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produit.,... 0,1388831
DE MATHÉMATIQUES. vj
Sur quelques usages de la Multiplication.
56. Nous ne nous proposons pas de faire connaître tous les usages que Ton peut faire de la multiplication , nous en indiquerons seulement quelques-uns qui mettront sur la voie pour les* autres.
La multiplication sert à trouver ^ en général , la valeur totale âe plusieurs unités, lorsqu'on connaît la valeur de chacune. P^r exemple, i^ combien doivent coûter 584a toises, à raison de 54*- la toise ? Il faut mulHplier 54* par 584» , ou (44) 584a#par 54 : on aura 5 16468* pour le prix total demandé, fl®. Combien 6964 pieds cubes (*) d*eau pèsent-ils , en supposant que le pied cube pèse 73*? Il faut multiplier 7atb par 6964, ou 5354% par 7a : on aura 4^868816 pour le poids de 6964 pieds cubes.
57. On emploie la multiplication pour convertir les unités d'une certaine espèce en unités d'une espèce plus petite. Par exemple ; pour réduire les livres en sous , et ceux-ci en deniers ; les toises en pieds , ceux-ci en pouces , ces derniers en lignes ; les jours en heui:es, celles-ci en minutes, ces dernières eu secondes : on a souvent besoin de ces sortes de conversions. Nous en donnerons quelques exemples.
Si Von demande de convertir 8* 17*'^ 7*" en deniers; comme la livre vaut ac^, on multipliera les 8^ par so (Sa); ce qui donnera 160*'' auxquels joignant les 17-^, on aura 177^ qu'on multiplierapar 12 , parce que chaque sou vaut la deniers ; et ob aura 2124 deniers , lesquels , joints aux 7 deniers donnent ai3i deniers pour la valeur des 8*" 17*'* 7^ convertis en deniers.
Si l'on demande combien une année commune > ou 365 jouss 5 heures , 48 minutes , ou 365' 5* 48*" valent de minutes ; comme le jour est de a4 heures, on multipliera a4^ par 365, et au
{*) Le pied cube est une mesure d^an pied de long sur un pied de large et SOT un pied de haut, avec laquelle on évalue la capaciU; des corps , ainsi qu'on ie Terra en Gcomctrle^
a8 COURS
produit 8760* on ajoutera 5.*; on multipliera le total 8765 par 60 (5a) , parce que l'heure contient 60 minutes ,. et l'on aura 5^5900 minutes; auxquelles ajoutant ^8 minutes^ on a^ira 5a5948 peur le nombre de minutes contenues dans une année commune
Cette conversion des parties du temps est utile dans quelque^ opérations du pilotage,
58. L'abréviation dont noii^ avops, parlé (5ia) peut être tîm^ ployée pour réduire prompte ment en livres un cert^ih nombre de tonneaux. Comme le tonn^^u de poids pèse ^2000 livres , &i Ton a , par exemple , 854 tonneau? , il n'y a qu'i doubler 854 > et mettre les trois zéros à la suite du produit; on aura 1708000 pour le nombre de livres que pèsent 854 tonneaux.
Avant de terminer ce qui regarde la nmltiplicatipn /faisons observer aux commençans , que ces expressions , doubler , tri-* pler, quadrupler y etc. signifient la même chose que multiplier par 2 , par 3, par 4> etc.
De la Division des Nombres entiers j et des Parties^
décimales.
09. Diviser un nombre par un autre , c'est en général , chercher combien de fois le premier de ces deux nombres contient Je second.
Le nombre qu'on doit diviser s'appelle dividende; celui par lequel on doit diviser, diviseur ; «t celui qui marque combien de fois le dividende contient le diviseur , s'appelle quotient.
On n'a pas toujours pour but dans la division , de savoir oom« bien de fois un nombre en contient un autre ; mais on fait Topé-» ration , dans tous les cas , comme si elle tendait à c« but; c'est pourquoi onpeut, dans tous le» cas, la considérer comme l'opé-^ ration par laquelle on trouve Combien de fois le dividende contient le divbeur.
ïl suit de là , que si l'on multiplie le diviseur par le quotient » on doit reproduire le dividende , puisque c'est prendre ce divileur autant de fois qu'il est dans le dividende : cela est général ,
DE MATHÉMATIQUES. ag
Soit que le <ïiiotîent soit un nombre entiet ,'8bif^qu*il soit un nombre fractionnaire.
Quant à Tespèce des unités du quotient , ce n'est ni par l'espèce de celles du dividende , ni pdr l'espèce de celles au diviseur, ni par Tune et l'antre qu'il faut en juger j car je'cïividende et le diviseur restant les mêmes, le quotient, qui sera aussi toujours le même numériquement , peut être fort différent pour la nature de ses unités , selon la question qui donne lieu à c^tte division.
Par exemple, s'il est question de savoir. combien, 8^ contiennent 4^3 le quotient sera un nombre abstrait qui marquera 2 fois ; mais s'il est question de savoir combien pour 8^ on fera faire d'ouvrage à raison de 4^ la to\se , le quotient sera û.toises, qui est un nombre concret , et dont l'espèce n'a aucun rapport avec le dividende ni avec le diviseur.
