j .^ ^ 3o 5 ^ de -de ri se réduit a — ou
t)È MATHÉMATIQUES. 68
En effet ^ il est facile de voir que prendre les isde- n'est autre chose que âlultiplier - par s , puisque c*est prendre ^ de fois la fraction -. Pareillement prendre les =de^-dfe^, re-
vient à prendre les -"r ^ ? > puisque ^de-y reviennent à — , et
S 5 *^ ce qu on vient de dire fait connaître que les — - cfe ;t reviennent T. ^ jfl 6
. 3o 5 a — ou — .
Si Ton demandait les -^ c/e 5 ^ , on convertirait l'entier 5 en
huitièmes , et la question serait réduite à évaluer la fractioa
de fraction - de ^ qu'on trouverait être -=-^ ou A =-* 40 02 6ià
Ajoutons à tous ce que noua avons dit sur les fractions ,
un exemple qui renferme plusieurs des règles que nous avon:» »
établies.
^Supposons qu'on veut construire un vaisseau de 140 pieds 7?
de longtteujTy que les distances entre les sabords , en y com^
prenant l'espace entre le premier sabord et la rablure de l'étrave^
et l'espace entre le dernier sabord et la rablure de Tétambot ,
fassent 108 -^ pieds : on deçiande si Ton peut percer la sabords
à la première batterie de chaque bord.
De i4o pieds ;= je retranche 108 - (io3 e^ suiv.) ; il me reste . . 3 ' 4
3i — pour les sabords; je divise 3i — par la, c'est-à-dire
383 ia o/rv ^ r \ *'^- *.• ^383 , * j par — (8b) et (110), j ai pour quotient —y de pied , qui
valent a pieds et -~ , fraiction qui , évaluée en polices et lignes, vaut 7 pouces 11 lignes; ainsi il faudrait donner à chaque
sabord a p΀ds 7 pouces 1 1 ligues , c'est-à-dire a pieds & pouCi^ à peu près; ce qui est une mesure convenable pour un yaisstaùr
de 140 pî«^» 5*
1 f 5. Lorsqa^Qiiç ftacti^n eipriitfèe pu des lovibret un peu contîdërdbW, n^est pas iddvcûble par la méthode donnée (95), el qu^oQ peut *ç contenter d^en avoir nn. Taletir approchée, on peut y partenhr par la méthode suiTante* qtii donne aheruatÎTeraent des fractions plus grandes et pins petites que 1» proposée, mais toujours de plus en pins approchées, en sorte qu''à la dernière opcratioa on retombe sur Ift frwtWn proposée. Psenoos, par exemple, lafrae«>
lOOOOO . , ry ' '^ ' • i ^ ^«
ttons-T- ?-> qui» comme pale verra en Géométrie, exprime le rapport très-
approche du diamètre h la circonférence^ et proposons-nous d'exprimer cette fraction par d'autres fractions, moins exactes à la vérité, mais exprimées par des nombres plus simples.
Diviser le numérateur et le. dénominateur par le numérateur; vous att"
icz - — 7- p-> Pour avoir ime première valeur approd^^e, négligez la fracûoB
loooeo
qpx acQompQgne 3 , et vous aurez ? pour premièxe voleur approchée, mais nit
pev trop forte.
Pour avoir une valeur plus approchée, divisez le numérateur et le déno» minateur de la fraction qui accompagne 3, chacun par le numérateur de
«eue fraclîotty et vous aurez — j négligez la fraction qui accompagne 7,,
et TOUS aurez — , oti (8G) — , on (109)— pour seconde taleur, qui est
plus approchée que la première, mais un peu trop faible.
Pour avoir une valeur encore plus approchée, drvisez le numérateur et le déiLominatcur de la fraction qui accompagne 7 , chacun par le numérateur
de cettç fsactiony vous aurez — ;supprîmezla fraction qui accompagne
i5, et vous auxez -^ qui »e\kni h .tt^, valeur plus a|tprochéey mais un pcw
tieplerie.
DE MATHÉMATIQUES, fô
Pour aToîr une valeur encore pli]« d^rot:hée , jUvifez,1ei deux termes de la fracUon ^ui accompagQe i5 chacun pur le numérateur 85^ , et voua aui^z
.— - > ne'giigeaiit la fraction •—, Ypua aures pour ^J^ur plut approchée
1^ , mais qui est un pen trop faible. On voit , à présent» comment çn peUI continuer.
Des Nombres ùomplexes.
1 1 6. Quoique les règles (}ue nous ayons exposées Ju^^lci puissent^etvir aus^gî à calculer les n9mbres complexes , nous croyons cependant devoir considérer fceux-ci d'une manière pTas particulière, parce que la division qu^on y fait de Tunîté principale , en facilite souvent le calcul»
Il y a plu:>ieurs sortes de nombi^es complexes , et les règles pour les calculer tiennent beaucoup à la division qu'on '^ faite <le Vunité : cependant îl n'est pas nécessaire d*e?<aniirier toutes ces espèces , pour être en état de les calculer ; mais il importe <le savoir quels rapports leurs difFérerites parties ont tant entre ' «lies, qu*à l'égard de l'unité principale^ c'est par cette raison ique nous donnons ici une table des nombres complexes dont Tusage est le plus fréquent»
Table 4es unités de quelques espères y et catactèfes par lesquels
on représente ces différentes unités,
POURX£S ll0lr'trA.TÉ9k
"^ aignifle »..,..».... livre. | i lî^te vant..*»» ^.» !k050US*
'S ..«k ....... . sou. I I sou vautk ..»..». ...k*. ta den».
POVR LSS PO InSk
I livre (poids) vaut. .... a marcs* T marc 8 onces.
!b signifie. livre.
M marc.
O. . ...••••..•«•..».• once.
G > k.*.. gros.
D denier ou scrupule.
If..' , grain.
Arithni.f Marine et Artillerie, t. î. - S
T once. ....... k ... i ... . 8 gros.
I {!ros 3 deniers ou scrupules.
I denier a{ grains.
fô COtllS
t'btti l'^tevovc des LxdirÉs.
ï signifie i loîse.
P, . . . , ., . , 4 pied.
^ , « poace.
1 * ligne.
pC. poiiit.
tOVn LE TEMPS.
X toise Taut . o |)iédA.
I piedi 4 . * 4, la pouces^
I pouce « . . 13 lignes.
X ligne ....«.* la poinis.
<J signifie jonr.
H ». i ....'....*.<... < lieure.
' r minute.
• seconde.
I jour vaut a4 heures.
t heure. . < . . . 4 . . < . . . 6o niiniiteStf
1 minute 6o secondes.
I seconde 6a tierces.
Nous donneronaf en Géotnélrie les divisions des mesures rela-^ tives aux superficies et aux capacités dep corps.
Addition des Nombres complexes.
,117. Pour faire cette opération, on écrit tous les nombrer
proposés les uns au-dessous des autres , de manière que toutes»
les parties d^une même espèce se trouvent chacune dans une
même colonne verticale \ et après avoir souligné le tout ^ oa
commence Taddition par les parties de Tespèce la plus petite ;
si leur somme ne compose pas une unité de l'espèce imi^édia-*
tement supérieure, on récrit sous les unités de son espèce; si
elle, renferme assez de parties pour composer une ou plusieurs
imités de Tespèce immédiatement supérieure ^ on n'écrit au«
dessous de cette, colonne, que l'excédant d'un nombre juste
d'unités de cette seconde espèce, et l'on retient celles-ci pour les
âjoii er avec leurs semblables , sur lesquelles on procède de la
même manière.
EXEMPLE
Ov propose d'aiouter
ag^g^ iS^' 7*^ somme.
La somme des deniers est 3i, qui renferme deux doozaînet de deniers , ou 2 sous et 7 deniers; je pose les 7 denierr«, et je retiens a sous que j'ajoute avec les unités de sous, ce qui donne i£^ sous , dont je pose seulement 1« chiffre h, et je retiras la dixauie
m MATHÉMATIQUES. éy
]^otir r^ijouter Aux di Icaines ; ce qui me donné S ; ettx>iminé il Caiit 'deUxdixaines de souii pour faire une lirre , je prends^ la moitiéde 5 qui est a 3 avec i pour reste; je pose ce reste |. et je porte le^i â livres à la colonne des livres que j'ajoute comme à rordinalre*
EXEMPLE II
Ob proposé d^ujouter.. . 54*^ a^ 3p gl
^ 9 4 «ï ij »: -
85T~~ap 6p si.
