moins

Car si c'ost au conséquent que Ton compace j^ il est foeil« d»

voir qne Tantécéde^t ^ augmenté ou dimiaué du çanaéqqent, contiendra ce conséquent une fois de plus ou une £0» de mois» qu'auparavant; et comme cette comparaison se fait de la même manière pour le second rapport ^ qui ^ par la nature de la proportion f est égal au premier^ il s'ensuit nécessairement que les deux nouveaux rapports seront aussi égaux entre eux.

Si c'est à l'antécédent que Ton compare^ le même raisonnement aura encore lieu^ en concevant que dans la proportion sur laquelle on fait ce changement, on ait mis l'antécédent de chaque rapport à la place de son conséquent, et le conséquent à la place de l'antécédent j ce qui est permis (i8i).

i85. Puisqu'on mettant le troisième terme d'une proportion à la place du second , et réciproquement > il j a encore proportion (182) y on doit conclure que les deux antécédens se con« tiennent l'un l'autre autant de fois que les conséquens se contiennent aussi l'un l'autre.

Donc , la somme de deux antécédent de \Qvte proportion^ cory^ tî^nt la somme des deux conséquens , çu e^t contenue en eUe , autant quuh des antécédens contient son conséquent , ou est contenu en lui.

Par exemple, dans la proportion

la : 3 :: 3a : 8

ia plas 3a t 3 plus 8 :: 3a ; 8, ce qui est ërident.

. Tj^ÎM, poyr «en cpnvabcre gé^téar^leme^t^ il n'y a qu'à faire att«ntiQ9 Qua ^ le premieE antécédent CQnt|e<i| le second quatre {oti^ j par ei^emple j la sompe des deux a^téoédeas contiendra le second cinq fois \ et , par la fla^m^ r^iison ^ la scuntte des con-^ séquenf co^tiendira le second cbi%$équent cinq foi&; donc la somme de^^técédens contiendra celle de^ cou&équens., conune le quintuple d'un deç antécédens Cioiitient le quintuple de son conséquent; c'est-à-dii'e (170) commue; un de^ ^técédea» cçvk* tient son çoiMéqueint.

Oa prouverait de mêine que^la différence des antécédens est à la différeoce dee conséquenai^ com^me im antécédent est à son conséquent.

9ç>8 COURS

1 86. Il est évident que la proposition qu'on vient dç déiçoiw trer revient à celle- ci J si Ton a deux rapporta égaux, par exemple^

celui • N

de [ 4 • 13 I

çt celui de 7«*.^ 7 : ^t

On aura encore le iiiême rapport, en ajoutant antécédent àr antécédent , et conséquent à conséquent. ,

Donc., si l'on a plusieurs rapports égaujç , Iq. somme de tous, les antécédens est à la somme de tous les conséquens ^ comm^, l'un des antécédens est à son conséquent. Par exemple., si on a les rapports égaux 4 l la i:y : ai :: û : G , on peut, dire quo 4 plus 7 plus a, soBt à la plus ai plus 6, comme 4| est à laj^ ou comme 7 est à ai, efc.

Car, après avoir ajouté entre eux, les antécédens des deu^^ premiers rapports , et leurs conséquens aussi entre eux, le nouveau rapport qui , selon ce qu'on vient de voir, sera le mêine que cl]2tcun des deux premiers , sera aussi le même que le troi— «ième : par conséquent, on pourra Tàjouter de même avec celuici, et il en résultera encore le même rapport, et ainsi de suite.

187. On appelle rapport composé y celui qui résulte de demc; ou d'un plus grand nombre de rapports dqnt on pultîpKe le& antécédens entre eux , et les conséquens entré eux. Par exemple ^ si Ton a le» deux rapports ia:4eta5:5, le produit des aatécé-^ dens la et aS «éra 3oo ^ celui des conséquens 4 ^ B sera ao ; le rapport de 3ôo à ao eftt ce qu'on appelle rapport composé de^ , rapports de la à 4» et de a5 à 5,

188. Ce rapport est le même que si Vôn avait évalué séparément chacun des rapports composans , et qu'on eût multîpliq entre eux les nombres qui expriment ces rapports. £n effet, lé rapport d^ la à 4 est 9, celui de a5 à 5 est 5 : or, 3 fois 5 fout i5, qui est le rapport 4e 3oo à ao 5 et l'on peut voir que cela est général, en faisant attention que le rapport est mesuré (168) par une fraction qui a l'antécédent pour numérateur, et le conséquent pour dénominateur : ainsi le rapport compo&é doit êt^ô

JÔÉ MÀtaÉMÀTIQtJËS. »c^

raction qui ait pour numérateur le produit de» deux antécédens, et]^our dénominateur le produit des deux conséquens; c'est donc* ( io6) le produit des deux fractions qui expriment les Rapports composans.

189. Si les rapporté que romriultiplîesont égaux, le rapport composé est dit rapport doublé \ si Ton n'a multiplié que deux rapports; rapport triplé y si Ton en a multiplié trois -, quadruplé ^

. si l'on en a multiplié quatre, et ainsi de suite. Par exemple , si Ton multiplie le rapport de â à 3 par celui de 4 à 6 qui lui est égal, on aura le rapport compose 8 : 18 qui sera dit rapport doublé du rapport de a à 3, ou de 4 À 6.