Mais on voit , en même temps ^. que la question seule qui conduit à faire la division dont il s'agit , décide la nature des unités du^ quotient.
De la Division d!un nombre composé de plusieurs chiffres y par un nombre qui rien a quun. . •
6o. L'opération que nous allons décrire suppose qu*on sacb? trouver combien de fois un nombre d'un bu de deux chiffres contient un nombre d'un seul chiffre. C'est une connaissance déjà acquise , quand on sait de> mÀmoire les produits des nombres qui n'ont qu'un chiffre. On pfcttt aussi , pour y parvenir, . faire usage de la table que nous aYons donnée ci-dessus (4$)' Par exemple , si je veux savoir combien de fois 74 contient 9 , je cherche le diviseur 9 dans la bande supérieure , et je descend» verticalement jusqu'à ce que je rencontre le nombre le plus approchant de 74 : c'est ici 72 ; alors le nombre 8 qui se trouve yis-à-vis 72, dans la première colonne, est le nombre de fois^ ou le quotient que je cherche.
Cela supposé , voici comment se fait la division d'an nombre qui a plusieurs chiffres , par un nombre qui n'en a qu'un.
Écrivez le diviseur à côté du dividende, séparez l'un de
8a GÔtJRS
prononce cinq septièmes. Noua expliquerons par la suite la nature de ces sortes de nombres.
61. Si dans la suite de l'opération quelqu'un des dividendes partiels se trouvait ne pas contenir le diviseur, on écrirait zéro au quotient, et omettant la multiplication, on abaisserait tout de suite un autre chiffre à côté de ce dividende partiel , et on continuerait la division.
EXEMFLIÊ*
II s'agit de diviser 144^4 P^^ ^'
Je prends ici les deux premiers chiffres dû dividende , patdcf que le premier rie contient pas le diviseur.
Je trouve que i4 contient 8 ., une fois*, j'écris 1 au quotient : je multiplie 8 par 1 , et je retraricBe le produit 8 dé i4 , ce qui me donne pour reste 6, à côté duquel j'abaisse le troisième chiffre 4 du dividende.
Je continue en disant : en 6/^ combien de fois 8 ? huit fois ', f écris 8 au quotient , en faisant la multiplication , j'ai pour produit 64 que je retranche du dividende partiel 64 > il me reste .0 à côté duquel j'abaisse 6 , quatrième chiffre du dividende ; et comme 6 ne contient pas 8 , j'écris o au quotient , et j'abaisse tout de suîté 4 à côté de G le dernier chiffre du dividende qui est ki 4 > pour dire en 64 combien de fois 8 ? il y est 8 fois : après avoir écrit 8 au quotient, jefais la multiplication , et je retranche le produit 64 ; et comme il ne resfe rien , j'en conclus que 1 44^4 contiennent 8 fois 1 808.
Dô la Dwision par un nombre de plusieurs
chiffres.
6j2. Lorsque le diviseur aura plusieurs chiiFres ^ on se conduira de la manière suivante :
Prenez sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il est nécessaire pour contenir le diviseur.
Gela posé, au Heu de chercher, comme ci-devant , combien la partie du dividende que vous avez prise , contient votre diviseur entier, cherchez seulement combien de fois le premier chiffre de votre diviseur est compris dans lé premier chiffre de votre dividende , ou dans les deux premiers , si le premier ne suffit pas \ marquez ce quotient sous le diviseur , comme ci> devant. *
Multipliez successivement , selon la règle donnée (5o) , tous les chiffres de votre diviseur parce quotient, et portez à mesure les chiffres du produit sous les chiffres correspondans de votre dividende partiel. Faites la soustraction , et à côté du reste abaissez le chiffre suivant du dividende , pour continuer l'opération de la même manière.
Nous allons éclaircir ceci par quelques exemples , et prévenir en même temps les cas qui peuvent causer quelque embarras.
^ EXEMPLE I
On propose de diviser 75347 P^r 53.
Aa3 aia
Ariih. , Marine et Artilltrie. T. I.
Je prends seulement les deux premiers chiffres dn dividende p parce qu*ils contiennent le diviseur, et au lieu de dire en 76 combien de fois 53 > je cherche seulement combien les sept dixaines de 76 contiennent les cinq dixaines de 55, c'est-àdire, combien 7 contient 5; je trouve une fois que j'écris au quotient.^
Je multiplie 53 par 1 , et je porte le produit 53 sous 75 : la soustraction faite , il reste aâ , à côté duquel j'abaisse le chiffre 3 du dividende , et je poursuis , en disant, pour plus de facilité : en 22 combien de fois 5 (au lieu de dire en 223 combien de foi« 53) ; je trouve 4 fois qne j'écris au quotient.
Je multiplie successivement par 4 les deux chiffres du divi** seur, et je porte le produit 212 , sous mon dividende partiel 223; la soustraction faite , j'ai pour reste 1 1 ; j'abaisse à côté de ce reste, le chiffre 4 du dividende, et je dis simplement comme ci-dessus , en 1 1 combien de fois 5 ? 2 fois ; je l'écris au quotient^ et je multiplie 53 par 2 , ce qui me donne 106 que j'écris sous le dividende partiel 1 14 j faisant la soustraction , j'ai pour reste 8 , à côté duquel j'abaisse le dernier chiffre 7; je divise de même 87 , et continuant comme ci-dessus, je trouve 1 pour quotient^ et 34 pour reste , que j'écris à côté du quotient de la manière qui a été indiquée plus haut (60).
