FUS DE L ARITHMETIQUE

VW\\%iV»VWVVV\Wv^WV%VWWVW*VWVWWVV\WV\VV\\>,v\\****\V'.V\VV\VVV\VVWV\V\*\\VV\ VVVVX'

1 iSLirv

Nota. — 4e» chiffres à gauche sont les numéros d’ordre des principes ; et les chiffres à droite sont ceux des articles correspondons.

1 , Le» mathématiques ont pour but la comparaison de» grandeurs

ou quantités. I

a. — On appelle en général quantité, tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution a

3. L 'unité est nne quantité prise arbitrairement parmi toutes les

quantités de même natnre qu’elle, pour leur servir de terme de comparaison (i

if. — Le nombre est le résultat de la comparaison de la quantité avec

l’nnité

5 . — L 'arithmétique est la science des nombres. Son but est de les

composer et de les décomposer S

L’arithmétique ne considère les quantités que lorsqu’au moyen de leur comparaison à l’unité, elles ont été transformées en

* nombres b

0 . — Le nombre peut être considéré comme une réunion d’unités 9

"j. — La numération a pour but de former les nombres, de les nommer et de les écrire to

b. — En ajoutant successivement l’unité à elle-même, on formera tous

les nombres . » ib.

9. — Pour parvenir 1 nommer tous les nombres avec un petit nombre

de mots , on a formé diverses collections d’unités, de dix en dix fois plus grandes, et que l’on a nommées dixaines, centaines, mille, etc 10 *

10. — Pour écrire les nombres, on emploie dix caractères ou chiffres. .. ta

11. — Chaque chiffre a denx valeurs : la valeur absolue, qui indique

combien de fois il contient l'unité ; et la valeur relative , qui dépend de la place qu’il occupe; de sorte qu’en commençant par

'.jü 1 TABLE DES PRINCIPES.

la droite, le premier chiffre représente des unités simples, le second chiffre représente des dizaines, le troisième, des centaines, etc lî

1 1, — Pour énoncer on écrire on nombre, il suffit d’énoncer on d’écrire successivement les diverses collections d’unités dont il se com pose. On commence ordinairement par les nnilés de l’ordre le pins élevé 1 1

i3. — Les signes sont des caractères imaginés pour exprimer les rela tions qui existent entre les quantités que l’on compare.

Ces signes sont:

— Signe d 'égalité,

-t- Signe d 'addition ,

— Signe de soustraction , ■

X Signe de multiplication , '

; ou Signe de division. *

On emploie les deux pointa lorsque l’on vent placer le diviseur Jt droite du dividende et sur la même ligne, et lorsqu’on place le diviseur au-dessous du dividende, on sépare l’un de l’autre

par le trait horizontal i5

t ),[ ] Parenthèses.

La parenthèse exprime que toute la quantité qui est renfermée entre les deux crochets doit é(re soumise & l’action du signe qui précède ou qui suit. ....... ............ . 16

i$. — L’opération mathématique consiste surtout dans la position du signe t le calcul n’est qu’nne combinaison de chiffres, une transformation d’expression

i5. — Les principales opérations de l’arithmétique sont au nombre de quatre, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. s,. 1 8

i(j, — L'addition est l’opération par laquelle on réunit plnsieurs nom bres en on seul, qae l’on appelle somme on total it)

i-, — Pour faire l’addition de plusieurs nombres on les écrira les uns au-dessous des autres, de manière que les unités d’uac même nature soient dans une même colonne verticale; pais, commençant par la colonne des unités, ou en. fera la somme; si cette somme est moindre que dix, on l’écrira au-dessous ; si elle est égale ou plus grande que dix, on n 'écrira au-dessous que l'excédant du nombre des dizaines, et l’on retiendra ces dernières pour les ajouter avec la colonne des dizaines; pour laquelle on opérera comme pour celle des unités, et ainsi de suite, au 1.1 — La soustraction a pour, but, étant donnés deux nombres, de trouver ce qui resterait du plus grand si l’on en 6tait tontes les

unités qui composent le plus petit a3

Le résultat de la soustraction se nomme reste , excès on différence.,. ..... * a4