La somme des lignes iuonte à 4i, qui font Spoùcës 5 lign^^ ]e pose 5 lignes et je retiens les 3 pouces que j*ajb|ité avec les pouces; levtout me donne 5o, qui valent 22 pieds 6 pouces; je pose les B pouces, et je retiens les deux pieds qui, ajoutes àved les pieds , me donnent 1 5 pieds qui valent, a*** 3^ ; je pose les 3^^ et j'ajoute ies deux toisés avec les toises 2 le tout monte à 85^ en sorte que la somme est 85*^ 3^ G^ 5^ . '
Sùustraolion des Nombres complexes. .
ii8. lÈcrivez tes nombres proposés comme dans rddditîoii^ ^tcomiiiencez la soustraction pat les unités de res{>èce la pluâ basse. Si le nombre inférieur peut être retranché du nombre supérieur, écrivez le reste aU-dessous. S il ne peut être retranché^ empruntez sur Tespèce immédiatement supérieure , une unité .^ue vous réduirez à Tespèce dont il s*agit/et queroiis a^oti' terez au nombre dont vous ne pouvez retrancher. Faites ]a mdm« chose pour chaque espèce 1 et lorsque vous aurez été obligé d'emprunter, diminuez d'une unité le nombre sur lequel vous avez fait cet emprunt* ËnBui écrivez chaque resH^/a me»ur« que vobs le trouverez, aU-dessous du nombre qui Fa doiuié4 '
EXEMPLE !
De... i. ..*..*» 143*- 17^* 6^
on veut ô'ter. i ié.*.*' 7^ 12 9 '
reste Gè^*" 4"^ 9**'
Ne pouvant ôter 9*^ de 6*», j'emprunte i-^,^ qv^vaut la^ et,
6 font iS^^desq^is otant 9^ il reste 95 j*6t6 ensuite lo/, non pas de ij-^i mats dé 16 qui restent après Temprunt , et il rest# 5; enfin yi retradeke yS" livi.de i-43 liy. , et il me leste 68 liv.
EXEMPLIS II.
De 163*- o^ Sy
•DTeutâter 84* 8-^ 98^
reste 78** 1 1«^ 8*^.
Comme je ne puis pasôter 9*" de 5*", et que d'ailleurs il n*y a pas de sous sur lesquels je puisse emprunter, j*emprunte 1 liv.
sur i63 liv.', mais j'en laisse^ par la pensée, ig sous à la place
du zéro, après quoi j*opère comme ci -dessus.
Multiplication des Nombres complexes.
11g. Ou peut réduire généralement la multiplication des ]K).mbres complexes ^ à la multiplication d'une fraction par une fraction^ multiplication dont nous avons donné la règle (106). Par exemple , si Ton demande ce que doivent coûter Si|(^ 3' d'où*» vrage , à raison de 4^ liv. 17 sous 8 den. la toise; on peut réduire le muttipîî'cànd(Ef 4^ Hv'. 17 sous &den.iout en deniers (67), ce qui donnera 10&9Q deniers , et comme le denier eat la 040* partie de la^ iiivse >. le multiplicande peut être repr&enté par
■ ~ de la livre; pareillement on réduira le multiplicateiit
54^3^ tout eoi pieds, oe qui donnera 3a7^, et comme le pied est la sixième partie d^ la toise , on aura pour muUipiicateur
-g- de toise; en sorte que la question est réduite à multiplier
- ■■ r- - par-g^, ce qui (lop) donnera — délivre^ qui (1 12}
talent.a337 liv» s.soua 10 dbn.
Cette méthode s* étend à toute espèce de nombres complexes^ mais elle exige plus de calcul que celle que nous allons exposer^ G* est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage.
120. ITn nombre ^triesr contenu: exactement dans un autre, est dit partie filiquote de cet autre : ainsi 3 est partie aliquote de 12 ^ il en est de même de 2 « de 4 et de 6.
Rappelons-nous que multiplier n'est autre chose que prendre
le multiplicande un certain nombre de fois ; multiplier par 8 -:,
|>af exemple , c'est prendre le multiplicande 8 fois , et le prendra
encore - de fois , ou en prendre les -. Or, on peut .preiute^ ces
- on en prenant d*abord le quart, et récrivant 3 fois , où bien
en prenant d*abord la moitié , et ensuite la moitié de cette
moitié : aima, pour multiplier 84 par 8 2»
i'ccrîjr»8..jk.l ••. 84
67a ai
n35 produie.
£n multipliant 84 par 8, j'aurais d'abord 679. Ensuite pour
prendre les - de 84 > je prendrais d'abord la moitié qui ^8t^4^ ;
puis y pour prendre pour le quart restant ^ je prendrais la moitié
de 43 qui est 221, et, réunissant ces trois produits particuliers,
j'aurais /SS pour le produit total.
131. Four appliquer ceci aur nombres complexe» , il faut re« marquer que les différentes espèces d'unités au-de:jsoiis de l'unité principale , sont des fractions les imes à l'égaitl des atrtriss , et i regard de cette unité principale ; que par ooiuéqneiit , poi^r moltiplier facilement par ces sortes de nombres, il faut faire ea sorte de les décomposer «n parties aliquotes de Itinité princi-< pale, tle manière que.c^s.parties aliquote^pni^sent être employées commodément, ou de les décomposer en parties aliquotes les «nés des autres^; et ei cette «décottposition ne fournit que des parties aliquotes qui ne soient pas commodes dans le calent, on y suppléera par de faux produits ; c est ce que nous allons développer, dans les exemples suiyans^
EXEMPLE I
On demande combien doivent coûter 54^2^, à raison de 73 liy, ' la: toise. • . ' •' ' "
' nfatit multiplier, ,;..,.,.;,. 72* ,'
par...,, 54T 3^
On multipliera d*abord , selon les règles ordinaires, 72 lîv. paf 54* Ensuite pour multiplier par 3^, qui sont ]a moitié de la toise^ et qui par conséquent ne doiveiif donner que la moitié du priiç de la toise , on prendra la moitié de 72 liv.| et additionnant, oq ^ur a32^4 Uv. pour produit total,
ei^îIm^le II,
Si Ton avait. ^, ^a***
V mtdiîpKcr par! . . ;, ,. SiJT 5^ /
3948*' ioiT <i3k: ' ' :
, . On mi^Itip^ex^a ^'^bord 72 Jiv, par S^* Ensuite ^u lieu de muU ti^'lier ^aF ^ ; piairce que 5 pieds font les jz de la toise ; on décom-i
. posera bf.3 ^ 3^ et a", dont le premier est la moitié , et le second îè '^ de la toise; on prendra donc d*abord la moitié de 72 liv., et
^fnsuitf^le ^ de» 72 liv. , et Ton' aura , en réunissant' tou» ces pro* ^^\^ts particuliers^ 39^8 Uy» pour produit tot^l,
. EXEMPLE nu
Que l'on ait. ♦ . . , . 7a*
h multiplier par 5T 4? 8p
Apre» avoir multiplié par.S*^, on multiplifra par 4'» et pour cet effet, on décomposera ce nombre en 3^ et 1^5 pour 3^ on prendra la moitié de 7a livres , qui est 36 liv. ; et pour 1 pied,
on remarquera que c*est le = de 3 pieds , et par conséquent on
prendra le = de 36 liv., qui est de la liv- Ensuite, pour
multiplier par 8 pouces, au lieu de comparer ces 8 pouces a la toise^ on les comparera au pied, et on les décomposera ea
4 pouces et 4 pouces qui sont chacun le = du pied, et qui par
conséquent donneront chacun le s de la liv. Enfin réunissant.
On aura 4^6 liv. o sou o den. pour produit.
123, Si le multiplicande est aussi un nombre complexe , on se conduira comme il va être expliqué dans l'exemple suivant*
* EXEMPLE IV
pttf • • • « 4 •
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wz COURS
On multipliera d^abordya lîv. par 27. Ensuite pourmultîplitr G sous par 27, on décompose 1 a ce» 6 sous «n 5 sous et 1 sou. l^es
5 sous faisant le quart de la livre, doivent, étant multipliés par 37 donner 27 fois le quart de la livre ou le quart de ^7 liv. ; on prendra donc le quart de 27liv. qui est G liv. i5 sous. Pour multip'îer 1 son par 27, on remarquera qu'un sou est la cinquième partie de 5 qu'on vient de multiplier ; aimi on prendra le ci!iquième des 6 lîv. 1 5 sous, qui sera 1 liv. 7 sou.<«.
