la . la

il est évident que la somme des extrêmes serait égale à celle des moyens.

Or> toute proportion arithmétique peut être ramenée i cet état (176)^ en ajoutant à chaque antécédent ^ ou en ôtant la différence qui règne dans U proportion. Cette addition qui augmentera également la somme des extrêmes et celle des moyens» ne peut rien changer à Tégalité de ces deux sommes ; ainsi si elles deviennent égales par cette addition, c'est qu'elles étaient égales sans cette même addition. Le raisonnement est le même pour le cas de la soustraction.

177. Puisque dans la proportion continue lés deux termes moyens sont égaux, il suit de ce qu*on vient de démontrer/ que dans cette même proportion, la somme des extrêmes est double du terme moyen , ou que le terme moyen est la moitié. dé la somme des extrêmes. Ainsi pour ayoir un moyen arithmé'* tique entre 7 et i5, par exemple, j'ajoute 7 à i5, et prenant la moitié de la somme aa > j*ai 1 1 pour le terme moyen ; en sorte que 77.11 .i5.

Propriétés des PraporUons géaméiriques.

178. La propriété fondamentale de la proportion géomé« trique est que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens; par exemple, dans cette proportion 3ti 5 !!7:35, le produit de 35 par 3 , et celui de i5 par 7, sont également loS.

Yoici comment on peut se convaincre que cette propriété a

lieu dans toute proportion géométrique.

Si les antécédens étaient égaux à leurs conséquens , comme

dans cette proportion :

il est évident que le produit des extrêmes serait égal an produit des moyens.

Mais on peut toujours ramener une proportion à cet état (176), en multipliant les deux conséqnens par la raîsoDv Cette

xo4 COURS

anùltipHçation fera, â la vérité, que le produit des extrêmet. sera un certain nombre de fois plus grand qu'il n'aurait été ,ou sera un certain nombre de fois plus petit , si le rapport est une fraction ; mais elle produira le même effet sur celui des moyens j donc, puiscju'après cette multiplication le produit des extrêmes serait égal au produit des moyens , ces deux produits doivent aussi être égaux sans cette même multiplication.

On peut donc prendre le produit des extrêmes pour celui des moyens , et réciproquement.

Donc, dans la proportion continue ^ le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen; car les deux moyens étaot égaux, leur produit est le carré dé Tun d'eux.> Donc pour avoir un moyen géométrique entre deux nombres proposés, il faut i^ultiplier ces deux nombres l'u» pa.r l'autre, et tirer la racine carrée de ee produit. Ainsi pour avoir un moyen géométrique, entre 4 et 9 , je multiplie 4 P^r 9 > et la racine carrée 6 du produit 36 est le moyen rproportionnel cherciié.

173. De la^ propriété fondamentale de la proportion géométrique , il suit que si connaissant les trois premiers termes d'une proportion, on voulait déterminer le quatrième, il faudrait mul-* tiplier le second par le troisième ^ et diviser le phduitpar le premier,) C8X il est évident {jj^) qu'on aurait. le quatrième terme, en divisant le produit des deux extrêmes par le premier terme; or ce produit est le même que celui des moyens ; donc on aur^ aussi le. quatrième terme en divisant le produis des moyens par fe premier terme, ' ' :. . " " / '

Ainsi, si l'on demande quel serait le quatrième terme d'ijne. proportion dont les trois premiers seraient 3 18X12; je mul-» tiplie 8 par 12, ce qui me donne 96 que je divise pa^ 3; le quotient 32 est le quatrième terme'demandé j en sorte que 3^(8, 1 2,32,

' 3 ' forment une proportion : en effets le premier rapport est^, et • . o ,

fe second est =- qui (89) , en divisant les deux termes par.4» ^^\

aussi -K*

DE MATHÉMATIQUES. io5

Par un semblable rai8onnemei;it y on voit qu'on peut trouver tout autre terme de la proportion , lorsqu'on en connaît trois. Si le terme qu'on veut trouver est un des extrêmes ^ il faudra muU tiplier les deux moyens , et diviser par Vextrêrnè connu \- si , au contraire, on nteut trouver un des moyens ^ il faudra multiplier les deux extrêmes , et diviser par le terme moyen connu,

i8o. Cette propriété de régalité entre le produit des extrêmes . et celui des moyens , ne peut appartenir qu'à quatre quantités en proportion géométrique. En effet , si Ton avait quatre quantités qui ne fussent point en proportion géométrique , en multipliant les conséquens par le rapport des deux premières , il ny aurait que Je premier antécédent qui deviendrait égal à son conséquent. Par e:xemple , si Ton avait 3,ia,5,io,en multipliant les conséquens. 12' et 10 par la raison - des depx pçemie^-s termes 3 et

1 2 , on aurait 3,3,5, -j- dans lesquels il est évident que le produit

des extrêmes ne peut être égal à celui des moyens ; donc ces produits ne pourraient pas être égaux non plus , quand çiême

on n'aurait pas multiplié les conséquens par ^ raison -. Il est

visible que ce raisonnement peut s'appliquer à tous les cas.

I)onc , si quatre quantités sont telles , que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens^ ces quatre quantité^ sojtt eri proportion,

t)e là nous conclurons celte seconde propriété des proportions.

181 • Si quatre quantités sont en proportion ^ elles y seront çncore si l'on met les extrêmes à la place des moyens , et les moyens à la piace^ des extrêmes. ' '' ^

1 8a. La même diose aura lieu , c'est-à-dire, que la proportion subsistera si Ton échange lesptàcés d^s extrêmes ou celles des "qioyens, '

En effet, dans tous ces cas , il est aîsé de voir que le produit ^esL extrêmes s^a toujours égal à celui des moyens. - " ■ :

lofi COURS

Ainsi la proportion 3:8;: la : Ss peut fournir tontes les proportions snivaptes par la seule permutation de ses tennes.