63. On devrait , à la rigueur, chercher combien de fois chaque dividende partiel contient le diviseur entier; mais cette recherche serait souvent longue et pénible ; on se contente , comme on vient de le voir , de chercher combien la partie la plus forte de ce dividende contient la partie la plus forte du diviseur. Le quotient qu'on trouve par cette voie n'est pas toujours le véritable ; parce qu'en prenant ce parti , on ne fait réellement qu'une . estimation approchée ; mais outre que cette estimation met presque toujours sur le but, et que dans les cas où elle n'y met pas, elle en écarte peu , la multiplication qui vient ensuite sert à redresser ce qu'il peut y avoir de défectueux dans ce jugement. En effet , si le dividende partiel contenait réellement le diviseur 3 fois , par exemple, et que par l'essai qu'on fait, on e^t trouvé qu'il le contient 4 fois , il est facile de voir qu'en fai->
DE MATHÉMÀÏIQUES. 35
sftnt ïa multiplication par 4 , on aurait un produit phis grand que le dividende > puisqu'on prendrait le diviseur plus de foid qu*il n*est réell«uient dans ce dmdende, et par conséquent la soustraction deviendra impossible ; alors on diminuera le quotient successivement d*une , deux , etc. unités , jusqu'à ce qu'on trouve un produit qu'on puisse retrancher : au contraire , si Ton n'avait mis que a au quotient , le reste de la soustraction se trouverait plus grand que le diviseurs ce qui prouverait que le diviseur y est encore contenu ^ et que par conséquent le quotient est trop faible.
Au reste , on acquiert en peu de temps l'usage de prévoir de combien on doit diminuer ou au^enter le quotient que donne la première épreuve.
EXEMPLE II
On propose de diviser iSg^c^i par 3y5^
Je prends les quatre premiers chiflTres du dividende » parce que les trois premiers ne contiennent pas le diviseur.
Je dis ensuite , en 1 8 seulement combien de fois trois ? il y est réellement 6 fois; mais en multipliant SyS par 6> j'aurais^ plus que mon dividende 1894 ;. c'est pourquoi j'écris seulement 5 au quotient, je multiplie 5jh par 5; et après avoir .écrit le produit sous i894j j« fais la soustraction^ et j'ai pour reste 19.
J'abaisse à côté. de 19 le chiiFre 9 du dividende; et comme 199 que j'ai alors ne contient pas 375, je pose o an quotient , et . j^abaisse à côté de 199 le chiffre ^ du dividende , ce qui me donne 199a pour lequel je dis ^ en 19 seulement combien ide fois 57 6 fois. Mais par la même taison que cî*dessus , jç nléoiri» au quotient que 5; et après ayoir opéré comme ci-devant^ j'ai pour reste 117.
64' Voici ime réfiexîon qui peut servir à éviter , dans tin grand nombre de oas^ les tentatives inutiles. On est principalement exposé à ces essais douteux , lorsque le second chiffre du diviseur est sensiblement plus grand que le premier. Dans ce cas , au lieu dç chercher combien le premier chiffre du diviseur est •entent] dans la partie correspondante du dividende , il faut cihercher combien ce premier chiffre augmenté d*une usité, se trouve contenu dans la partie correspondante du dividende : cette épreuve sera toujours beaucoup plus approchante que Ift première.
EXEMPLE
On propose de diviser i83a par a88.
Qft8
io4
A« lieu de dire^ en 18 combien de fois a ^ je dirais en x8 com« bien de fois 3, parce que le diviseur 2288 approche beaucoup plus de 3oo que de aoo *, je trouve 6 , qui est le véritable quotient; au lieu que j'aurais trouvé 9 1 et j'aurais par conséquent été obligé de faire trois essais inutiles.
Moyens d abréger la Méthode précédente.
65. C*est pour rendre la méthode plus facile à saiair, que nous avons prescrit d'écrire sous chaque dividende partiel > le produit qu*oii trouve en 'multipliant le diviseur par le quotient ; mais comme le but de l'Ariâimétique doit être d'abréger les o^rationsy nous croyons devoir faire remarquer qu'on peut te dispenser d'écrire ces produits ^ et faire la soustraction à mesure qu'on a multiplié chaque * chiffre du diviseur. L'exemple «oivant sttflira pour faire entendre comment se fait cette soustraction.
EXEMPLE
On veut diviser 766984 par gSa.
756984 ii38
8ia -3- 93a
AprèîJ avoir pris les quatre premiers chiffres au dividende , qui sont nécessaires pour contenir le diviseur, je trouve que 76 contient 9 ,8 fois , c'est pourquoi j écris 8 au quotient, et au lieu de porter sous 7669 , le produit de gSa par 8 , je multiplie d^abord a par 8, ce qui me donnent 6; mais comme je ne puis ôter 16 de 9 , j'emprunte sur le chiffre suivant S , une dixaine , qui jointe â 9 medonoe 19 , duquel étant a 6, il me reste 3 que j'écris audessous.