TABLE DES PRINCIPES. iG3

ig. Pour retrancher un nombre d’un autre, on écrit celui que l’on veut retrancher au-dessous de l’autre; puis on retranche successivement les unités des unités, les dixaines des dizaines , et ainsi de suite. Quand le chiffre supérieur est trop fuihlc on emprunte une unité sur le chiffre à gauche, en ayant soin décompter ce chiffre comme valant une unité de moins , et lorsqu’il y a dans le nombre dont on retranche, un ou plusieurs zéro, on compte le premier h droite comme valant 10 , et tous les autres pour g, en ayant soin de diminuer d’une unité le premier chiffre significatif que l’on rencontre vers la gauche. iy ao. — La multiplication est une operation par laquelle deux nombres étant donnés, on en compose un troisième qui contient l’nn

d’eux autant de fois que l’autre contient l’nnité î ao

Le premier de ces deux nombres se nomme multiplicande , le second est le multiplicateur, et le résultat de la multiplication se nomme produit. .... ,. . . . . ih.

1 t. — Pour faire une multiplication on place le multiplicateur au-dessous du multiplicande, puis on multiplie successivement le multiplicande par chacun des chiffres du multlplicatcnr, en plaçant le premier chiffre de chaque produit partiel au-dessous dn chiffre par lequel on a multiplié; faisant ensuite la somme

de ces produits partiels, on a le produit total 30

■ri. — La division a pour but, étant donnés deux nombres, l’un nommé dividende cl l’antre diviseur, d’en trouver un troisième nommé quotient, qni , multipliant Je diviseur, ou étant multiplié par

lui, reproduirait le dividende. 3ç

•jtî. — Pour faire une division, on place le diviseur h la droite du dividende, en les séparant l’un de l’autre par un trait vertical, puis on prend sur la gauche dn dividende on nombre assez grand pour contenir le diviseur tout entier; on cherche combien de fois cette partie dn dividende contient Icdivisenr, ce qui donne le premier chiffre du quotient; on multiplie. tout le divisenr par ce chiffre, at l’on retranche le produit de la portion du dividende qne l’an avait d’abord séparée; on a le premier reste.

A côté de ce reste on abaisse le chiffre suivant du dividende, ut ce qui forme un second dividende partiel, sur lequel on opère : .< ... .comme sur le premier. On continue de cette manière )nsqu'h

AA ce tjue l’on ait obtenu le chiffre des unités du quotient. . ..... .13

i/j. — On nomme preuve d’une opération de calcul une seconde opération qne l’on fait dans le but rie s’assurer de l’exactitude de la

1 première.. Joli. 5i

Plus l’opération que l’on emploie comme preuve diffère par la marche du calcul de celle que l’on se propose de vérifier, moins ou courra risque de faire une seconde fois les mêmes erreurs . . ih. ib taflirb al --■mpèi-d i -s-t* . Ai»'-. \. ■ .qs ■«- . -j» T.

iG4 TAULE DES PRINCIPES.

a5- — Une équation eu -l'expression de l'égalité qui existe entre deux

quantité».... 6t

Ce» quantités se nomment le» deux membres de Pe'qnition . . . . 6a u6. — Lor»qu’pn ajoute ou que Ton retranche un même nombre aux deux membre» d’une équation, lorsqne Pon multiplie on que Ton <livi>e ce» deux membre» par nn même nombre, on ne trouble

pa» l’égalité qni existe entre en», 63

■x~j. — On nomme multiple d’nn nombre le» divers prodait» de ce nombre par i, a, 3, 4» etc 64

aS. — On nomme diviseurs d’on nombre, ceux qui ledivisent exactement. 63 aç). — L'iryqiie Ton compose un produit , la valeur du résultat est indépendante de l’ordre dan» lequel On effectue le» multiplications., f 3

30. — Un nombre premier est celni qui ne contient pas d’antre» fac-

teurs que lui-méme et l’unité. 71

31. — Un nombre composé est celui qui contient d’antres facteurs que

lui- même et l’unité'. . . . . r r.,.1 7a

за. — Tout nombre contient l’nnité comme facteur lL

33. — Tout nombre qui n’est point premier pent se décomposer en fac -

tenrs premier» >-3

3 j. — C’est la même chose de diviser un nombre ou de diviser chacun des termes qni le composent, et de faire la somme des quotient partiels 77

On nomme termes les quantités séparées les unes des antres par les signes plus on moins : il ne faut pas confondre on terme

avec un facteur il.

35. — Si plusieurs nombres sont divisibles exactement par un certain

nombre donné, ce dernier nombre divisera leur somme ih.