A l'égard des G deniers > on fera attention qu'ils sont la moitié d*un sou , et par conséquent on prendra la moitié de i liv. 7 sous qu'on a eue pcmr i sou. ^ Ju9que-Jd tout le multipli;cande est multiplié par 27.
Pour multiplier par 4 pitds, on s'y prendra de la même malalère que dans l'exemple précédent , c'est-à'^ire , que pour le» ^ on prendra d'abord pour 3^* la moitié de 3G liv. 3 soi»3 den. du multiplicande, et pour i^ le tiers de ce que donnent les 3^.
Enfin , pour 8? on prendra 2 fois pour 4* c'est-à-dire , qu'on écrira 2 fois le tiers de ce qu'on vient d'avoir pour i* : en réunissant toutes ces différentes parties, on aura 2003 liv. o sou
6 d. = pour produit total.
1 23. Jusqu'ici tes parties du multiplicande qu'il a fallu prendre ont été aVsez faciles à évaluer ; mais dans le cas où ces parties seraient plus composées ^ on se conduirait cdmme daxis l'exemple suivant. «
EXEMPLE IV
A raison de. • 34^ lO''* 2*^ la toise
combien doivent coûter.. < • 17"^
iSG*- 12^ 10»^
Apr.es avoir multiplié 34 liv* par ij, et ensuite les 10 sous par 17 en prenant la moitié de 17, on multipliera a âMÛdâqui sont la dixième partie d*un sou » et par conjtéquent la sixième partie de la dixième partie ou (i i4) ^^ ^o* partie de 10 sous ; mais au lieu de preiïdre la 60® partie de 8 liy. 10 sous, il sera plus commode de faire .un faux produit , et de prendre d'abord le dixième de ce qu ont donné 1 o soui , r'est-à-dire^ le dixième de 8 liv. 10 sousj ce dixième qui est o liv. 17 sous, est pour 1 aou ; mais comme il ne faut que pour le sixième d'un sou, on barrera ce faux produit, et on écrira le sixième au* dessous.
EXEMPLE VI
Combien pour 34 ^^^^ ' ^ sous q den. fera-t-6n faire d*ouvrag6 à raison de 1 liv. pour 17 toises?
Il faut multiplier 17 toises par 34 liv. 10 sous a den., c'est-àdire^ prendre J7 toi:jes autaut de fois que la livre est contenue dans 24 liv. 10 sous Q den.
icJ-
OP
0^ qp*'
5ip
JC-
al 4v>'
Ainsi on multipliera d'abord 17 toises par 34; ensuite , pour multiplier 17 toises par 10 sous, on prendra la moitié de 17 toiser , parce que 10 sont la moitié de la livre, et Ton aura 8 toises 3 pieds. Pour multiplier par 2 deniers , on cherchera, pour plus de facilité, ce que donnerait 1 sou, en prenant le dixième de ce qu'ont donné 10 sous^ ce dixième est o toise
5 pîedfi 1 pouce 2 lignés 4 points et — ou ^ de point; on le bap-
rera , comoie ne devant pas faire partie du produit , mais on en prendra le si^âètne pour avoir le produit de 2 deniers, et on écrira au-dessious ce sixième qui est o toise , o pied lo poucea
â ligne.* 4 points et =^ ou ^.
Nous avons donné cet exemple, principalement pour con-* lirmer ce que nou;> avons dil^ (45) > qu*il importait de distinguer le multiplicande du multiplicateur, lorsqu'ils sont tous lâs deux concrets. En effet, dans l'exemple précédent, ainsi que dans celui-ci, les facteurs du produit' sont également 17 toises et 04 livres 10 sous 2 deniers*, cependant les deux produits sont différens,
Vii^ision dun Nombre complexe par un Nombre
incomplèxe,
ia4 Si le dividende seul est complexe., et si en même temps le dividende et le diviseur ont des unités de différente espèce ,1 on divisera d'abord les unités principale;» du dividende , selon la règle ordinaire ; ce qui restera de cette division , on le réduira (67) en unités de la seconde espèce, qu'on ajoutera aveo celles de même espèce qui se trouveront dans le dividende , et on divisera le tout comme à l'ordinaire : on réduira pareil-* leraent le reste de cette division en unités de la troisième espèce , auxquelles on ajoutera celles de la même, espèce qui se trouveront dans le dividende ,. et on divisera le.tout comme ci-« dessus ; on continuera de réduire les restes en unités de l'es^ pèce suivante , tant qu'il s*en trouvera d'inférieures dans le çlividende.
EXEMPLE
On a donné 47^^ livres 3 sôus jg deniers pour paiement de- 87 toises d'ouvrage;* on dèmaiide à combien cela revient I^ toise?
DE MATHÉMATIQUES. yS
OOQ
II faut diviser 4783 livres 3 30us 9 deniers p4r 87 , en com-^ nieoçant par les livres.
Les 4783 livres divisées par 87» selon la^ règle ordinaire , don-* lieront 54 Hvres pour quotient, et 85 livres pour reste : ces 85 livres réduites en sous (67), donneront avec les 3 sous du dividende 1703 sous, qui, divisés par 87, donneront 19 sous pour quotient, et 5o sous pour reste : ces 5o sous réduits en deniers, donnent, avec les 9 deniers du dividende , 609 deniers ; lesquels divisés par 87, donnent enSn 7 deniers pour quotient,
125. Mais si le dividende et le divisepr ont des unités de piéme espèce, il faut, avant de faire la division, examiner si le quotient doi^ être ou ne pas être de même espèce qu eux, ce que l'état de la question décide toujours.
iq6. Dans le cas où le dividende ou le diviseur étant de même espèce , le quotient deva aussi être de même espèce qu'eux, la division se fera précisément comme dans le cas précédent; par exemple, si Ton proposait cette question : i343 liv. ont produit pn bénéfice de 7a54 livres, à combien cela revient-il par livre ? Il est évident que le quotient doit avoir des unités de même espèce que le dividende et le diviseur, c'està-dire , doit être des livres , et qu'on doit diviser 7254 livres par 1243, en réduisant, comme dans Texemple précédent, le reste de Cftte division en sous, et le second reste en deniers ,
et on trouvera 5 livres 16 sous 8 deniers -^—^ popr réponse à la i|uestion.
}^ff 'M^is lorsque le dividende et Je diviseur étant de
même espèce , le quotient devra être d*espèce dîfTérente , alor» il faudra commencer par réduire (67) le dividende et le diviseur chacun à la plus petite espèce qui soit dans le dividende ; après quoi on fera la division comme dans le cas précédent , et on y traitera les unités du dividende , comme si elles étaîent de même espèce que celles que doit avoir le quotient : par exemple, si Ton proposait cette question ; combien pour 7904 livres 11 sous 8 deniers fera-t-on faire d'ouvrage , à raison de 72 liv. la toise? Il est clair, par la nature de la question , que le quotient doit être des toises et parties de toise. On réduira donc 7954 livres 1 1 sous 8 deniers tout en deniers , ce qui donnera 19090995 on réduira pareillement 73 livres en deniers, et on aura 17280; on divisera 1909099 considérés comme des toî«e»> par 17280; et on aura pour quotient 110 toises s piediS i«
pouces 6 lignes — .
Division d'un Nombre complexe par un Jf ombre
complexe.
128. Lorsque le diviseur est aussi un nombre complexe , il faut le réduire à sa plus petite espèce (57), multiplier le dividende par le nombre qui exprime combien il faut de {)artie6 de la plus petite espèce du diviseur pour composc^r ronité ^incîpale de ce même diviseur ; alors la division sera réduite au cai précédent où le -diviseur était incom^lexe.
EXE.MPLE.
