convertis en neuvièmes, feront

bÈ MATHÉMATIQUEiS; Si

Dés changeniens (jiion p^ût faire subir aux deiitjû termes d'une Fraction sans changer sa valeur,

67. U est visible que plus on concevra d% parties dans Tu* iiîté i et plus il faudra de ces parties pour composer une même. quauti(é:

88. I)onc on peiii rendre le dénominateur d*uné fraction ^ double, triple, quadruple, etc., sans rien cliangfr à la valeur de là fraction , pourvu qu'en même temps bn tende aussi le nur* niérateur double , triple , quadruple , etc.

On peut donc dire , en général , quunè fftiction ni change point de valeur ^ quand on multiplie ses deux termes par un même nombre.

3 ' 6 I u Ainsi -- est la même chose que ^ -, - la même cho^ë que --^

que g , que — , etc.

8g. Par un raisonnement sèmfslabfe, on voit que moins on supposera de parties dans Tunité , moins il faudra de ces partiel pour former une même quantité \ que par conséquent on peut^,| Âans changer une fraction , rendre son dénoiliinateur , a, o, 4 ^ ^^c. fois plus petit, pôuriu qu'en même temps on rende son numéral teur , a, 3, 4» etc. fois plus petit; et en général, lin eyrcc//o/i ne change point de valeur quand oh divisé ses deux tetmes par un même nombre.

Pour voir di^inctement la vérité de ces deux p^ropositlons , îl suffit de se rappeler ce que c* est que le dénominateur, et ce que C'est qûè le numérateur d'une fraction.

Remarquons doue que multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par un même nombre , n'eat point multiplier ou diviser la fraction , puî-que , comriié nous venons de le dire , elle ne change point de valeur' par ces opérations»

Les deux' principes que nous venons de poser sont la base des âeux réductiona suivantes qui &cnt d'un très ^rand usage.

5a COURS

Mêductiofi des Fractions à un même dénominalôur^

go. 1 ^ Pour réduire deux fractions à un même déiMminateur, multipliez les deux termes de la première, chacun par le dénominateur de la seconde, et les deux termes de la seconde , cha-* cun par le dénominateur de la première.

Par exemple, pour réduire à un même dénominateur les deux

fractions ?> ~/> j^ multiplie a et 3 qui sont les deux termes

de la première fraction ^ chacun par 4i dénominateur de la

«econde^ et j'ai — , qui (88) est de même valeur que =.

la o

Je multiplie de même le>s deux termes 3 et 4 de la «econde

fraction, chacun par 3, dénominateur de la première, et j*ai

— qui est de même valeur que -; «en âorte que les fractions ^z

et 2 sont changées en — et — , qui sont respectivement de

4nême valeur que celles-là, e.t qui ont le même dénonûnateur entre elles,

Il est aisé de voir que par cette méthode le dénominateur sera toujours le même pour chacune des deux nouvelles fractions , puisque dans chaque opération le nouveau dénominateur e&t iormé de la multiplication des deux dénominateurs primitifs.

j) 1 • a®. Si Ton a plus de denx fractions y on les réduira toutes au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacune par le produit résultant de la multiplication des dénominateurs des autres fractions.

Par exemple , pour réduire à un mâmedénoyninateur le« quatre

fractions 5 » 7» E» " > 1® înultiplierai les deux termes a et 3 de

la première, par le produit des trois dénQminatem's4^ 5, 7, âef

autres fractions; produit que je trouve en disant : 4 fois 5 font

se, puis 7 fois ao font 1 40; je multiplie donc a et 3 chacun par

i4o* et j'ai 2 — qut «s* de même valeur que ~ (88).

Je multiplie pareillement les deuxterm«s 3 et 4 dé la seconde frac;tion ^ par le produit de 3,5, 7, produit que je forme en disant : 3 fois 5 font iS^ puis 7 fois i5 font iû5 ; je multiplie^

donc 3 et 4 chacun par io5, ce qui mre donne - — , fraction.

de même valeur que -^, -^

Passant à la troisième fraction , je mulripliie ses deux termes^

4 et 5 chacun par 84 > produit des trois dénominateurs ^^ ^ 4

et 7, et j'ai -; — au lieu de p.

EnGa pour la quatrième , je multiplierai 5 et 7 cbacmi par le

{«"oduit 60 des' dénominateurs , 3, 4r ^> ^^^ ^^î^ premières*

fractions , et j^aurai -7— au lieu de -, en sorte cpie les quatre ' 4ao 7* ^ ^

f. . 3 3 ;..V ,, . 980 3i5 33S 3oo

traitions. = , y^ .^^ ^^^t cbangee» en — - , -r-, y*^y -r—^

moins simples , à la vérité qift celles-là , mais de même valeur qu'elles, et plus susceptibles, par leur dénominateur commun ^ des opérations de l'addition et de la soustraction.