зб. — Si un nombre est composé de deux partie», et qu’un certain

nombre divise l’une d’elles sans diviser l’autre, il ne divisera

pa» la somme -8

37. — Un produit de deux facteur» est exactement divisible par chacun

d’eux. y

divisible, non-senlcment par chacun de ces facteurs, mais en core par les divers produit» que l’on peut former en multipliant ce» facteurs les uns par les antres de toute» les manières possi -

bles 8n

3q. — Tout nombre terminé par un zéro ou un chiffre pair est divisible

pari 81

40. — Tont nombre terminé par deux zéros est divisible par j ha

4 1. — Toutes les fois que le chiffre des unités d’un nombre, plus denx

foi» celui de» dixaiues, forment un multiple de 4, on peut di-

riser ce nombre par 4 83

4»- — Tout nombre terminé par trois zéro» est divisible par 8. 8j

43. — Un nombre qnclconqne est divisible par 8 lorsque le chiffre de

TABLE DES PRINCIPES. iG5

scs uni les, plus deux fois celui des dixaines, pins quatre fois celui des centaiues, forment un multiple de 8 85

44. — Tout nombre termine' par nn zéro on 11 n cinq est un multiple de 5. 8'i

& — Tout nombre terminé par deux zéros ou par vingt-cinq est divisi ble par a5 87

46. — Lorsqu’en faisant la somme des chiffres d'un nombre on obtient un multiple de q, on peut conclure que ce nombre est divisible par Q. ■ ■ ■ 88

47- — Un nombre est divisible par 3 toutes les fois que la somme de scs

chiffres est un multiple de 3 8g

48. — Un nombre est divisible par 11 toutes les fois que la différence eptre la somme de ses chiffres de rang pair, et la somme des chiffres de rang impair, est un multiple de 1 1 <;<>

4q. — Pour reconnaître si un nombre est premier, on essaiera la division par tons les nombres premiers inférieurs, en commençant par les plus faibles, et continuant successivement, d’après leur ordre de grandeur, jusqu'à ce que Ton parvienne & une divi sion qui réussisse, ou dans laquelle la partie entière du quo tient soit plus faible que le diviseur. Dans le premier cas le nombre sera décomposable, dans le second cas on pourra, sans aller plus loin, conclure que le nombre propose est premier qt

5o. — Vont décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on divise successivement ce nombre et les quotiens que l’on obtient, autant de fois qne cela est possible, par chacun des facteurs dont on reconnaît la présence, en commençant par les plus faibles,

- et l’on écrit ces facteurs h côté les uns des autres, en les sépa-

rant par le signe de multiplication ih*

Si. — Pour qu’un nombre soit multiple d’un autre, il faut que ce dernier entre comme facteur dans sa composition 9 1

5a. — Pour composer le plus petit multiple de plusieurs nombres donnés, il faut décomposer tons ces nombres en leurs facteurs premiers; puis l’on composera un nombre qui contienne chacun de ces facteurs autant de fois que dans celui des nombres donnés oh il entre le plus g:>

53 — Lorsqu’un nombre est décomposé en factenrs, la suppression d’on ou plusieurs facteurs équivaut h la division par le produit des factenrs supprimés : le produit des factenrs restans forme

le quotient 96

54- — Pour composer tous les diviseurs d’un nombre il faut former tous les produits possibles des facteurs de ce nombre les nos

par les antres, en n’omettant pas le factenr nn Ü7

55. — On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n’ont

pas de facteurs communs ;,8

56. — Le plus granil diviseur commun de deux nombres est le plus

grand nombre qui les divise tous deux; c’est le produit de tous

leurs facteurs communs.. .. ................... .vo .i.1 .. 98

Tout nombre qui on divise deux autres doit diviser le reste de la division de l’un de ces nombres par l’autre. ...... . .^ . . * . . . . toi

Pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres, il faut diviser le plus grand de cee deux nombres par le pins petit , ce dernier par le reste de la division, ensuite le premier reste par le second , le second par le troisième , et ainsi de suite , jusqu’à ce que l’on parvienne à nn reste nul; le dernier diviseur que l’on aura employé sera lè plus grand commun diviseur . .... . . .VuA.<. ... to.4. IOi

On peut abréger le calcul en supprimant dan» chaque division partielle tout facteur de l’un des deux termes qui ne serait pas facteur de l’autre. .... . ......... ... . 4 .>4 ...'.w^uuw ii— 10 \

Si les deux nombres proposés ont un facteur commun facile à reconnaître, on le supprimera , puis après avoir trouvé le plus grand commun diviseur entre les deux tiombres restans, on multipliera ce commun diviseur par le facteur que l’on avait fl’abord supprimé*. ... ;v.t. ............ ,<jv . . . ... 105

frf). — Pour avoir le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres, on cherchera d’abord le plus grand commun diviseur entre le premier et le second , ensuite le plus grand commun diviseur entre le troisième nombre et le plus grand commun diviseur des deux premiers , et ainsi de suite . . . . . . . . . JP; w . . <k t 106

' .ayj c !i i.f 4 > tuu jijdis'Pipift fl «jiq*

- v ' ¥’i .ty . ■ (J . i i* . u . 1» • t >i »r> : . i.

