Quelquefois les périodes ne commencent pas immé

diatement après la virgule, comme dans la fraction

Dans ce cas , c’est une fraction de'ciinale périodique mixte.

Il est facile de se convaincre que , tôt ou tard*, la fraction doit devenir pe'riodique , car en supposant que l’on ait obtenu pour reste tous les nombres inférieurs au diviseur , le reste suivant ne pourra être que l’un de ceux déjà obtenus ; de sorte que le dividende se trouvera de nouveau dans l’état où il était alors, ce qui ramènera au quotient les mêmes chiffres, et dans le même ordre.

175. Aussi peut-on dire que les périodes commenceront, au plus lard, après que l’on aura obtenu au quotient autant de chiffres moins un qu’il y a d’unités dans le diviseur. Ainsi , par exemple, si l’on divise par 7, la période ne peut pas avoir plus de six chiffres, parce qu’après avoir obtenu pour restes les six nombres inférieurs au diviseur, le septième 11e peut être qu’un de ceux déjà obtenus; ce qui ramènera l’opération à ce qu’elle était à ce moment-là.

176. Au surplus , que la fraction soit ou non capable d’être exprimée exactement en décimales, la transformation se fera toujours de la même manière, c’est-à-dire qu'en général on divise le numérateur par le dénominateur, et plaçant un zéro à la droite de chaque reste, on continue la division jusqu'à ce que l’on soit parvenu à un quotient exact ou assez approché pour le but que l'on se propose.

177. Si l’on s’arrête au chiffre des centièmes et que l’on néglige le reste, 011 dit que l’on a le quotient à moins d’un centième d’exactitude. En effet le reste étant plus petit que le diviseur, en le divisant par ce nombre on ne pourrait avoir qu’une fraction de centièmes. En général Verreur que l’on commet en négligeant le reste de la division est toujours

une fraction d’unité de l'ordre du dernier chiffre obtenu au quotient.

178. Lorsque la fraction que l’on transforme en décimales est de nature à être fréquemment employée par la suite , on calcule son expression avec un assez grand nombre de chiffres décimaux , sauf à négliger une partie de ces chiffres lorsque l’application que l’on voudra faire de cette fraction n’exigera pas une aussi grande exactitude. Soit, par exemple,

La valeur de cette fraction

à moins d’un dixième =0,7

d’un centième = 0,71

d’un millième = 0,714

d’un dix-millième = 0,7142

etc.

Lorsque le premier des chiffres que l'on négligé est plus grand que 5 ou égal à 5 et suivi d’autres chiffres décimaux , on augmente d’une unité le dernier des chiffres conservés. Ainsi, dans l’expression de la fraction

si l’on voulait se borner à trois chiffres décimaux , on écrirait 0,743.

Il est évident que cela reviendrait à ajouter o,ooot644> quantité plus petite que o,ooo 5 , ou la moitié d'un millième; tandis que si l’on écrivait seulement 0,742, on négligerait o, ooo 8356 , qui est plus grand qu’un demi -millième.

On dit alors qu’on a l’expression de la fraction à moins d’une demi-unité du dernier ordre décimal.