Pour tenir compte de cette dixaine empruntée , ^u Heu de diminuer d'une unité :1e chiffre S* sur lequel j'ai emprunté, je retiens cette unité que je vais ajouter au produit suivant ; ainsi continuant la multiplication, je dis 8 fois 3 font a4i et un que j'ai retenu font fl5; comme je ne puis ôter â5 de 6 , j'emprunte sur le chiffre suivant 5 du dividende , deux dixaines , qui , jointes a 6 , me donnent d6 , desquelles j'ôle aB , et il me reste 1 que j'écris sous 6 ; par là j'ai tenu compte de la première dixaine dont j'aurais dû diminuer 6, parce que j'ai retranché une dixaine de plus. Je tiendrai, de m^me^ compte des deux dixaines q^e je viens d'emprunter. ' Je contini^e donc en disa.nt : 8 fois 9 font 73, et a que j'ai empruntés ifont 74, lesquels ôtés de 76 il reste 1.
J'abaisse à côté du res^e^M^ le «Chiffre 8 du dividende , et je continue de la même manière^ en disant : en 1 1 combien de fois^ 9 ? 1 fois ; puis une fois «^ fait a, qui Ôtés^e '8'il reste 6^ une fois 3 fait 3 y qui ôtés de ;3?il restCrO ; une. fois 9 est. 9 , ;qui*jôtés de 1 1 il reste 2. J'abaisse le chiffre 4 à côté du reste 206 , et je dis en 20 combien de fois 9? a-fois; -et faisant la multiplication , a fois a font 4 > <P^ ôtés de 4 il reste o ; à foi:^ 3 font 6,^ ^
38 eOFRS
Ôtés de Ç reste o; et enfin a fois 3. font 18^ qui ôtés Ae âo il reste s.
£6, Il peut arriver dans le cours de ces divisions partielles ^ que le dividende contienne, le diviseur plus de 9 fois ; cependant on ne doit jamais mettre plna de 9. au quotient; car si Ton pou>-vait seulemjeni mettre 1,0 , ce serait une preuve que le quotient trouvé par Topération précédente serait faux , puisque ladixaioe^ q^uon trouverait dans le qiiotient actuel , appartiendrait à cepremier quotient.
6,7. Si le dividende et le diviseur étaient suivis de- zéros, on pourrait en ôter à Tun et à l'autre autant qu'il y en a à Id suite de celui qui en a le moins. Par exemple > pour diviser, 8000 par 400^ je diviserai seulement 8q- par 4 > ^^ î^ ^^ évident que 80, centaines ne contiennent p<^ plus. 4 Centaines , que 8q uuléa necontiennent 4 unités.
De la Division de$ Parties decim^ks^
' 68. Pouf ne point noi:^ arrêter à des distinctions.superflue» ,, nous réduirons Topération de la division dea décimales à cette^ règle seule.
Mettez à la suite c'e celui dîes deux nombres proposés , qui a le moins de décimales ^ un nombre de zéros suffisant poui: qi^e le nombre des décimales soit le même dans chacun ; cela ne changera rien à la valeur de ce nombre (3o) y supprimes; la^ virgule dans Tun et dans l'autre , et faites l'opération comme^ pour lès noçibres entiers ; il ny $ura rien à changer âp ^9^ tient que vous trouverez..
EXEMPLE
On propose de. diviser 122^ 5fi par 4>3^
J^écria.. .^ i2,5a ^,3
Ou plutôt 13,52
^n complétant le nombre des décimales^
DE MATHÉMATIQUES. îj
Supprimant k virgule^ }*aî laSa à diyiser par 43o; faisaat ropération >
Je tronye 2 pour quotient ^ et Sja pour reste, c^est-à-dire , que
le quotient est a et ^~*
MaÎ5 comme l'objet qu'on se propose y quand on se sert de décimales, est d'évker les fractions ordinaires , au lieu d'écrirB le reste 5^2 sous la forme de fraction » comme on vient de le faire;,, on continuera Topération comme dans Téxemple suivant.
EXEMPLE
laSa I 43o I 2,9"^
5oo a7oa lao-
Apres* avoir trouvé le quotient en entier, qui est ici a-, on
mettra à côté du reste 392,^im zéro qui , à la vérité, rendra
ce reste dix fois trop grand ; on continuera de diviser par 45o ,
et ayant trouvé qu'il faudrait mettre g- au quotient,, on Ty
mettra en effet , mais après avoir ntarqué la place des unités
entières , en mettant une^ virgule après le a ; par ce moyen , le
g ne marquera plus que des dixièmes : après la multiplication
et la soustraction faites > on mettra à côté du reste 5o un zéro
ce qui est la même chose que si l'on en avait mis d'abord deux
à côté du dividende*, mais en mettant après le 3 le quotient
1 qu'on trouvera jt on lui donnera par là sa véritable valeur,
puisqu'alors il marque des centièmes-, on continuera aiusi tant
qu'on le jugera nécessaire. £,n s'en tenant à deux décimales, on
a la valeur du quotient à moins d'un centième d'unité près ; en
poussant jusqu'après trois chiffres , on a le quotient à moins
d'un millième pré» , et ainsi de suite , puisqu'on n'aurait pas pu
mettre une unité de plus on. de moins , sans rendre le quotient
trop fort ou trop faible.
ip COURS
Tous les restes de diyish)n peuvent être réduits ainsi en décî^ maies.