Co. — Une fraction est l’expression d’un quotient moindre que l’nnité;

elle représente nncouplusienrsparlie.de Funité.. . ...... . 107

fii. — Le dénominateur exprime en combien de parties égalés l’unité est supposée partagée, et le numérateur exprime combien la

fraction contient de ces parties 109

fia. — On multiplie une fraction lorsque l’on multiplie sou numérateur ou que l’on divise son dénominateur.. n<)

61. — On divise une fraction lorsque l’on divise son numérateur ou

qne l’on multiplie sou dénominateur; ......i ........ . ib.

(i j. — Une fraction ne change pas de valeurs lorsque se* deux termes

sont multipliés on divisé^ par un même nombre. ib.

1*5. — La réduction clés fractions au même dénominateur se compose de deux parties, savoir : la recherche du dénominateur commun, ctla transformation.

t°. Pour obtenir le dénominateur commun , on compose nn multiple des dénominateurs des fractions données.

Autant que possible il faut prendre le plus petit multiple.

■>°. Le dénoroinalcor commun étant obtenu, on le divise par le

dénominateur de la fraction que l’on veut transformer, et le quotient quel’on obtientest le nombre par lequel on doitmul- > s tiplier le* denx termes de cette fraction iaü

66, — Ponr simplifier l’express ion d’une fraction , il fant diviserses deux

^ termes par un même nombre 1 34

On sera parvenu à l’expression la plus simple lorsque l’on anra supprime' tons les facteurs communs aux deux termes de la fraction, ou autrement lorsque ces deux termes seront premiers entre eux. au i au,<

On supprime d’abord tous les facteurs communs dont on sait re-

connaître la présence, puis on applique aux deux nombres res tau» le principe du pins grand commun diviseur |33

67. — Pour ajouter des fractions , on les réduit d’abord an même dé-

nominateur, pois après avoir fait la somme des numérateurs, on écrit dessous le dénominateur commun ] 4 «

68. — Pour retrancher une fraction d’une autre , on les réduit au

même dénominateur, puis on prend la différence des numérateurs sons laquelle on écrit le dénominateur commun 1 4 j

69. — Pour multiplier un nombre quelconque par une fraction , on

multipliera par le nrrntérateor de cette fraction, cl l’on divisera par son dénominateur. . ,Vv i}8

70- — Ponr faire le produit de deux ou plusieurs Jractions, on com posera le produit des nnmératenrs, et on le divisera par le produit des dénominateurs 1S0

71. — Pour diviser par une fraction, il faut multiplier le dividende,

quel qu’il soit, par la fraction-diviseur renversée 164

73. — On nomme fractions décimales celles qui ont pour dénominateur l’unité suivie d’un on de plusieurs zéros 1 58

Les nombres 10, 100, 1000, etc., se nomment dénominateurs

décimaux ib.

La natnre des fractions décimales permet de les écrire sous la même forme que les nombres entiers 160

73. — On peut placer autant de zéros que l’on voudra, h la droite d’un

nombre décimal, sans changer la valeur de ce nombre i 63

74. — Pour multiplier un nombre décimalpar 10, 100, 1000, etc., il suf-

fit d’avancer la virgule d’un , deux ou trois rangs vers la droite. 164 Réciproquement, en reculant la virgule d’un, deux ou trois rangs ‘ vers la gauche, le nombre sera divisé par 10, 100 on 1000 ib-

7 5 ■ — Pour diviser un nombre entier par 1 o, 100 ou 1000, il fant séparer par une virgule, sur la droite de ce nombre, un , deux ou

trois chiffres décimaux t 65

F.n supprimant la virgule dans un nombre décimal, ce nombre

iG8 TABLE DES PRINCIPES.