57 toises 5 pieds 5 pouces d'ouvrage ont été payés 854 livret 17 sous 11 deniers '/on demande à combien cela revient la toise ? il fciut divi&er 854 livres 17 sous 1 1 deniers par 67 toiset 5 pieds 5 pouces , et pour cet effet je réduis les 67 toiîres 5 pieds 5 pouces en pouces , ce qui me donne 4 '^9 P^^^ nou;veau divi* seur; et comme il faut 72 pouces pour faire la toise ^ qui est l'unité principale du diviseur, je multiplie le dividende proposé 854 Uvres 17 sous'i i deniers par 7a (lai), ce qui me donne
St55d livres 10 sous pour nouveau dividende^ en «orte que je divise comme il suit :
aao4o
Les 6i552 livres divisées par 4^^d donnent 14 livres pour quotient^ et 3 18$ pour reste. Ces 3iHG livres réduites en sous , donnent avec les 10 sous du dividend.^, 63740 sous^ qui divisés par 4)^9i donnent i5 sous pour quotient, et ii()5 sous de reste. Ces iigS sous réduits en deniers valent 14^40 deniers, lesquels , divisés par 4169 > donnent 3 deniers pour quotient, et 1^33 deniers pour reste : en sorte que le quotient est i4 livres
i5 sous 3 deniers --— r- de denier.
Pour entendre la raison de cette règle , il faut faire attention
<pie les 57 toises 5 pieds 5 pouces valent 4^69 pouces, et le
pouce étant la soixante-douzième partie de la toise, le diviseur
est - — 5 de la toise ; or, pour diviser par une fraction , il faut
(109) renverser la fraction diviseur, et multiplier ensuite parcette fraction ainsi renversée ; il faut donc ici multiplier par
y p ; ce qui revient à multiplier d'abord par 72 , et à diviser
cusuite par 4i69> ^i^^î q^^ '^ prescrit la règle que nous donnons.
Comme la division par un nombre complexe se réduit, ainsi qu'on vient de le voir, à la 'division par un nombre incomplète , on doit avoir les mêmes attentions à 1 égard de la nature des imités que nous avons eues (laS) et (127).
Ce serait ici le lieu de parler du toisé ou de la multiplication et de la division géométriques : ces opérations ne diîFèrent en rien, pour le procédé, de celles que nous venons d'exposer;
8o COtJRS
le carré de tout nombre composé de dîxaines et d*imîtéd, renfermera les trois parties que nous venons d'énoncer; savoir : le carré des dixaines de ce nombre , deux fois lé produit des dixaines par les unités , et le carré des unités.
i35. Cela posé , comme le carré des dixaines est des centaines (puisque lo fois lo font 100), il est visible que ce carré ^ des dixai^>es ne peut faire partie des deux der/iiers chiffres du carré total.
Pareillement le produit du double des dixaines multipliées par les unités , étant nécessairement des dixaines^ ne peut faire partie du dernier chiffre du carré total.
i56. Donc pour revenir du carré 291 6 à sa racine , on peut raisonner ainsi :'
EXEMPLE I
3916 I 54 racine.
Commençons par trouver les dixaines de cette racine : or^ la formation du carré nous apprend qu'il j a dans 29 1 S le carré de ces dixaines, et que ce carré ne peu^ faire partie de ses deux derniers chiffres ; il e!st donc dans 39 ; et comme la racine carrée de 29 ne peut être ptus de 5 , concluons-en que le nombre des dizaines de la* racine lest 5, et portom-Ie à côté de 12916, comme on le voit ci-dessus.
Je carre 5 , et je retranche le produit ûh de 29 ; il me reste 4» a côté duquel j'abaisse les deux autres chiffres iG du nombre proposé 2916,
Pour trouver maintenant les unités de la racine , je fais attention à ce que renferme le reste 416; il rie contient plus que deux parties du carré / savoir : le double des dixaines de la racine, multipliées par les iinifés, et le carré des unité* de cette même racine. Dte ces deux parties , la première suffit pour nous* faire trouver les unités que nous cherrhons ; car puisqu'elle est formée: duvdoidsie des dixaines multipliées par les unités, si on
I4 divise par le double des dixaine^ que nous coùnaiss<yQs> elle doit {f^dojm^T p<mr quotient te» unitéa : il ne s'dgit» doue p ) que de savoir dans quelle partie de 4^6 est reufermé ce double des dixaines multipliées par les unités ; or , nous avons remarqué ci-dessus qn il ne pouv^t faire parbe du dernier chiffre ; il est donc dan^ 4^ > ^^ ^^^^ ^^^^ diviser 4^ V^ ^^ doubfe 10 des dixaines trouvées^; f écris donc sous 4i 1^ double 10 des dixaines» et faisant la division., le quotient'4 qa^ j^ .tvouveest le nombre des unités que je porte a la droite des 5 dtxaines trouvées , en-^ sorte que la racine cherchée est 54*
' Mais il faut observer qaê quoiqiie le quotient 4 qtie nous venons de trouver soit en effet celui -qui convient , cependant il peut arriver quelquefois que le quotient trouvé de cette ma- «nière soit pkts fept qui! ne o«)nvient*, parce que 4^ (c'est-àdire la partie qui Teste après la séparation du dernier chiiFre)^ renferme non-seulement le double des dixaines multipliées par les unités , ctiiis enc(M]e les dixaines provenant du carré des unités; c'est pouifquoî, pour n'avoir aucun doute sur le chiffre des unités , il faut employer la vérîficaticm suivante.
Après avoir trouvé le chiffre 4 des unités , et fàvoîr écrit à la racine , je le porte à côté du double 1 6 des dixaines ^ ce qui fait 104 , dont je multiplie successivement tous les chiffres par le même nombre 4 > et je retranche les produits successifs des parties correspondantes de 4^S\ connue il i>e ï^tb nen^ j'en conclus que la racine est en effet 54*
S'il restait quelque chose , la racine n en serait pas moins la vraie racine en nombres entiers ; à moins que ce reste ne fût plus grand que le double de la racine , augmenté de l'unité ; mais c'est ce qu'on n'a point à craindre y quand, on prend le quotient toujours au plus fort.
La vérification que nous venons d'enseigner est fondée sur la formation même du carré; car, quand on multiplie 104 par 4 1 il est évident qu'on forme le carré des unités et le double des dixaines multiplié par les unités » c'est-à-dire, ce qui complète le carré parfait.
237. t>e ce que nous venons de dire^ il faut conclure que * Ariih,^ Marine et Artillerie^ T. I. 9
8à COt^S
pour extraire la racine carrée d'un nombre qiîi ji^à pas plus>dê quatre chiflres , ni moins de trois ^ il faut ^ après en avoir séparé deux sur la droite , chercher la racine 'Carrée de la tranche qui reste i gauche ; cette racine sera le nombre des dixaines de la, racine totale cherchée ^ et on Técrira à côté du nombre proposé, en Feu séparant par un trait.
On soustraira de cette même tranche le carré de la racine qu on vient de trouver ; et après avoir écrit le reste au-dessous de Cette tranche , on abaissera à côté de ce reste les deux chiffres qu on tfvait réparés.
. On séparera par un point le chiffre des Unités de la tranche qu'on vient d'abaisser > et l'on divisera ce qui se trouve sur la gauche par le double des dixaines i qu'on écrira au-dessous.
On écrira le quotient à côté du premier chiffre de la racine , et on le portera ensuite à côté du double des dizaines qui a servi de diviseuré
Enfin on multipliera par ce même quotient tous les chiffr» qui se trouvent sur cette dernière ligne ^ et on retranchera leurs produits 9 à mesure qu'on les trouvera^ des chiffites qui leur ÇGt* respondent dans la ligne au-dessus.
Achevons d'éclaircir ceci par un exemple*
EXEMPLE II
On demande la racine carrée de 7569.
7 5.6 9 I 87 racine.
i I 6.9 Jij. ." 167
Je sépare les deux chiffres 6g , et je cherche la racine carrée
de 76; elle est 8 ', j'écris 8 à côté ; je carre 8 et je retranche dé
75 le carré 64 ; il me reste 1 1 que j'écris au-dessous de 76 >
et j'abaisse à côté de ce même 1 1 ^ lés chiffres 69 que j'avais
éparés.
Je sépare , dans 1 169 > le dernier chiffre 9 , pour avoir dans a 16 la partie que je dois diviier pour trouver les unités^
bE MATHÉJfAtlQÛES. JSà
é'e forme imon divUeur^ ea doublait les.&jdioioes qiae. j'ai h:ouvées> et j'écris ce divûetii: $u-ides«ou$ de 1 16» b division iu# donne pour quotient 7 que féçciaàla racine àiladEolte de 8.
