RAISONNÉE. XJ

Le produit «X ^tant divisible par > , et 7^ n'ayant aacnn factenr commun avec C, y divise nécessairement a. "N** 254-

Lorsqu'un nombre premier u, divise 0", on pent en conclure qae'« dirise C. N« 255.

Quand la fraction - est irréductible , la fraction — est également irré-

dactible. N» 256. '

Toutes les puissances d'une fraction irréductible , sont donc des fractions irréductibles. N© ^57.

Lorsque «' et C sont des nombres entiers , premiers entr'eux , les divisions des multiples , a, 2« , 3« , . . . , ( C— > i ) «, Ca , par C, donnent nécessairement , 1, 2, 3j . . . ,C — 1,0, pourfeite^. Ces restes peuvent se présenter dans un antr* ordre. N» 258.

Lorsqu'on avance la virgule de n rangs , vers la droite on vers la gauche à\m nombre écrit dans le système dont la base est h , on multiplie ou l'on divise ce nombre par 6*. N<** 259 et a6o.

Quand le chiffre des unités d'un nombre est suivi de |i chiffres sur la droite j ce nombre est exprimé par une fraction ordinaire , dont le numéra-tcur est 4e nombre donné', dans lequel bn fait abstraction de la virgule, et dont le dénominateur est l'unité suivie de n zéros, ou b*, N» 261.

Réciproquement , lorsque le dénominateur d'une fraction, est l'unité suivie de n zéros vers la droite ou b* , on peut mettre cette fraction sons la forme d'un nombre entier , U suffit pour cela d'écrire le numérateur et do placer la virgule sur la gauche des n premiers chiffres à droite. Pi<* 26a.

Quand le dénominateur d'une fraction nl'est pas l'unité suivie de plusieurs zéros sur la droite , pour mettre celte fraction sous la forme d'un pombre entier ; divisez le numérateur par le dénominateur ; parvenu an chiffre des unités du quotient , mettez une virgule sur sa droite et convertissez les restes successifs , en unités de & en & fois plus petites , ce qui revient à multiplier chaque reste par la base b. Divisez ces dividendes , par le dénominateur } les quotiens successifs , seront lès chiffres qui doivent suivre la virgule , dans le quotient total. Pfo 263.

Quand le dénominateur d'uncfraciion, ne renferme que les facteurs premiers de la base , on peut toujours multiplier les deux termes par un nombre tel , que le dénominateur de la fraction qui en résulte , soit l'unité suivie de plusieurs zéros vers la droite. De aorte que > cette fraction pent être mise sons la forme d'un nombre entier. La règle du no a63, détermine le quotient. N^ 265.

Quand le dénominateur , d'une fraction irréductible -r-, ne contient que les

^te;ara premiers de la base b 4 pour déterminer corabieb le quotient de la division I de B par A, contiendra de chiffres sur la droite de la yirgule-j dé-

Xij TABLE

composez & et A en leurs facteurs premiers , p,g , etc. ; vous tTOUYeree p

h=^ p q etc. , A = p^qf etc. 5 soit ^ la plus grande des fractions, — ,

^, elcj divisez y par «T j tous obtiendrez un quotient entier Q et un reste Rf

alors j sfelon que R sera nul ou ne sera pas nul, le nombre des cbifiEîces placés à >droite jde la virgule, seraQ, ou Q+i. N** 266.

Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible -j-, contient d'antre*

facteurs premiers que ceux de la base , cette fraction né peut être transfor? mée en une autre, dont le dénominateur serait Funiié suivie de plusieur»

zéros vers la droite. De sorte que la fraction -^ ne peut pa» être mise sons

là forme d'un nombre entrer. La division dé B par A , conduit à un quotient qui se, prolonge à Tinfini. N® 267.

Quand le dénominateur d'une fraction irréductible -?■ , ne contient aucuns

des facteurs premiers de la base b, la division de B par A, donne un quotient périodique, dont la période commence au pc«mj[«r- chiffre à droite de la virgule. N« 268.

Quand une fraction irréductible ~ , est telle que A' ne renferme aucun

des facteurs premiers de la base, et que le premier chiffre à droite de B n'est pas zéro , la division de B par A , donne un quotient périodique , dont la période commence au premier chiffre à droite de la virgule, et en avançant la virgule, de et rangs à gauche , le résultat renferme toujours « chiffres. entre la virgule et la première période. N® 269.

Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible =^ , confient des facteurs premiers de la base b , combinés avec d'autres faeteurs premiers , I41 quotient est indéfini et périodique , mais la période ne commence pas au premier chiffre à droite de la virgule. Pour, découvrir combien il y aura dé chiffres, entre la virgule et la première période; décomposez ^.et IS en leurs facteurs premiers, p, q, etc. ; votas trouverez , b=-p q etc. j N= A p"» q"* etc. j A ne contenant aucun des facteurs premiers de b. Soit ^., la plus grâUde

des fractions, — , j?, etc. j là division de 7» par «T, donnera un quotient en-

lier Q et un re^teR. AJocs, selon' que R sera nul ou ne sera pas nul, le nombre des chiffres placés entre fci'viiiguie et la première période , sera Q ou Q + i. No 270.

•' Tout quotient, composé d'un nombre fihide chiffres à droite de la virgule»

on d'une- infinité de périodes , est égal à nnè fritction ordinaire. N** 261 «1271,

feAISONNÉË. XÎÎJ

La tase ^tant 6} ponr convertir un quotient {x^rîodiqne, en fraction ordinaire j transportez successivement la virgule à droite et à gauche de la première période ; la différence entre ces deux derniers nombres , sera !• numérateur de la fraction demandée. Pour former son dénominateur , il «uffit de prendre un sombre compose d'autant de chifires égaux, hb -^ i ^ qu'il y a de chiffres dans la période , et de mettre autant de zéros sur la droite de ce nombre, qu'il y a de chiffres entre la virgule et la première période. Il en résulte que, tout quotient périodique , moindre queTunilé^ dont la période commence au premier chiffre |i droite de la virgule, est égal à une fraction ordinaire , qui a pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre composé d'autant de chiffres égaux à ^ — i » qu'il y a de chiffres dans la période. N^* 27a et 3^3.

Fractions continues,

La difficulté de prendre une idée exacte des grandeurs des fractions irréductibles , dont les termes sout un peu grands , a conduit à la rechercha des fractions plus simples , qui approchent de la fraction proposée. Ces fractions plus simples, dépendent des fractions continues, "N^ 274*

Pour convertir une fraction irréductible ~, tn fraction continue;

opérez comme si vous cherchiez le plus grand commun diviseur , entre les deux termes B et A; vous obtiendrez desquoiiens entiers, q^ q^ ,q" f ^^9 - {q exprime le quotient entier de la division de B par A) j le nombre de cet

qnotiens sera toujours moindre que A -f- 1* La valeur de rr , en fraction

continue , sera (i). . . ^ -f- -;• N® a^S.

^4-elc.

Pour coRf^erttr la fraction continue (i), en fraction ordinaire , on réduit Sabord ^ -f- — -en fraction ordinaire ; ce qui donne ^^-7 — . On change

dans cette dernière ,q^ en ^'-f- ~~7 i on multiplie les <deax termes de la fcao tion qui en résulte , par q** ; ce .<[m donne ' ^ " [Z ' ^^"^ dernier*

fraction est la valeur de ^ 4^ -7 .Et ainsi de suite , jusqu'au dernier

quotient. Les fractions , ^, ^-f-—^, etc., ont reçu K nom de réduites» K-276.

La comparaison des réduites «uççesiites; %ycc la CractioskCQSitiiJiue totale (i),

SCÎy TAfiLÊ

conduit & cette règle générale : pour transformer les réduites mccessiveâi en fractions ordinaires , écrivez les quo^iens, q\ q" j q" ^ elc, parordrf,

tt sur une même ligne horizontale. Calculez les deux premières réduites, ^p

f , ; posez ces réduites sous qf et q". Pour en déduire la troisième

réduite, multipliez les deux termes de ht seconde réduite , par le quotient qr", placé 9u-dessu8 ; les produits , augmentés respectivement des deux termes de la première réduite, donneront le numérateur et le dénominateur de la troisième réduite. La quatrième réduite se déduira de même de» deux précédentes ^ en prenant pour multiplicateur le quotient q" \ et ainsi de suite. Les termes des réduites, vont en augmentant. Pî"^ 277.... 279.

Les réduites successives sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction continue totale , mais elles en approchent de plus en plus. Les réduites de rang impair , sont trop petites et vont en augmentant \ celles cle rang pair, sont trop grandes , elles vont en diminuant. IV^* a8o et a8i.

lies numérateurs des fractions qui expriment les difierences entre les réduites consécutives, sont égaux à Tnnité. Les deux termes de chaque réduite ■ont premiers entr^ux. N°s a8a et a83.

Lorsqu'on prend <une réduite -' , au lieu de la fraction continue totale »

l'erreur est moindre que — . N® 284.