Il reste à expliquer pourquoi la suppression de la yii^ule dans le dividende et dans le diviseur ne diange rien au quo-* tient, lorsqu'on a rradu le nombre des décimales le même dans chacun de ces deux nombres : c'est ce qu'il est aisé d^apercevoir , parce que dans lexeipple ci -dessus le dividende 13,52, et le diviseur 4» 3o ne sont antre chose que ia5a centièmes et 4^0 centièmes^ puisque les unités entièrea valent des centaines de centièmes (as) ; or, il est clair que lâSa centièmes ne contiennent pas autrement 43o centièmes , que 1 25â unités ne contiennent i^o unités ; donc la considération de la virgule est inutile quand on a complété le nombre des décimales.
69. Lorsqu'on n'a besoin de connaître le qnotient d'une division que jus* qu'à un degrë dVxactîtnde proposé , on peut abréger le calcul par 1a me» thode suivante. Nous supposerons d'abord, qu'on n'a besoin de connaître ce quotient qu'à une unité près : nous ferons voir ensuite comment on doit appliquer la méthode, pour Tavoir aussi pcès qu'on voudra : voici Ift règle. . • ,.
Supprimez sur la droite du dividende^ autant de cbi£Pres, moins un, qu'il y en a dans le diviseur : faites ensuite la division comme à l'ordinaire: s'il n'y a point de reste, vous mettrez à la suite du quotient. autant de zéros, qne vous avez supprimé de chiffres dans le dividende. Mais s'il y a un reste , vous continuerez de diviser, non pas par le même diviseur qu'auparavant , ce qui n'est plus possible, mais pfir qe , diviseur dont vous aurez supprime le dernier chiffre de la droite : après, cette division, vous diyiserez le nouveau reste par le diviseur précédent, dont vous supprimez le dernier chiffre ^ur la droite; et vous continuerez ainsi de diviser, en supprimant à cbàquo division un chiffre sur la droite du diviseur»
EXEMPLE
On veut avoir, h moins d'une unité près, le qnotient de 8789236487 divisa par 64433. Je supprime les quatre premiers chiffres de la droite du dividende» et je divise 8789^3 par le diviseuil proposé 644^3*
Je trouve d'abord i3 pour quotient , et 4l4^4 V^^^ ^^'^® • j® divise donc 4 '1^4 P^' ^44^' ^^ supprimant le derpier chiffre 3 du diviseur: j'ai pour quotient 6 , que jVcris à la suite da premier quotient i3; et le reste est 3772 que je divise par 64'i ; en sup;)rimant encore un chiffre sur la droite du diviseur primitif : j^ai pour quotient 4 » que j Verts k la suite du quotient principal i36^ le reste eftt 196 que je divise par 64, en supprimant encore un chiffre dans le diviseur : le quotient est 3 , et le reste 4< Cnfiu , je divise par 6, et j^ai opour quotient; en sorte que le quotient de 8789^36487 divisé par 644^3, est i3643o , à moins d^une unité près. En effet, le quotient
Il n'est pas indispensable d'écrire à chaque fois, comme nous Tavons fait, le nouveau diviseur; on peut se eonicâter de barrer, dans le diviseur primi^ tif , cbaqoe chiffre à mesure qu^on passe h une nouvelle division : ce n'a étê\ que pour rendre Topera tion plus sensible^ que nous avons écrit ces divisears h tété des restes successifs.
70. Si le reste de la première division se trouvait plus petit que n'est le divisenr après qu'on en a supprime le dernier chiffre, on mettrait zéro an quotient; et s'il se trouvait encore plus petit que ne serait ce diviseur, après qu'on en a encore ôté le dernier des chiffres restans, ou mettrait encore un zéro au quotient^^ et ains^ de suite.
EXEMPLE
Pour avoir, 2i moins d'une nnilé près, le quotient de 55io6o54 divisé par 643, je divise, comme h l'ordinaire ^ la partie 55 1060 qui reste après la suppression des deux derniers chiffres du dividende proposé.
55t06o 643 3666 85701 45io
J'ai ponr quotient 857, et 9 pour reste :'il faut donc diviser ce reste par 64, seulement; comme 9 ne contient pas ce diviseur, je mets o au quotient, et j'ai encore ponr reste 9, que je divise par 6 seulement, en sorte que le quotient cherché est 85^0 1 , à moins d'une uhite près.
'ju Si lorsqn''an commencement de l'opération on supprime sur la droite du dividende les chiffres que la règle prescrit de supprimer, il se trouve que les chiffres restans ne coniieiinent pas le diviseur, on Supprimera tobt de suite, sur la droite du diviseur, autant de chiffres qu'il est nécessaire pour que le diviseur y soit contenu.