Je porte aussi ce quotient à côté du diviseur 16', )e multiplié 167 qui forme la .dernièreligoéi p^rcé même qui>tient 7 , et jo retranche les produits à mesure que je les trouve % de 1 1.63 : il ne reste rien, rCe qui prouve que 7669 est un carré parfait et l& bfrrédeSy. ,^
138..I1, faut bien remarquer qu'on ne. doit diviser pair le double des dixaines , que la seule partie qiii reste à gauche , afNcès qu'on a séparé le dernier chiffre ; en sorte que si elle ne eontenaitpae le double des dixaines , il ne faudi;ait pjjts pour cela employer 1^ chiffre séparé ; on mettrait o à -la racine. Si au contraire oà trouvait que le double dès dixaines y est plus de 9 fois , oh né ttièttrait cependant pas flùa de 9 ; la raison en est ia même que pour la division (66).
139. Après avoir bien compris ce qiié iioùs venozis de dire siir la racine (Carrée ,d^s nombres qui n'ont pas plus de 4 chif^ fres , on saisira facilement ce qu'il convient de &ire lorsque le nombre des chiffres est plus grand. De quelque ilombre de cfaif j» fres que la racine doive être composée , on peUt toujours la concevoir composée de deux paitiés, dont Tune soit des dixaine^i et l'autre des unités ', par exemple , 874 petit être considéré comme représentant 87 dixames et 4-iiQitési
Gela posé , quand on a trouvé lès deux prenliers chiffres de la racine I par. la mâhodequ'ori vient d'exposer > on peut aUsst trouver le troisième par îsl même méthode , en considérant ces deu^ premiers chiffres i comme ne ifaisaut qu'un seul nombre de dixaines ^. et leuF appliqiiant. pour trouver le troisième^ tout ce qui a: été dit :du premier pour trouver le second.
. Pdreillefuent y quand on aui'a trouvé les. trois premien» di&« ft&i i yildoit y en aVoir iin ^atrième , on con$idéf era les troi# premiei^s comme oq faisant qi^'iia seul nonibre de dixaiues , auquel^ pDapplif^uet-ay pour. trouver le quatrième, le mémp ratsonnen^èmqu'Qin. appliquait aux deux premiers pour trouver le troisième^ et ainsi de.9uttsi<
%4/ €OUftS
Mm poiir>{itrôdSder àiNN> 4nèté , * il faut coœmefl|er pst pnt" fojer le noml^e proposèrent oi^rfblièa'^ de deux chiffres chacune, •n allant da ^dràite à'gilifeb^^ lif deimlère pourra n'en contenir
La raison d«: cette prépatatioii-e$l'it»lidéé stir ce que coi^sidéirant la raciae comme doiîipasée'âe dt:xa^e9 et d'unités , il faut , àuivant ceqiii a été dit ci-dessus ( i35 et stdvi y, éômmen^r par séparer les deux derniers chiffres sur la droite^ pour 4voir, dans la pixfS0 qui reste à gauche^ lé cindré-ées dii^aines ; mais comme éette partie est elle-même composée de plus de deiix ehif&es*, tm raisonnement semblable ébnduit à ^tt âéparer encore deux sur tt^&oîte, etainsi de suite. .. :. )
OonnoBB ui^ exemple de cette opération. ^ -
£X£MPLE III.,
On demande la racine carrée de 7G8o78gS.
Aptèa avoir piareagé le nombre proposé en tk'anehet.dedenx chiffres chacune » en allant ^de droite à gauche , }é cherche ^elle est là Tâcine cànréid de là tranche jB qui est le ^vs à louche , je tit>uve qu^elle eet 8, let-j'écrîs 8 à cdté du- nombre proposé ; je càfte 8 , et jerettanche le carré 64'de 76;^ aï pour reste la que j'écris au-^desisous de 76 ; à côté -de. de reste j'abaisse la tranche 80 doût je sépare le dernier chiffre ^àr un point ; 0t aurdessotfs de la pai'tie ia8^ j'éms 16 , doubla de la racine trouvée; puis disant, en 1 518 > combien de fois 16? je trouve iqu'îl y est 7 fois ; «j'écris 7 à là suite de k racine 8 , et à côté du double 16^ je multiplie 1G7 pUrça m4me nombre 7, et jo
♦ DE MATÎiÉMATIQUES. 8g
retranche de 1280 le produit de cette multiplicatioii ; il me reste 1 1 1^ à côté duquel f ^abaisKe la tranche 'jS j ce qui forme 1 1176 ; je sépare le dernier chiffre 6 de ce nombre^ et sous la partie 1117 qui reste à gauche> fécris i74> double de la racine 87; ie divise 1117 par 174, et ayant trouvé 6 pour quotient, j'écris 6 à la racine et à côté du double 174 ; ^je multiplie 1746 par ce même nombre, 6 , et je retrajnçbe 10476 àe 1 1 176 > il reste 7003 à côte de ce reste j'abaisse 96 dont je sépare le dernier chiffre ^ au-dessous de 7009, qui reste à gauche, j'écri» 1763 , double de la racine trouvée 876; et divisant 7009 pat 1 j5a , je trouve pour quotient 4 que j'écris à la racine et à èôté du double 1753. Je multiplie 17594 1?^^ ^^ même nombre 4 > et je retranche de 70096 , il ne reste rien ; ainsi la racine carrée de 76807696 est exactement 8764.
i4o. Lorsque le nombre proposé n'est point un carré parfait^ il y a un reste à la fin de Topératron > et la racine carrée qu'on a trouvée est la racine carrée du plus grand carré contenu dan; le nombre proposé : alors il n'est pas possible d'extraire là racine carrée exactement; mais on peut en approcher' si prèf qu'on !e juge à propos , c*est-à-dire , de manière que l'erreur quî en résulterait dans le carré , soit aundessous de telle quantité qu'on voudra. t..
Cette approximation se fait commodément par le moyen des décimales. Il faut concevoir a la suite du nombre proposé, deux fois autant de zéros qu'on voudra avoir de déci-^ maies à la racine , faire l'opération comme à l'ordinaire , et séparer ensuite par une virgule, sur la droite de la racine , moitié autant àe décimales qu'on a mis de zéros à la suite du nombre propose. En effet , (54) le produit de la multiplication devant avoir autant de décimées' qu'il y en a danS' les deux facteurs- ensemble ^ le carré (dont les deux' facteurs • sont égaux)* doit donc en avoir le double de ce qu'a l'un des facteurs ; c'est-à*dire , le double de ce que doit avoir 1^ racine.' ' ' ,
EXEMPLE IV
On demande la racine c^rrép de 87567 à moins d^tin millième près.
Pour faire d^s millièmes , il faut trois décimales; il faut done 'mettre six zéros au carré de S75B7 ; ainsi il faut tirer îa racinç
carrée de 87567000000.
]Eq faisant Topératioi; comme d^nsç les exemples précéden^i ^ pn tfoi^ve pour racine carrée , à moins d'une unité près , le nombre 095317; cette racine est celle de 870679000005 maj^ comme il s'agit de celje de 87667 ou de 87667,009009 ; je sépare moitié ^ut^t de décimale^ dans \^ racine ^ que f ai mi« de zéros au carré *^ ce qui me donne 1295,917 poi|r la raçinç carr^ de 87567 , à x^oinjst d'un m^llièm^ près.
Pareillement , si l'on demande la racine ciirrée d^ â à moins d*un dix-millièmç près, on tirera la racine carrée de 220900000,0 quon troHverii êtve i4l4^â séparât les quatre chiffres de U droite p^r une yirgule, on aura i>4<4^ P^'^' 'â racine carrée de 2 j) approchée i moin^ d*up di^^-millième pr^i,
141 • On a yn (106) que pour multiplier que fraction par une fraction, il fallait multiplier numérateur par numérateur , et dénominateur pfir <|énomiI^ate^r - par conséquent pour carrer fine fraction, il faut carrer le numérateur et le dénominateii^^
a}nii le carré de s est ^, celui de f est -7«
i4a* Donc réciproquement, pour tirer la racine carrée d'une iraction , il faut tirer la racine carrée du numérateur et celle
du dénominateur ; ainsi la racine carrée de -^ , est -^^ parce que celle de 9 est 5 ^i et celle de 16 est 4«
143. Mais il peut arriver que le numérateur ou le dénomi-^ nateur , ou tous les deux , ne soient point des carrés parfaits ; s'il n'y a que le numérateur qui ne soit point un carré , on en tirera la racine approchée par la méthode qu'on vient d'exposer» et ayant tiré la racine du dénominateur , on la donnera pour dénominateur à la racine du numérateur ; aiuhi si Ton demande
la racine de -, on tirera la racine approchée du numérateur st
qu'on trouvera i,4 ou 1,4^ ou ii4i4 ou i,4i4^i otc , selon qu'on voudra en approcher plus ou moins î et comme la racine
carrée de 9 est 3 , on aura pour racine approchée de --, la quan^
tile -=-ï ou -~- ou ^ ou * „ , etc.