Remarquons que le dénominateurde chaque nouvelle fraction étant formé du produit de tous les dénominateurs primitifs , ce nouveau dénominateur ne peut manquer d*étre le même pouK chaque fraction.

Réduction des Fractions a leur plus simple^

expression^

92. Une fraction est d*autantplus simple , que sesdeux termes sont de plus petits nombres. Il est sdivent possible d'anaener une fraction proposée à être exprimée par de moindres noÂibres , et cela lorsipe son numérateur et son dénominatevr peuvent être divisas par \\n même nombre *, comme^cette opération n'en change^ point la valeur (89) , c'est une simplification qu'on ne âbitpoi⣠négliger.

"Voici le procédé qu'il faudra suivre-

j3. On divisera le nuniérateuc et lé dénominateur diaeoB par 3, et on répétera cett.e divUion tant qu'elle pourra se faire ^xactepient.

On divisera ensuite les deux termes par 3, et on continuer^ de diviser Tua et Tauti^e par 3 , tant que cela pourra se faire.

On fera la même chose succes^sivement avec les nombres 5 ^ 7, 11, i3, 17, etc., c'estrà-dire avec les pombrea qui n'ont aucun diviseur qu'eux-mêmes, ou lunité^, et qu'on appelle nomr ères premiers.

Ainsi là seule difficulté qu il y ait est de s^yoir quand est-c^ qu'on poufra diviser par a , 3 , 5 , etc.

On pourra, dans cette recherche, s'aider des principes suî— vans.

94* Tout nombre qui finit par un chiffre pair est divisible par Q,

Tout npmbre dont la somme des chiffres ajoutés ensemble^ comme s'ils étaient des unités sim')\es , fera 3 bu un multiplie de 3, c'eiit-à-dire un nombre exact de fois 3 sera divisible par 3.

Par exemple^ 54a3i est divisible par 3 , parce que ses chilTres 5,4*2,3, 1 , fonj ?5, qui est 5 foi^ 3,

La même chose a lieu pour le nombre 9 , si lès chiffres ajour tés ensemble font 9 ou un multiple de 9.

Cette propriété du nombre 3 se démontre comme celle, ^v^ nombre 9, à très peu de chose près, et l'un et l'autre se àér monti-ent comme on Ta f;^it à la preuve de ,9. (75).

Tout nombre terminé pac un 5 ou par un zéro est divisible par 5. '

A l'égard des npmbre^ 7 et des suiyan^ , quoiqu'il soit facile de trouver de pareilles règles, comme Tesçamen qu'elles supposent fst aus&i )png que la division, i) faudfa essayer la, division.

floiG Proposons-nous, par exemple, de réduire la fraction = — g-.

Jfi divise |.es deux tennes par 2, parce que. les deux derniers

phifFres de chacun sont pairs, et j'ai -s-q» Je divise enocre paç

5o4 9 et j'aî Z^ -. Ce qui a été dit ci-dessus m'apprend que je pui»

diviser par 3 \ je divise en effet et j*ai j^ ', je divise encore par

' ' \ 5ff'

3 « ce qui me donne^^^ ; enfin j*e89aie de diviser par 7 ; la di*

vision réussît et me donne -=I

ao

La raison pour laquelle hous prescrirons de ne tenter la division que par les nombres premiers , a , 5, 5 , 7, etc., c'est qu'après avoir épuisé la division par a , par exemple, il est inutile de tenter de diviser par 4 > puisque si celle-ci pouvait réussir, à plus foite raison la dirision par a aurait-elle pu encore se faire.

Cjl5^ De tons les moyens qa^on peut employer pour réduire une fraction à une expression plus simple, le plus direct est celui de diviser les deux termes parle plus, grand diTÎseuc commun quHls poissent avoir : voici la règlo pour trouver ce plus grand diviseur commun.

Divisez fe pins grand des deux termes par le pins petit; s'iin'y a point do rsste, c^est le plus petit terme qui est le plus grand divisenc commun.

S*i\ y a un reste , divisez le plus petit terme par ce reste, et si la division se fait exactement, c^est ce premier reste qui est le plus grand diviseur commun.

Si cette seconde division donne un reste , cKvisez le premier reste par le second , et continue» toujonis de diviser le reste pr^ddent par le dernier reste, )a»qn^à ce que vous arriviez à une division ex&cte» Alors le dernier diviseur qoe vous aufez employé sera he plus grand diviseur des deux termes de la fraction.

8i le dernier diviseur se trouve être l'unitë, c'est une preuve que la fraction ne peut étre^jréduite*

Prenons pour exemple la fraction -^.