EXEMPLE
On veut avoir, à moins d^ane unité près, le quotient de i6ii5l7 divise par
Je supprime les quatre chifiretf i5!>7 de la droite do dividende. Mais comm* les chiffres restans i6i ne peuvent pas être divises par 645a4 «j^ supprime-^ dans ce diviseur, les trois derniers chiffres 5'\i qui doivent être supprimes pour que ce diviseur soit contenu dans le dividende restant i6i j ainsi je divise i6t par 64> en opérant comme dans Tezemple précédent |
et j^ai a5 pour le quotient de 161x537 divise par 645^4 ) ^ moins d'une unité près : en eQèt, le quotient exact est ^4 g/?/ ^ui est beaucoup plus près de aS que de 24*
73. A me^re qu'on supprime un chiffre dans le diviseur, il convient , pour plus d'exactitude, d'augmenter d'une unité le dernier de ceux qui restent, si celui qu'on supprime est au-dessus de 5 on égal à 5. On augmentera , de même , d''une unité, le dernier des chiffres qui restent dan* 1« dividende, gprès la suppression que la règle prescrit, si ceux-ci surpassent ou 5, ou lO ^ OU 5o , selon qu'il y en a i, oft a ,. on 3» etc.
EXEMPI.E'
Ou vetit avoir, à moins d'une unité près, le quotient de 8657637 divisé par 1987.
Je divise donc 8658 par 1987, comme il suit :
8658 1 4357 710.. ..19a ii3.. ..30 i3 3
c'est- ÎHiîre, qu*au lieu de diviser le reste 710 par 198 seulement, je le divise par 199, parce que le dernier chiffre 7, que je èupprime, est au-dessus de 5> M^me raison pour la division suivante.^ Mais comme le dernier diviseur qui
est contenu 6 fois -^ dans i3, est un peu trop fort, je met&7 au quotient.
73. Maintenant il est facile de voir ce qu'il y a à faite , loi^squ'on veut avoir ie quotientf beaucoup plus ezactemenu Par exemple, si l'on voulait
DE
«▼otr le ^otîent,' Ji un dix-millième cl*unité près, U question êc réduiraii à mettipe autant de zéro».(iQi oe serait quati;e) à la suitç du dividende, qu^oi\ ▼eut avoir de décimales an quotient j après quoi on fera la division selon la me'lhode actodle. Et lorsqu'on aura trouvé la quotient , k moins d'une unité près, on <n séparera sur la droi^^ par une virguU, autant de chiffi^es qu'iin voulait avoûr de dccima]e9.
CXSMPL£.
On veut avoir, It moins d'un dix-millième d'unité près , le quotient do 6937 divisé par 453a ; je mets quatre téroê à la suite de 6937, et la questioQ se rédtût à avoir, i moins d'une unité près , le quotient de 69270000 divi^ par 4533, c'est-à-dire conformément à la règle ci-dessns^ à diviser 6037(X par 4532 , comme il suit :
ÉI9170
i5a85 i9go...453 384* ••45 a4**«5
le qaolient cherché est dçnc i,5a85, h moins d'un dix-BÛlKème d\mké prè».
S'il j avait èt$ décimalea dans le dividende , 01:^ da^ le diviseur, ou daoa fous les deux , OQ les ramènerait d'abord à n'en point avoir, selon ce qui a été dit (68) ; aprèt quoi on opérerait comme dans ce dernier exemple.
Donc si l'on voulait rédpire une fraction proposée, en décimales, on y parviendrait promptement par cette méthode, ayant égard à ce qui a été dit (71).
Aî^si , si Pon vent réduire -^^r-s en décimales , et en avoir la valeur à
moins d'o^ millième d'unité près, on aura 4a53ooo h diviser par 9678; ce
qui (69) se réduira à diviser 4^53 par 9678, et (71 et 7a) à diviser 4^53 par
968, selon la ipéthode actuelle. Qn trouvei^a donc 439 i «n sorte qu'on aura
0^39 pour la valeur de ^—-z , à mbins d'un millième près.
Il pourrait arriver néanmoins que le quotient trouve d'après ces règles, fût fautif de i , a , on 3 unités dans le dernier chiffre. Quoique ce cas doive se l«ncontrer très rarement, il n'est pas iiuitile de faire observer qu'on peut toujours le prévenir facilement , en ne séparant , an commencement de l'opération , sur la droite du dividende, qu'autant de chiffres moins .deux qu'il y en a dans le diviseur, {u opérant, du reste, comme ci-dessus. Lorsque le quotient sera trouvé, on en supprimera le dernier chiffre, en observant d'ajouter une unité an dernier dt, ceux qui resteront, ai celoi qu'x»n tup-^ ^rJme est plus grand que 5t
Preuve de la Multiplication et de la Division.
74. On peut tirer de la définition méihe que nous avons donnée de chacune de ces deuic opérations , le moyen d'en faire la preuve.
Puisque dans la multiplication on prend le multiplicande autant de fois que le multiplicateur contient d'unités , il s'ensuit que si Ton cherche combien de fois le produit contient le multiplicande, c'est-à-dire (69) si Ton divise le produit par le multiplicande, on dcdt trouver, pour quotient, le multiplicateur , et vice versa ; en général , si ton divise le produit dune multiplication par l'un de ses facteurs, on doit trousser pour quotient l'autre facteur.
Par exemple, ayant trouvé ci-dessus (5o) que a8S4 multiplié par G a donné 17184, ie divise 17184 par a864; je dois trouver, «4 je trouve en effet , S pour quotient.