Mais si le dénominateur n'est pas un carré , on multipliera
les deux termes de la fraction par ce même dénominateur , ce
qui ne changera rien à la valeur de la fraction ,, et rendra ce
dénopiinateur carré y alors on opérera comme dans le cas pré-
g cèdent. Par exemple , ti l'on demande la racine carrée de 7 »
on changera cette fraction en -^ y tirant la racine carrée de i5
jusqu'à 3 décimales , par exemple » on aura 3,872 ; et comme
I9 racine carrée de 5^ est 5 , la racine carrée de -^ sera *-^ i >
i44' Pour ne pas avoir plusieurs sortes de fractions à ta foisi»
3 87a en réduira le résultat ^^ ' , uniquement en décimales, en
divisant 3,87a par 5 , ce qui donnera 0,774 pom: la raciaft
^e = , exprimée purement en àécimaks {^)k
145. Enfin si Ton avait des entier^» joints à des fractions , on réduirait ces entiers en fractions (86) , et on opérerait comme il vient d'être dit pour une fraction. Ainsi, pour tirer h racine
carrée de 8 -^ , on ctangerait 8 - en — , et celle - ci ( r43 )
en -^, doht on trouverait que la racine approchée est
ou 2,9oS.
146. On peut|aiissi réduire en décimales la fraction qui accompagne rentier; maïs il fattt obsjBrveç d*y eùiployer un nombre de décimales pair et double de celui qu'on veut avoir à la racine ; parce que le produit de la multiplication de deux jnombres qui ont des décimales , devant avoir autant de décimales qu'il y en a dans les deux facteurs (54)i le carré d*un nombre qui a des décimales y doit en avoir deux fois autant que
ce nombre. En appliquant cette méthode à 8 -, on le transforme en 8,4^867 1 (99) dont la racine est a^goS , comme cidessus. I
147. Si Ton avait à tirer la racine carrée d'une quantité décimale , il faudrait avoir soin de rendre le nombre des décimales pair , sll ne Test pas ; ce qui se fera en mettant à la suite de ses décimales , 1 , ou 3 , ou 5 , etc. zéros : cela n'eu'change pas la valeur (3o). Ainsi , pour tirer la racine carrée de ai,g35 à moins d'un millième près , je tire la racine . carrée de 21,935000 qui est 49^83; c'est aussi celle de 221,935. On trouvera de même que celle de 0,54^ est à moins d'un millième près 0,736 9 et que celle de o^oq54 est à moins d'un millième près 0,073.
149. Quand orna trouve, par la méthode qnl vient dMtre exposée , les trois premiers chiffre^ de la racine, on peut en avoir plusieurs antres avec plus de -fAcilite' et dé promptitude , par la division seule , en cette mahière.
Prenons pour exemple 7637o35568a3 : je commence par chercher les trois ^nieiiïîers chiffres de Ja racine , par la méthode ci-dessus : je trouve 873 pour cette racine , et i574 pour reste : je mets & côté de ce reste les deax cbiJfres 55' qni suivent la partie 763703 qui a donne les trois |)remiers chiffres. (Je mettrais 1^ trois j:hifff«9 saivans , si j'avais quatre chiffres de la racine j qnà4ic si
\*c^ a^is cinq et ainsi de suite.) Je divise i5'j^S5 ^e j'ai alors, par lu doublet 1.746 de la racine ; je trouve pour €[uotient 90 ; co sont deux nouyeau^ chiffics -;< mettre h la suite de la racine, qui par I^ devient 87390. Je carre cette racine, cl je retranche son carré 763701 2 100 de la partie 7637o35568 dont 87390 est la lacine ; il me reste 33468-
Si je veux avoir de nouveaux cliîtFres à la racine, éomme j'en ai dc'jà cinq„ je puis, par la seule division, en trouver 4; je mettrai, pour cet eJFet, à la suite du reste a3468 les deux chifires restans' a3 du nombre proposé et deux zéros, et divisant 3346$a3oo parle double 174.7^0 ^® ^^ racine trouvée, j'aurai 1342 pour les quatre nouveaux chiffres que je dois joindre à la racine ; mais en partageant le nombre proposé , en tranches, de la manière qui a été dite cidessus , on voit que Sa racine ne doit avoir que six chiffres pour les nombres entiers ^ donc cette racine est 873901,342, à moins d'un millième près.
O^ p3ut, le p<ius souvent, pousser chaque division jusqu'h un chiffre de plus, c'est-fr-diiti, jusqu'à atitant de cbitfres qu'on en a déjà à la racine; mais il y a quelques cas , rares à ht vérité , oii l'erreur sur le dernier chiffre , pout'» rait aller jusqa^à cinq unités , au lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins , comme nous venons de le faire , on n'a jamais à craindre même une unité d^erreur sur le dernier chiffre.
Si après avoir trouvé les prc^ers chiffres de la racine, par la méthode ordi' naûre, ce qui reste après l'opération faite, se trouvait égal au double de ces premiers chiffras, il faudrait, pour éviter tout embarras , en déterminer encore un par la même méthode ordinaire , après quoi, on trouverait les autres par 2a mét]iode abrégée que nous venons d'exposer, qui , comme en le voit assez , «'applique également aux décimales.
Si la racine devait avoir des zéros parmi ses chiffres intermédiaires , dans le cas oh ces zéros seraient du nombre des chiffres qu'on détermine par la division , il peut arriver, sHls doivent être les premiers chiffres du quotient, qu'on ne s'en aperçoive pas , parce que dans la divison on ne marque pas les zéros ^i doivent pirécéder sur la gauche du qnotient : le moyen de le distinguer est de faire attention qu'on doit avoir toujours autant de chiffres au qnotient qu'on en a -mis à la suite du reste j et par conséquent, quand il y en aura moins , il en faudra compléter le nombre par des zéros placés sur la gauche d<^ ce qnotient.
Au reste , l'abrégé que nous venons d'exposer est une suite de ce principe général, qu'il est aisé de déduire de ce qu'on a vu (i34); savoir, que le carré d'une quantiic quelconque composée de deux parties., renferme le carré de là première partie, dtsox fois la première parue multipSee par la seconde, e^ le carré de |a seconde.
De la formation des Nombres cubes et.de V extraction
de leurs Racines.
143'. Pour former ce qu'on appelle le cube d'un nombre, il
fant d'abord moliiplîer ce nombre par lai-méme , et iniihîplii»r ensuite par ce même nombre le produit résultant de cette première multiplication.
Ainsi le cube d*un nombre est , à proprement parler , le produit du carré d'un nombre multiplié par ce même nombre : 27 est le cube de 3 , parce; qii il résulte de I4 multiplication de 9, (carré de 3 ) pa.r le même nombre 3.
Le nombre que Ton cube est donc trois fois facteur çfens le cube ; c est pour cette raison que le cube est aussi nommé tfoi-sîème puissance y ou troisième degxé de ce nombre.
]5o. En général , on dit qu*un nombre est élevé à sa seconde, troisième, quatrième > cinquième, etc. puissance, quand on Ta multiplié par lui-même, i, s, 3, 4; ^i ®^^* ^^^ consécutives, ou lorsqu'il est a fois., 3 fois , 4^^^^*» ^ ^^^^ y ®^c* facteur dans le produit,
j5i. La racine cubique d*tin cube proposé est le nombre qui , multiplié par soç. carré , produit ce cube : ainsi 3 est U tacine cubique de 227..