Toute fraction ordinaire, est exprimée par une fraction continue, qni estcomposée d'un nombre fini de quotiensjet réciproquement, toute fraction continue, composée d'un nombre fini de quotiens, est équivalente à une fraction ordinaire. Pour calculer les fractions irréductibles , qui approchent

de la valeur d'une fraction irréductible -^ j on transforme -j- en fraction

«ontinne ; les réduites successives , sont les fractions demandées. N <>* 280 et 286.

Lorsqu'une fraction continue se prolonge à Tinfini; on ne peut pas l'é-

, C \ ^luer exactement , mais il est toujours facile de trouver une réduite -, qui

diffère de cette fraction continue, d'une quantité moindre que la quantité

donnée — j il snflSt pour cela , de continuer les calculs , jusqu'à ce qu'on

parvienne à une réduite —, dont le dénominateur «c soit plus grand que 1«

plus petite valeur entière approchée de \/ r^ Exemples. ]S^ 287.

La valeur d'une fraction continue périodique , est toujours exprimée 1^ la racine réelle positive d'une équation du second degré. Ii<>* 288 et 289,'

DE MATHÉMATIQUES. a5

on le voit ici , interposer un zéro enfre 36 et la vîrgulç. En effet , ai Von avait 0,1 a à multiplier par 3, il est éi4dent qu'on aurait o,36 *, piais ccHume on n'a à multiplier que par o,3 , c'est-à-dire par un nombre dix fois plus p^tit que 3, on doit avoir un pro-« duit dix {bis plus petit que p^36 , c'est-à-dire des nillièmea, et c'est ce qui a eu lieu (â8) lorsqu'on éçfit o^o36,

55, Comme on n'emploie ordinairement les dëcimalet que dant la Toe de faciliter les calculs , en sabstituant à nn calcul rigoarenx iine apptyiimatioa ^iif&sanie j mais prompte, il n'est pas inutile d'exposer id'irn moyen' d^abréger Topera lion, lorsqu'on n'a beioin dVoir le produit qne jusqu'à wi degr^ d'exactitude propose.

Supposons, par exemple, qu'ayant à multiplier 45,625957 par 98,635, j« n'aie l>e8oin d'avoir le produit qu'à moins d'un millième près. J'écris ces deux nombres comme on le voit ci-dessous, c'est-à-dire, qu'après avoir renversé l'ordre des chiffres de Tundes deux, je l'écris sous l'autre, en faisant répondre le chiffre 8 de ses unités sous la décimale immédiatement inférieure de deux degrés à celui auquel je veux borner mon produit. Je fais ensuite la maUiplication , en négl^eant, dans ]e multiplicande , tous les chiffires qui se trouvent à la droite de celui par lequel je multiplie \ et à mesure que je change de chiffre dans le multiplicateur, je porte toujours le premier chiffre du nouveau pnn doit sous le premier chiffre du premier. L'addiiion de tons-Ms prodsiu étant faite, je supprime les deux demien chiffres, en observant cependant d'ang* mcnter le dernier deceox qui restent, d'une nnit^ , si les deox q«6 je supprime passent 5o; après quoi je place la yirgule a^ fpng Gaé par l'espèce de décimit i|ue je me proposais d'avoir,

EXEMPLE

Je veux multiplier. ., ..**!.. .^ 4^,6^5957 pr..... a8,(S35

inais je n'ai besoin d'avoir le produit qu'à qn millième d'unité près,

J'écris ainsi ces deux nombres 4^>^^'9^7

i3o 6499^^ produit , i3o6,499

aS COURS

Et si Toa avait fait la iniilcîplication it Pôrdinairc, <m aarait ca

1306,4993786^5, ^oi f^accorde avac le prëcëdeot juiqu^à la troisième déck^ maie , ainsi quVn le demande.

S'il n'y avait pas assez de chiffres dëcîmanx dans le multiplicande , pour faire correspondre le chiffre des nnites do multiplicateur au chiffi^ auquel la. règle prescrit de le faire ^rrespondre, on y sappléerait en menant dea zéros^

EXEMPLE

On dcdt jnultiplieTé » • . 54>336

par ,, • 53a,37

et Ton y&at avoir le produit à un centième d'unité V^'

J'écris. ......•• ï..... 54y336ooô

proc(nit < . . . . !i8868»3o en ajoutant nne tmxtâ au dtmiar

chiffre, parce que les deux que Ton supprime passent 5o. Pour troisième exemple, supposons qu'on ait à multiplier

par 0,5664178

«t f'oa ne yeut avoir que 7 de'cimaies au produit , ou écrira