Pareillement , puisque le quotient d'une division marque combien de fois le dividende contient le diviseur, )1 s'ensuit qui» si l'on prend le diviseur autant de fois qu'il est marqué par le quotient , c'est-à-dire si l'on multiplie le diviseur par le quotient, on doit reproduire le dividende , lorsque lai division a été faite sajQs reste > et que, dans le cas où il y* a uareât&,.airon multiplie le diviseur par le quotient , et qu'au produit on ajoute le reste de la division , on doit reproduire le dividende. ^
Par exemple, nous avons trouvé ci -dessus (62^ que 18949^ divisé par 376, donnait 5o5 pour quotient, et 117 pour reste. En multipliant 375 par 5o5, on trouve 189376, auquel ajoutant le reste 117, on retrouve le dividende 18949^*
Ainsi la multiplication <et la division peuvent se servir de< preuve réciproquement.
Mais on peut vérifier ces opérations par un moyen plus prompt que nous allons epcposer; il ne faut pas, pour cela» négliger les réflexions que nous .j^Mons de ' faira ; celles seront utiles dans beaucoup d'autres occasions.
Preuve par 9.
75. Supposons qu'après avoir multiplié 65498 par éfi^^ et ^trouvé que le produit est 297360931 on veuille éprouver si ce produit est exact.
On ajoutera tous les chiffres 6,5,4*9)8, du multiplicande comme s*ils.ne contenaient que des unités simples , et on retranchera 9 à mesure quil se trouvera dans la somme : on auiU ua reste qui sera ici 5.
On ajoutera pareillement les chiffres /ifi,J^ du multiplicateur« et retranchant pareillement tous les 9 que produira cette addition, on aura pour reste 4*
On multipliera le reste 5 du multiplicande par le reste 4 du multiplicateur, et du produit ao on retranchera les 9 qu'il peut renfermer; il restera 12.
Si le produit est exact, il faut qu'ajoutant de même tous les chiffres 3> 9, 7> 3, 6, o, 9, 2, de ce produit, et retranchant tous les 9 , il ne reste aussi que a ^ ce qui a lieu en effet.
Cette règle est fondée sur ce principe que , pour avoir le reste de la soustraction de tous le^ 9 qu'un nombre peut renfermer, il n'y a qu'à chercher le reste que siès chiffres , ajoutés comme des unités simples, donneraient après la suppression des 9.
En effet, si d'un nombre exprimé par un seul chiffre suivi de plusieurs zçros on retranche tous les 9 , le reste sera' exprime par ce seul chiffre. Si de 4000, ou de 5oo, ou de 6o,oco, vous retranchez tous les g , le reste sera 4> ®» 5) ou 6, etc., ce qui est aîsé à voir.
Dona le reste que doni\erait, par la suppression des 9, un nombre tel.que .65498 (qui est la même chose que 60,000, plus 5ooo, plus 400, .plus 90, plus 8) sera le même que celui que donneraient 6 plus 5, plus 4» plus 9, plus 8; c'est-à-dire le même que si l'on ajoutait ces chiffres contenant des unités •impies.
En vpici maintenant l'application à la preuve de la multiplication.
Puisque 65498 est composé d un certain nombre de 9 et d'un reste 5 , et que le multiplicateur 4^3 est composé aussi d'un certain nombre de 9 et d'un reste 4 , il ne peut s'en falloir que du produit de 5 par 4 ou 20 1 que le produit total ne soit divisible par 9, ou ) en ôtant les 9 , il ne doit s'en falloir que de a que le produit total ne soit divisible par 9 : donc il doit rester au produit la même quantité que dans le produit des deux restes ^ après Ja suppression des 9 qu'il renferme.
On pourrait faire aussi cette épreuve de la même manière par le nombre 3.
A l'égard de la division > elle devient facile à éprouver, d'après ce qui a été dit (70) après avoir ôté du dividende le reste qu'a donné la division , on regardera le résultat comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs ,^t par conséquent on y appliquera la preuve par g , de la même manière qu'on vient de le faire.,
A parler exactemeâi , cette vérification n'est pas infaillible; parce qaé dans la multiplication, par exemple, si l'on sVtait trompe' de quelques uni<« tes sur quelque chiffre du prodait^ et qu'en même temps on eût fait une erreur égale, mais en sens contraire, sur quelque antre chiffre du même produit j comme cela ne changerait rien aa reste qae l'on aurait après la suppression des 9 , cette règle ne ferait point apercevoir Terreur j maïs comme il fatit, ainsi qu'on le voit, au moins deux erreprs, et dcul erreurs qui se compensent, ou qui ne diffèrent que d'un certain nombre de fois 9f !<• cas oh. cette vérification serait fautive, ser(mt très rares dans l'usage.
Quelques usages de la Règle précédente.
76. La division sert non-*seulement à trouver combien de fois un nombre en contient un autre , mais encore à partager un nombre en parties égales. Prendre la moitié^ le tiers , le quarts le cinquième ; le vingtième , le trentième, etc., d'un nombre^ c'est diviser ce nombre par s, 3, 4> 5, ao, So, etc., ou le partager en a, 3, 4> ^« ^> ^^> 3o, etc. ^ parties égales, pour prendre une de ses parties.