162. On n'a donc pas besoin de règles pour former fe cube d*un nombre; mais pour revenir du cube à sa racine, il faut une méthode. Nous déduirons cette méthode de Texamen de cç qui se passe dans la formation du cube.
Observons cependant qu'on n'a besoin de méthode pour extraire la racine cubique en nombres entiers , qi^e lorsque le nombre proposé 9 plus de troia chiRVe^; car 1000 étant le cube de 10 , tout nombre au-dessous de 1000, et par conséquent de moins de quatre chiffres, aura pour racine moins que 10 a c*est-à-dire , moins de deux chiffres.
Ainsi tout ixombre qui tombeir^ entre deux de ceux-ci :
ï, 8, 47, §4, ia5, 2x6, 343, 5ia, 719,
aura sa racine cubique, en nombre entj^r, entre les deuxâonv* bre9 correspondans de cette suite :
dpnt la pt^emière .contient les cul^a^ . <
i53. Topt nombre n'a pas de racine cubtqpie; mais on peut approcher continuellement d*un nombre qui, étant cubé , ap^proche aussi de plus en plus de reproduire ce premier nombre j p*est ce que nous verrons après avoir aip^îris à trouver la racine d*i|n cube parfait.
1 54. Voyons donc de quelles parties peut être composé le cube d'un nombre qui contiendrait des dixaines et des unités.
Puisque le cube résulte du carré d'un nombre multiplié par ce même nombre , il est essentiel de se rappeler ici (i34) cjue le carré d'un nombre composé de diraines et d'unités , renferme l^. (c carré des dlxgines; q°. deux fois le produit des dixaines par les unités ; 3**. le carré des unités^
Pour former le cube, il faut donc multiplier ces trois parties par les dixaines et par les unités du même nombre.
Aiin d'apercevoir plus distinctement les produits qui en résulteront, donnons à cette opération simulée la forme suivante :
JLe carré âcs dixaines.
Deux foifl^e produit des dixaines par les unit«^
Jjt cÀrré de^ on i tes
Le cafTc des dixaines
Deux fois le produit des ^xqines par les OQÎtés
étant multiplia par dt's dizaines , donnera
Le cnbc des dixaiofs.
Deux fois le produit dà carré âcs dixaines multi* plié far les unités.
Le produit des (lixafnes par le carré des uniiés.
Le produit du carré de9> dnEaines multiplié par les unités.
Doux fois le produit dc« donnera. .. . .... J dixaines par 4e carrée des
unités.
Le cube des unia's.
étant multiplié p jr les unités ,
Le carré des unit^
Donc en rassemblant ces six résultats , et réunissant ceux qui ^ont semblables | on voit que le cube d'iin nombre composé de dixaines et d'unités , contient quatre parties , savoir : le cube des dixaines f trois fois le carré des dixaines multiplié par les unités , trois fois les dixaines multipliées par le carré des unités , et pifin Iç cubç des unités*
On doadidérera sa racine comme compôiée de dixaines ei
d' j îités, et par cette raison on commencera par séparer lestrcHS dernier» ^bifFres.
La partie 696947 qui renferme le cube des dixainejï , ayant plus de trois cfiaFres, sa racine en aara p!us d-ûn , et piar conséquent elle aura des dixaines et dfs unités. Il faut donc, pour trouver le cube de ces premières dixaines ^ séparer les trois chiffres 947.
Cela posé , je cherche la racine cubique de 696 ; elle est ,8 , j'écris ce 8 à côré.
Je cube 8, et je retranche le produit 5ia de 696, il reste 84^ que f écris au-dessous de 696. .
A côté de 84 j'abaisse 947 , ce qui me donne 84947 » ^^^^ V^ sépare les deux derniers chiffres. -
Au-dessous de la partie 849 , j'écris 192 , qui est le triple carré de la racine 8, et je divise 849 par 192 ; je trouve pour quotient 4 que j'écris à la racine.
Pour yérilier cette racine^ et avoir en même temps le reste ^ je cube 84, et je retranche le produit 692704 du. nombre 696947 ; jai pour reste 4343.
A côté de ce reste j'abaisse la tranche 688. et considérant fâ racine 84 comme un seul noitibre qui marque le^i dixaines de'tii racine cherchée^ je sépare les deux derniers chiffres 88 de Ta tranche abaissée > et je divise la pai^tie ^q/^5S par le triple carré de 84 > c'est-à-dire, par 21 168^ je trouve pgur quotient a que j'écris à la suite de 84-
Pour vérifier la racine 84a , et avoir le reste , s'il y en a , jm cube 842 , et je retranche le produit 596947688 du nombre proposé 696947688; et cpmme il ne reste rien, j'en conclus que 84a est la racine exacte de 690947^^^'
Il faut encore observer, i^. que dai)s le cours de ces opéra^ tions , on ne doit jamais mettre plus de 9 à la racine.
2^. Si le chiffre qu'on porte à la racine était trop fort , on s'en apercevrait à ce que la soustraction ne pourrait se faire ^ et alors on diminuerait la racine successivement de 1 , 2 ^ 3 , etc. unités , juiq\^'à ce que la soutitractio^ devint possible.
bÈ MATHÉMATIQUES. 9b
. Lorsque le nombre proposé n'est pas un cube parfait^ la ratiinequ*on tii*ouVe n'est qu'une racine approchée^ et' il est rare qu'il soit suffisant de l'avoir en nombres entiers. Les déciiualeti <sont encore d'un usage très avantageux pour pousser cette approximation beaucoup plus loin , et aussi loin qu'on le désire , «ans que cependant on paisse jamais atteindre à une racine exacte*
i5&. Pour approcher aussi près qu'on le voudra de la racine cubique d'un cube imparfait , il faut mettre à la suite de ce nombre trois fois autant de zéros qu'on veut avoir de décimales à la racine ; faire l'extraction comme dans les exemple:! précé* dens , et , après l'opération faite « séparer par une virgule sur la droite de la racine , autant de chifi&es qu'on voulait avoir de décimales.
EXEMPLE III
On demande dTapprocher de la racine cu^bique de 8755 jusqu'à moins d'un centième près. Pour avoir des centièmes à la racine , c'^^t^à-dire deux décimales , il faut que le cube ou le «ombre proposé en ait six (54) *> il faut donc mettre six zéros à la suite de 8755*
Ainsi là question se réduit A tirer la racine cubique de
8755 ocoooo
S.^ 5 5.0 o t».o o o I ao6i
Suivant ce qui a été dit ci-dessus^ je partage ce nombre en
tranches de trois chiffres chacune , en allant de droite à gauche.
Je tire là racine cubique de la dernière tranche 8; qIU est a ,
que j'écris à la racine. Je cube 2 , et je refranche le produit^ de 8 ; j'ai pour reste o , à cuté duquel j'abaisse la traactie 7S5 , dont je séparé les deux derniers^elûffres.55 ; au-dessous de la partie restante 7, j'écris 12», triple carré de la racine, etdiviaSLXit 7 par 1 a 5 je trouve o pour quotieat que j'écris à la racine.
Je cube la racine 20, ca.qtii me donne 8000 que) je r»traiiche de 8765 ; j'ai pour reste yBS , à côté duquel } abaisse la tranche 000, dont je sépare deux chiffres sur la droite*, audessous de la partie restant^ .7550 j'écris laoo , triple carré de la racine 20; et divisant 755o par laoo^ je trouve pour quotient G que j'écris à la racine.
Je cube la racine 20G, et je retranche le prod,uit, de 8766000 ; j'ai pour reste i3i84i à côte duquel j'abaisse la dernière tranche 000 , dont je sépare les deux derniers chiffres. Au^dessons de la partie restante i3i84p, récris 1^7808 > triple carré de h racine trouvée 20G, Je divise i3i84o par 127308; je trouve pour quotient 1, que j'écris à la suite de 20G. Je cube 20G1, et ayant retranché de 8756000000, le produit 8754^52981^ j'ai
pour reste 447019 •
La racine cubique approchée de 8765000000 est donc. 2cGi ;
donc celle de 8766,000000 est 20,61, puisque le cube a trois
fois autant de décimales que sa racine (64)-
Si l'on voulait pousser l'approximation plus loin , on mettrait
à la suite du reste trois zéros , et on continuerait comme on a
fait à chaque fois qu'on a descendu une «tranche.