Je divise 9034 ) j'ai pour quotient 3, et pour reste i5o4.

Je diyise ^760 par i5o4; )''ai pour quotient a , et pour reste 759.

Je divise le premier reste i5o4 par le second reste 75a ; la division réussit,

<t j'en conclus que 75a peut diviser les deux termes de la fraction -^^ , et

la rcduire à sa plus simple expression,, qu^on trouve y en faisant Toperatiou ,

la ...

En effet, on a trouvé que "Sa divise i5o4 y il doit donc diviser 3760^ qu'on

9. va être composé de deux fois i5o4 et de 75a : on voit de même qu'il doit

vVivisev go3i{ , puisque 902^ est compose de deux fois 8760 et de i5o4.

Qo voit de plut» que 75a est le plus grand commun diviseur que puisscjat

«voir 3760 et çp^ ; car il ne' peut y avoir de divi^cnr comman entre 9014 ec 3760, qui ne le soit en même temps de 3760 et i5o{ ; et entre ces deux-ci il ne peut y en avoir un qui ne soit en même Usmps diviseur commun de i5o4 et de ^^a; mais il est évident qu^entre ces deux-ci il ne peut y avoir dç diviseur commun plus grand quç ^Sa j donc , etc.

Différentes manières dont on peut eui^isager une Fraction, et conséquences quon peut en tirer.

96. L'idée que nous avons donnée jusquici d*une fraction, est que le dénominateur représente de combien de parties l'unité est composée ; et le numérateur, combien il y a de ces parties dans la quantité que la fraction exprime^ ^ On peut encore envisager une fraction sous un autre point de vue : on peut considérer le numérateur comme représentant une

certaine quantité qui doit être divisée en autant de parties qu*il

y a d'unités dans le dénominateur. Par exemple , dans - , on

peuf considérer 4 comme représentant 4 choses quelconques ^ 4 liv., par exemple , qu'il s'agit de partager en cinq parties ; car il est évident .que c'est la même chose de partager 4 liv. en cinq .parties pour prendre une de ces parties, ou de partager une livré en cinq parties pour prendre 4 de ces parties»

37. Ou peut donc considérer le numérateur d'une fraction GoiHimeun dividende, et le déDomlnateur oorom« un diviseur. On voit par là cq que signifient les restes de divisions mis sons la forme-que nous leur avons donnée (60).

98. Il suit de là, 1*. qn'ûti entier peut toujours être mis sous la forme d'une fractiçn, en faisant de cet entiet le numérateur,

et lui donnant l'unité pour dénpminaitâur^ ^tnsi â ou - sont la

même chose ; 5 ou -»- sont la mêm»e chose,

99- ^**f Que pour convertir une fraction quelconque en décimales, il n'y a qu'à considérer le numérateur comme un restp de diyîsioa où le dénominateur était diviseur, et opérer

par conâégaent comme il a été dit (68, exemple II), en observant de mettre d'abord ua zéro au quotient pour tenir la place

des unités ; c'est ainsi qu'on trouvera q^e =- valent en déciiualeâ

mfi; que -valent o,555, etc.; que -7 vtut Ofi4» ^^ ^^ ^

«uite.

C'est ainsi qu'on peut rédnîre en décîmales^tout nombre copipi exe proposé. Par exemple, s'il s'agit de réduire 3*^ 5^ 8^ 7*. en décimales de la toise, -de manière à ne pas négliger un9 demi-ligne ; j'observe que la toise contient 864 lignes, et par conséquent 17^8 demi-lignes; il faut donc, pour ne pas négliger les demi-lignes , porter l'exactitude au<<deU des œtUièmes; c'est-à-dire jusqu'aux dix-millièmes. ^

Cela posé, je réduis les 5^ 8? 7* tout en lignes; et j'ai 8a3

lignes ou ^77- de la toise : réduisant cette fraction en décimales,

comme il vient d'être dit, on a o^^SaS, et par conséquent 3^,9525 pour le nombre proposé.

Des opérations de V Arithmétique sur les Fractions.

100. On fait sur les fractions les mêmes opérations que sur les nombres entiers. Les deux premières opérations , l'addîticMt et la soustraction ,* exigent le plus souvent une opération pré-* paratbire ; les deux autres n*tfn exigent poiut.

De l'addition de^ Fractions.

ICI. Si les fractions ont le. même dénominateur, on ajoutera tous les numérateurs 9 et l'on donnera â la somme le déno*

3 3 5 juinateur commun de ces fractions. Ainsi pour aia^er -, -9 ~ t

j'ajoute les nomérateura a, 3 j 5 , et j'ai par consé^pteat -^ que

je réduis à 1 - (85),