La division sert encore à convertir les unités d'une certaino espèce, en uuités d*une espèce supérieure; par exemple, un certain nombre de deniers en sous , et ceux-ci en livre». Pour
réduire 5864 deniers en sous , on remarquera que puisqu'il faut la deniers pour faire un sou , autant de fois il y aura i% deniers dans 5864 deniers^ autant il y aura de sous ; il faut donc diviser par la , et on trouvera /fii sous et 8 deniers de reste. Pour réduire en liv. les 488 sous^ on divisera 488 par so > puisqu'il faut âo sous pour faire la livre, et on aura en total ^4 livres 8 sous 8 deniers.
A l'occasion de cette division par 20 , remarquons que quand on a à diviser par un nombre suivi de zéros , on peut abréger l'opération en séparant sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il y a de zéros ; on divise la partie qui reste à gauche par les chiffres significatifs du diviseur *, s'il y a un reste , on écrit à sa suite les chiffres qu'on a séparés, ce qui donne le reste total. Par exemple^ pour diviser 5834 P^'' ^o> )® sépare le dernier chiffre 4> et je divise par a la partie restante 583; j'ai pour quotient agi ^ et 1 pour reste ; j'écris «à côté de ce reste 1 , le chiffre séparé 4 1 ce qui me donne i4 pour reste total; en sorte que le quotient est agi •^.
Cette abréviation peut être appliquée i la réduction de la charge d'un navire en tonneaux de poids. Si l'on sait que 1a charge est de a584954 ^ *• pour la réduire en tonneaux» c'està-dire , pour diviser par aooo , x>n séparera les trois derniers chiffres de la droite , et prenant la moitié des autres, on aora 1 a^a tonneaux et g54 & • ,
Quand on veut éyalncr en livres et loos le vingtième d^un sombTe dtf livres proposé, il snit de cette règle, qne Topération se réduit à compter le deniier chiffre pour des sons, et prendre moitié des antres chiffres ^oe Ton comptera pour des livres. Si en prenant cette moitié , il reste une unit^ « on la comptera pour une dizaine de sous qu'on placera à la gauche du chiffre qu'on • séparé d'abord. Par exemple, si l'on veut avoir le vîug* tième de 54672 livres, on séparera le dernier chiffre a, que l'on compter» pour a sous j et prenant la moitié de 5467 , qui est 3733, avec une unité de reste, on écrira 3733 livres 13 sous : la raison de cette règle est évidente, en faisant attention qne 54679 livre» est 54660 livres, plus 13 livres; or, le vingtième de 54660 est évidemment 3733, et celui de t3 livres est 13 sous, puisque le vingtième d'une Ëvre est un sou. S'il y «vaitdes sou« et deniers dans la somme proposée, on négligerait les deniers, dont la Tittg" tième partie ne peut jamais faire un denier. A l'égard des sous^ on les iri*
p]crait; et prenaQtle cinquième , on le porterait aux deniers. Ainsi le vingtième de 54672 Kv. 17 s. 7 cl. est 2733 liv. 12 s. 10 d.
8^il s'agissait d'avoir le dixième d'an nombre de livres , on séparerait le der-* nier chiffre, et Payant double, on le compterait pour des sousj et on Gomp-« terait comme des livres tous les cbiffîres restans sur la gauche. iÎLÎnsi le dixième de 67987 liv. e;5l 6798 liv. iJ§ s. La raison pour laquelle on double le dernier chiffre, est que le dixième d'une livre est 2 sous.
On a assez souvent besoin de prendre les 4 deniers pour livre d'une somme proposée : cela se réduit h en prendre d'abord le vingtième, comme il vient d'être dit j puis prendre le tiers de ce vingtième. Ainsi pour avoir les quatre deniers pour livre de. 876a livres, j'en prends le vingtième, qui est 438 liv. 2 sous, dont le tiers 146 liv. o s. 8 den. forme les quatre deniers pour livre de 8762 liv. £n effet, les quatre deniers pour livre ne sont autre chose que le soixantième, puisque 4 deniers sont contenus 60 fois dans la livre. Or le soistautième est le tiers du vingtième.
Des Fractions.
77. Les fractions considérées arîthmétîquement , sont d^ed nombres par lesquels on exprime les quantités pins petites que Tunité.
78. Pour se faire une idée nette des fractions , il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité , est ellemême composée d'un certain nombre d'unités plus petites; comme l'on conçoit, par exemple, que la livre est composée de vingt parties ou de vingt unités plus petites , qu'on appelle sous.
Une ou plusieurs de ces parties forment ce qu'on appelle une fraction de Vunité. On donne aussi ce nom aux nombres qui représeAtent ces parties.
7g. Une fraction peut être exprimée en nombres de deux manièreâ qui sont chacune en usage.
La première manière consiste à représenter, comme les nombres entiers , les parties de l'unité que contient la quantité dont il s'agit ; mais alors on donne un nom particulier à ces parties : ainsi pour marquer 7 parties dont on en conçoit 20 dans la livre, on emploierait le chiffre 7, mais on prononcerait 7 sous » et on écrira 7^ : cette manière de:marquer les parties de l'unité a lieu dans les nombres complexes , dont nous parlerons par la suite.