167. Puisque pour multiplier une fraction par une fraction il faut multiplier numérateur par numérateur, et dénominateur par dénominateur, il faudra donc , pour cuber une fraction , cuber son numérateur et son dénominateur. Donc réciproquement pour extraire la racine cubique d'une fraction , il faudra extraire la racine cubique du numiérateur et la racine cubique.
dû dénominateur. Ainsi la racdne cubique de 7— est -, parco
■que la racine cubîqne de 27 est 3,' et celle de 64 est 4»
i58. Mais si le dénominateur seul est un cube , on tirera la
ÏÏE MATHÉMATIQUES. 97
Wcbe approcbée du numérateur, et on donnera à cette racine pour dénominateur la racine cubique du dénominateur. Par
exemple, si Ton demande la racine cubique de =^^, comme le
taumérateùt n est pas un cube, j'en tire là racine approchée,
Tqui.sera 5,23 à moins d'un centième près; et tirant la racine
'àé 543, qui est 7, j'ai — ^ — pour la racine approchée de =~;
ou bien , en réduisant en décimales (90) , j'ai 6^74 pour cette Y-acioe approchée à moins d'un centième près.
159. Si le dénominateur n'est pas un cube, on multipliera Jes deux termes de Ja fraction par le carré de ce dénominateur, et alors le nouveau dénominateur étant un cube, ou se conduira comme il vient d'être dit. Par exemple, si l'on demande la ra-
cine cubique de -, je multiplie le numérateur et le dénomîna-
1 47 leur par 4g, caité du dénominateur 7 -, j'ai =j^ qui (88) est dé
3 1 /Ll O 27
iiiême valeur que -. La racine cubique de ^-^^ est * , ou en
rédaisant purement en décimales 0,76. La racine cubique de
^- est donc 0,76 à moins d'un centième près;
S'il y avait des entiers joints aux fractions , on convertirait le tout en fraction , et la question serait réduite à tirer la racine cubique d'une fraction. (167 et suivJ)
On pourrait aussi, soit qu'il y ait des entiers, soit qu'il n'y en ait point, réduire la fraction en décimales ; mais il faut avoir soin de pousser cette réduction jusqu'à trois fois autant de dé-^* cira aies qu'on veut en avoir à là racine. Ainsi , si 'l^on deman-
dait la racine cubique de 7 — , approchée jusqu'à moins d'un
jmillième , on changerait la fraction — , en 0,2727272725 en sorti
Ariihn^.^ Marine et Artillerie. T, I. 7
âS COURS
que pour ayoir Ift racine cubique de 7 — ,011 tirerait celle Aê
7,172737272 qu'on trouvera être 1,937.
160. Pour tirer la racine cubique d*un nombre qui aura des décimales , il faudra le préparer par un nombre suffisant de «éroa mis à sa suite , de manière que le nombre de ses déci-» maies soit ou 3 , ou 6 , ou 9 , etc. ; alors on en tirera la ra^ cine comme s*il n'y avait point de virgule; et après l'opération faite, on séparera sur la droite de la racine, par une virgule, un nombre de chiffres qui soit le tiers du nombre des déci^ maies de la quantité proposée ; en sorte que si la racine n'avait pas suffisamment de chiffres pour que celte règle eût soa exécution , on y suppléerait par des zéros placés sur la gauche de cette racine. Ainsi pour tirer la racine éubique de 6,54 ^ moins d'un millième près, je mettrai sept zéros, et je tirerai la racine cubique de 654ooooooo qui sera 1870*, j'en sépareraj trois chiffres, puisqu'il y a 9 décimales au cube, et j'aurai 1 ,870 , ou simplement 1 ,87 pour la racine cubique de 6,54* On trouvera de même que celle de o,coo6 , approchée à moins d'un centième près, est 0,08.
161. Quand on a trouvé les quatre premiers cliiffres de la racine cubique ptx h metbode qu'oft yieak d'expliquer, on peut trou^^v les aattes plus prompt tement par la division', et cela de la manière suivante. '
Qu'on demande la ractn9 cubique de 596^^']^v)%i^56 i fen cherche le* quatre premiers chifires par la méthode ordinaire j ils sont 1739, et le reste de Topëration est 568i4i3j à cAté de ce reste, je mets les deux diifPres ^ qui toiTe«t. b. partie 53^4Sa;d3a qui a donné les quatre premiers cbiflfires. (J« mettrais les trois chiffres qui snivent cette même partie, si la racine trouvée Avait cinq chiffres, et les quatre si elle en avait six.) Je divise 568t4i372 par 907^363, triple carré de la racine 1789 ^f ai pour quotient 63, et ce iont deux nouveaux chiffre» à mettre à la suitt de 1739, en sorte que 17396a est, ea nombEM entiers , la racine cubique du nombre proposé.
Si l'on voulait pousser plus loin , on cuberait celle racine» et ayant retranché le produit du nombre proposé, qn mettrait h la suite du reste quatre zéros, et on diviserait le tout par le triple du carré de 17396a, ce qui donnerait quatre décimales pour la racine.
On fera ici la même observation qu'on a faite (148) sur le cas oh la division Be donne pas autant de chiffres qu'elle deit en donner. Et d*«a cee dÎTiaioM 9B s'aidera de la règle abrégée qui a été donnée (69 et suiu).
DE MÀtHÉMATîQtTËS. d§
Des HâisonSj Proportions et Progressions, et de quelques Mègles gui en dépendent.
i6a. Les mots raison et rapport ont la même signification en Mathématiques , et l'un et Tàutte expriment le résultat àê la comparaison de deux quantités. .
i63. Si dans la <2ompîaràison de deux quantités on a poui^ but de connsAtre de combien Tune surpasse l'autre , ou en est surpassée^ le résultat de cette comparaison ^ qui eât la diiFérence- de ces deux quantités, se homme leur Rapport arith-* méticiue,
Àinsi^ si je compare i5 avec 8 pour connaître leur diiTérence 7> ce nombre ^ qui est le résultat de la comparaison , est le tappoï't arithmétique dé 1 5 à 8.
Pour marquer que Ton compare deux quantités sous ce point de Vue, on sépare l'une de l'autre par un point^ en sorte que i5.8 marque que l'on considère le rapport arithmétique de i5à8.
l64< Si âàh38 la comparaison de deux quantités on se' propose de connaître combien V\mt contient l'autre , au est contenue ea elle , le résultat de eëtfe ôomparéison se nomme ieiir Rapport géométtique. Par exemple, si je compare la à 3 pour savoit combien dé fois is Contient 3, le nombre 4 qui exprime ce nombre. de fois , est le rapport géonié&iqiie de la à 3.
Pour marquer que l'on compare deux quantités sous ce point de vtre , oii sépare l'une de l'autre par deu^i! pfoîhts : cette expression 12:3 marque que l'on coiisidère lè rapport géométrique de 1 2 à 3.
.i65. Des deux quantités qtlé l'on corof^i^e , celle qu'on énonce ou qu'on éôrit la première, se ûommé antécédent y et la seconde se nomme conséquent. Ainsi dans lé rappott iâl3, la est Tantécésdemî , et 3 est le conséquent : Fun et Tàutre s'appellent les termes du rapport
i66. Pour ayoir le rapport arithmétique de deux quantités^
il n'y a do«c autre cbose à faire qu'à rétrancher la plus petite de la plus grande. ^ " .
167. Et pour avoir le rapport géométrique de deux quan-'' tités y il faut diviser l'une par l'autre.
iG8. Jîous évaluerons de rapport, dorénavant, en divisant
Fantécédent pat le Conséquent : ainsi le rappott de la à 3 est
3 1 4i et le rapport de 3 à la est — ou-.
1G9. Un rappott arithmétique ne change point quand on ajoute à chaôun de ses deux termes , ou qu'on en retranche une même quantité , parte que la différence (en quoi consiste le rapport) reste toujours la même.
170. Un rapport géométrique ne chabge point quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre; car le rapport géométrique consistant (168) dans le quotient de la division de l'antécédent par le conséquei^t , est
, une quantité fractionnaire qui (88) ne peut changer par la multî* plication ou la division de ses deux termes par un même nombre. Ainsi le rapport 3 ! la est le même que celui 6 ! 24 que l'on k en multipliant les deux termes du premier par â; il est le mêm» que celui de' 1 ! 4 ^^^ Ion a en divisant par 3.
