Cette propriété sert à simplifier les rapports. Par

.exemple , si j'avais à examiner le rapport de 6 - à 10 ~, je di-

irais , en réduisant tout en fraction , ce rapport est le même qu©

celui de -~ à -^9 ou en réduisant au même dénominateur^ le 4 ^ ^

même que celui de — à , ou enfin en supprimant le déno-

minateur 1 a (ce qui revient au même que de multiplier le« deux termes du rapport par 12), ce rapport est le même que celai de 81 'à 128.

17a. Lorsque quatre quantités sont telles que le rapport des deux premières est le même que le rapport des deux dernières, on dit que ces quatre quantités forment une proportion, e|

DE MATHÉMATIQUES. loi

cette proportion est arithmétique ou géométrique , selon que le rapport qu'on y considère est arithmétique ou géométrique. Les quat4;e quantités 7,9, 12 , 14, forment une proportion arithmétique, parce que la dilDFérence des deux premières est la même que celle des deux dernières. Pour marquer qu'elles sont en proportion arithmétique, on les écrit ain^i, j,^l\2,iJi, c'eét-à-dire , qu'on sépare par/ un point les deux termes de chaque rapport, et les deux raports par deux points. Le point qui sépare les deux termes de chaque rapport , signifie est à , et les deux points qui séparent les dçux rapports , signifient comme; en sotte que pour énoncer la proportion ainsi écrite,. on dit, y est à Q comme 12 est à i4-

Les quatre quantités 3, i5, 4» ^^ forment une proportion géopiétrique , parce que 3 est contenu dans 1 5 , comme 4 l'^st dans ao. Pour marquer qu'elles sont en proportion géométrique, on les écrit ainsi, 3«i5:.4*^o> c'est-à-dire, qu'on sépara les deux termes de chaque rapport par deux points, et le» deux rap-* ports par quatre points. Les deux points signifient est à, et les quatre points signifient comrna; de sorte qu'on dit 3 e;^ à i5 , comme 4 çst à âp.

Il faut seulement observep que dan» la proportion arithmé*tique I qn fa^jt- précéder le mot comme du mot arithntétiquementf

173. Le pre;nier et le dernier ter^e de la proportion sa nomment les extrêmes; le a* et le 3* se nomment les m>oyens, , Comme il. y a deux rapports , et par conséquent deux atité-* cédens et deux çonséquens , on dit , pour I9 premier rapport , premier antécédent, premier conséquent ^ et pour le second, second' antécédent , second conséquent*

174-, Quand;les deux termes moyens d'une proportion sont égaux , la proportion se nomme proportion continue 3. 7; 7.' 1 1 forment une proportion arithmétique continue , qn l'écrit ainsi t3.7 . 1 1 . ; les deux points et la barre qui précèdent, son^ pour avertir que dans l'énoncé on doit répéter le terme moyen qui ^stici7,

Ia proportion 5 : ao : : ao :8o est une pttportion géométrique

loa COURS

continue , que par abréviation on écrit ainsi fj5;3o;8o; l'ittag» des (ju^tre points et de la barre çat le même que dans 1^ pro-^ portion aritbmétiqae continue.

175. Il suit de ce que nous venons de dire sur les proportion» arithmétique et géométrique :

1®. Que si dans une proportion arithmétique^ on ajouta à chacun des antécédens, on si Ton en retranche la différence on raison qui règfae dans cette proportion , selon que l'antécédent 9era plus petit ou plus grand que son conséquent , chaque anté* cèdent deviendra égal à son conséquent ; car o^e^t donner au plus petit terme de (chaque rapport ce qui lui manque pour éga« lei: son voisin ; ou retrancher du plus grand ce dont il surpasse son voisin. Ailisi dans la proportion 3.7 !8. id^ ajoutez la diiTéirence 4 » vous aurez au premier et au troisième terme 7. 7 H a . 1 s», ^t il est aisé de sentir que cela est général. . 2?, Si dans une proportion géométrique vous multiplies chacun des deux conséquens > par le rapport > vous les readrei; pareidem^nt égaux chacun à son antécédent ; car multiplier le consé-* quent p#r le rapport^ c'est le prendre autant de fois qu'il est contenu dans l'antécédent : ainsi , dans la proportion ia23::ao:5» multipliez 3 et 5 , diacun p^ 4^ et vous aurez la: ifi::fio:ao ; 'pareillement, dans lapropoMion \5l^::4^l^\vmMp\i&t ^ et

07 chacun par -^ ou = qui est le rapport, vous aurez i5; i5

• Propriétés des Proportions arithmétiques.

176. La propriété fondam^iitale de» proportions ari&mé-* tiques es.t que k^ SQmrne^ des extrême est égdk 4 ^ somme des moyens;, par exexxifkU, dans cette propor^OiÇ, 3^718. la» la somme 3 et la des es^trêmes^ et celle 7 ?t 8^ des: moyens, sont égalemexxt i5,.

Yoici comment on peut s'assurer que cette propriété est générale.

Si les deusp prenûecs termes étaient égaux eifUbre^ ei» et lef

DE MATHÉMATIQUES. Jo5

deux derniers aussi égnux entre eux , coomie dani cette proportion :