre cette fraction sous la forme d’ une fraction ordinaire.

Première transformation.

168. Soit donné ^ , trouver la fraction décimale équivalente.

Nous savons (i5) que la barre horizontale qui sépare les

deux termes de la fraction j , exprime qu’il faut diviser 3 par

4 ; il ne^ reste donc plus qu’à exprimer en décimales le quotient de cette division. Pour cela, on disposera le calcul de la manière suivante :

En divisant 3 par 4 on trouve o , ce qui veut dire que le quotient ne peut pas s'exprimer par des unités entières; mais 1 comme nous savons qu’une unité vaut dix dixièmes., nous placerons un zéro à côté du dividende 3 , qui par là deviendra 3o dixièmes; divisant par 4, nous aurons au quotient 7 dixièmes, et il restera 2 dixièmes dans le dividende; en plaçant

un zéro à droite de ce reste , il deviendra 20 centièmes qui , divisés par 4 » donneront au quotient 5 centièmes et un reste nul. Ainsi, la fraction

On peut facilement reconnaître que cette transformation est analogue à celle que nous avons donnée (122). En effet

°’^ too 4 x 25 4

Ainsi la fraction décimale 0,75 n’est autre chose que la

fraction^, dont les deux termes auraient été multipliés par a 5 .

Soit encore la fraction g, on écrira

Après avoir mis zéro au quotient pour tenir Heu des unités entières , on place aussi un zéro à droite du dividende , qui devient 70 dixièmes. Divisant par 8, on a 8 dixièmes-au quotient , et pour reste 6 dixièmes ou 60 centièmes ; on divise encore par 8, et l’on a au quotient 7 centièmes, et au reste- 4 centièmes ou 4° millièmes ; enfin divisant une dernière fois par 8, il vient pour le quotient 5 millièmes, et pour reste zéro. De sorte que %

On voit encore ici que la fraction décimale 0,875 ,est

rn # , #

égale à g, dont les deux termes seraient multipliés par , 125 .

O • tu

On opérera de la même manière si le numérateur est plus grand que le dénominateur. Ainsi

169. Donc, pour transformer une fraction en décimales, on divisera le numérateur par le dénominateur, en plaçant un zéro à la droite de chaque reste , afin de transformer ces restes , et par conséquent les quotiens correspondans , successivement en dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

1 70. Il arrivera souvent que la fraction proposée ne pourra pas être transformée exactement en décimales.

Soit, par exemple, la fraction -.

ao

Opérant comme dans les exemples précédens , on a ao dixièmes pour dividende, 6 dixièmes pour quotient, et pour reste 2 .dixièmes ou 20 centièmes ; puis 6 centièmes pour second fliiffre du quotient, et pour reste a centièmes ou 20 .millièmes , et toujours comme cela. Ainsi

On mçt des points pour indiquer que le quotient se compose ” d'un nombre infini de fois le chiffre 6.

1 7*i • On pouvait prévoir que cela serait ainsi, car nous avons ^u«(r23) qu’une fraction qui a le dénoniinatcur 3 ne peut- être. transformée qu’en une autre dont le dénominateur

serait multiple de 3. Elle ne pourra donc pas être transformée en fraction décimale , puisque aucun des dénominateurs décimaux 10, 100, iooo , ne contient le facteur 3 .

Il n’en était pas de même pour la fraction | qui a pu être

transformée en centièmes, parce que ioo est multiple de 4.

Par la même raison , 1000 étant multiple de 8, la fraction 2

a pu se transformer en millièmes.

1 72. En général , pour qu’une fraction puisse être transformée exactement en décimales , il faut que son dénominateur ne soit composé que de facteurs 2 ou 5, qui sont les seuls qui entrent dans la composition des dénominateurs décimaux. *

Il est bien entendu que cela ne s’entend que des fractions qui seraient réduites à leur plus simple expression. Ainsi la

fraction

peut se réduire en décimale, parce qu’en débar-

rassant ses deux termes du facteur 3, il vient 12 dont le

dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5.

173. Lorsque la fraction ne peut pas se transformer exactement en décimales, il arrive toujours un moment où elle devient périodique , c’est-à-dire que les mêmes chiffres reviennent successivement et dans le même ordre au quotient.

Ainsi

sont des fractions périodiques. Dans la première de ces deux fractions la période est 6; dans la seconde la période est 43- En général on nomme période l’ensemble des chiffres qui se reproduisent périodiquement au quotient.