sera multiplié par l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de

chiffres décimaux i65

fi. — S’il n’y a pas à droite ou & gauche d'un nombre proposé assez de chiffres pour que l’on puisse effectuer le déplacement de la virgule, on y supplée par des zéros •.. 166

77. — Pour transformer une fraction ordinaire en fraction cfécimale, on divise le numérateur par le dénominateur, et plaçant un zéro h la droite de chaque reste, on continue la division jusqu’à ce que l’on soit parvenu à un quotient exact, ou assez approché

pour l’usage qne l’on en doit faire 176

7S. — Pour qu’une fraction puisse se transformer exactement en décimale, il faut que son dénominateur ne soit composé que de facteurs a ou 5 17a

79. — Toutes les fois que le dénominateur d’une fraction contient d’au-

tres facteurs que a ou 5, elle se transformera en une fraction • décimale périodique ou périodique mixte 173

80. — Une fraction décimale est périodique lorsque les périodes com-

mencent immédiatement après la virgule.....,....»,. ib.

Dans le cas contraire la fraction est périodique mixte . ........ 174

81 — Lorsqu’une fraction ne peut pas s’exprimer exactement en décimales, elle devient nécessairement périodique, au plus tard après que l’on a obtenu au quotient autant de chiffres moins

un qu’il y a d’unités dans le diviseur ........ . ib.

8a. — Quel que soit le nombre des chiffres que l’on néglige à la droite d’uo nombre décimal, l’erreur est toujours moindre qu’une

unité de l’ordre du dernier chiffre conservé 177

83. — Lorsque le premier des chiffres que l’on néglige est plus grand

que 5, ou égal à 5, et suivi d’antres chiffres, on augmente

d’une unité le dernier des chiffres conservés, et dans ce cas

l’errenr est moindre qu’une demi-unité du dernier ordre dé-

cimal

8 '(■ — Pour rendre a une fraction décimale la forme d’un. fraction

ordinaire , il y a trois cas : .

i°. Si la fraction est terminée, on ôtera la virgule, et l’on don-

nera pour dénominateur l’nnité suivie d’antant de zéros qu’il

y avait de chiffres décimaux dans la fraction proposée

a*. Si la fraction est périodique simple, on prendra pour humé-

ratcur la période, et pour dénominateur un nombre composé

d’autant de fois le chiffre g qu’il y a déchiffrés dans la période.

iSa

3v. Si la fraction est périodique mixte, on transportera snccessi-

vcment la virgule à droite et à gauche de la première période :

la différence entre les parties entières des nombres décimaux

qui en résulteront exprimera le numérateur; quant au dénominatcur, il se composera d’autant de g qu’il y a de chiffres dans

la période, suivis d’autant de zéros qu’il y a de chiffres non périodique* après la virgule 1 85

85 . — ■ P.inr faire Vaddition des nombres décimaux, on les écrit les

uns au-dessous des autres, en ayant soin de placer les unités de même ordre dans une même colonne verticale ; puis on opère du reste comme pour les nombres entiers *86

86 . — La soustraction des nombres décimaux se fait comme celle des

nombres entiers. . ’8?

87. — Pour multiplier l'un par l’autre deux nombres décimaux , on

opère comme l’on ferait pour deux nombres entiers, et sans avoir égard à la virgule; puis l’on sépare sur la droite du pioduit autant de chiffies décimaux qu’il y en a dans les deux facteurs. . *88

88. — Pour diviser un nombre décimal par un autre , on complétera

par des zéros le nombre des chiffres décimaux dans celui des deux qui eu a le moins; puis, supprimant les virgules, on opérera comme pour des nombres entiers > 9 °

89. — Un peut se contenter d’avancer la virgule dans les deux termes de

la division, d’autant de rangs seulement qu’il sera nécessaire pour que le diviseur devienne un nombre entier 19a

90. — H faut, autant que possible, rejeter les divisions après les antres

opérations, alin que les erreurs provenant des approximations ne rentrent pas dans le calcul, où elles pourraient se combiner avec d’autres nombres * 9 l

<)l . — Les nombres complexes sont des unités adoptées pour les applications du calcul, et dont la subdivision est soumise à certaines conventions 197

gi. ■ — Pour opérer sur les nombres complexes, il faut réduire chacun d’eux en une seule fraction, et agir ensuite comme pour les

fractions ordinaires aoa

93. — Le système des poids et mesures actuellement en usage en France se nomme système métrique , parce que l’unité fondamentale est le mètre. ao 3

j)f. — Le mètre, unité de longnenr, est égal & la dix- millionième