190. Si Von a deux proportions , et quoh les multiplie par ordre y c'est-à-dire ^ le premier terme dç l* une par le premieir terme de l'autre, le second par le second^ et ainsi de suite; les quatre produits qui en résulteront , seront en proportion,

. Car, en multipliant ainsi deux proportions , c'est multiplier deux rapports égaux pat deux rapports égaux (173); donc le», deux rapports composés qui en résultent doivent ètté égaux; donc les quatre produits doivent être en proportion (172).

191. Concluohs de là que les carrés , les cubes, et en général les puissances semblables de quatre quantités en proportion ,

'^sont aussi en proportion ; puisque pour former ces puissances, il ne faut que multiplier la proportion par elle-même plusieurs fois de suite.

192. Les ratifies carrées, cubiques , et en général les racines Semblables de quatre quantités en proportion sont aussi en proportion; car le rapport des racines carrées des deux premiers termes n'est autre chose que la racine carrée du rapport de ces deux termes (142 et 167) j et il en est de niême du rapport des racines carrées d^ deux derniers termes ; donc puisque les deux rapports primitifs sont supposés égaux , leurs raciiies carrées sont égales ; donc le rapport des racines Carrées des deux premiers termes sera égal au rapport des racines carrées des deux derniers. On prouvera de même paur les racines cubiques^ quatrièmes , etc. ,

iiô cob&s

Usage des Propositions précédentes^

1^3. Les propositîoBs Ique nous venons de démontrer, et qu'on appelle les Règles des ptopottiotis , ont des application^ continuelles dans toutes les parties des Mathématiques . Nous nous bornerons ici à celles qui appartiennent à 1* Arithmétique ^ et nous commencerons par celles qu'on peut faire ^e ce qui a été établi (179) > «t qui est la base de presque toutes les autresé

JÛe la Règle de Trois directe et simple.

194* ^^ distingue plusieurs sortes de règles de Trois t eWeé ont toutes pour objet défaire connaître uh terme d'une proportion dont OH en connaît trois.

Celle qu'on appelle règle de Trois directe et simple , est nom*» mée simple y parce que l'énoncé des questions auxquelles on l'applique , ne renferme jamais plus de quatre quantités ; dont trois sont connues , et la quatrième est à trouver.

On l'appelle directe , parce qu^ des quatre quantités qu'on y considère, il y en a toujours deux qui, non-seulement sont relatives aux deux autres , mais qui en dépendent de manière que, de même qu'une des quantités contient Tautre, ou est cbntenue en elle , de même aussi la quantité relative à la pre« mière contient la quantité relative à la seconde ,' bu est çon-* tenue en elle ; c'est-à-dire d'une manière plus abrégée , qu'une quantité* et sa relative pelivent toujours être , toutes deux, ou antécédens ou conséquens dans la proportion ^ oe qui n'a pas lieu dans la règle de Trois inverse ^ comme nous le verrous dans peu. ,

La méthode pour trouver le quatrième terme d!une propor-> tion , et par conséquent pour faire la règle de Trois directe et simple , est suffisamment exposée (179) ; mais il est à propos de faire connaître, par quelques exemples , l'usage qu'on peut faire de cette règle.

EXEMPLE I

40 ouvriers ont fait, en un certain temps , 2S8 toises d'où*

DE MATHÉMATIQUES. ni

Vîage , on demande combien 60 ouvrira pourraient en faire dans le même temps ?

Il est clair que le nombre des toises doit augmenter à propor-» tion du nombre des ouvriers ; en sorte que celui-ci devenant double, ttiplej quadruple, etc. le premier doit devenir aussi doubla, triple, quadruple, etc. Ainsi l'on voit que le nombre de toises cherché , doit contenir les nSS toises , autant que le nombre 60 , relatif au premier, contient le nombre 4o relatîf au second : il faut donc chercher le quatrième terme d'une pro^ portion qui commencerait par ces trois- ci :

Ou (en divisant ces deux premiers ternies par ao) , ce qui est permis (17c), par ces trois autres :

A^'nsi , selon ce qui a été dit (179) , je multiplie àSS*^ par 3, et je divise le produit 8o4 par û; ce qui donne pour quotient 4^2^ 1 et par conséquent ^^o!^ pour Fouvrage que feraient les 60 ouvriers»

EXEMPLE II

lïn naTtre a fait , arec un même vent , ^b lieues en 3 jours ; on demande enxombien de temps il en ferait aooo, toutes le» autres circonstances demeurant les i^iêmes ?

11 est évident qu'il faut plus de temps , à proportion du nombre de lieues, et que par conséquent le nombre de jours cherché doit contenir 3 jours, autant que 2000 lieues contiennent a75 Heues ; il faut donc chercher le quatrième terme d'une proportion qui commence par ces trois * ci : .

a7j5 : 2000 II 3:

Miiltiplianl: 9000 pair 3 , et divisant le produit 6000 par âjS ,

en aura ai jours -^*

\ià 'COURS

EXEMPLE m.

53*^4^ 5p d*ouyrage ont été payées 168^ 9*^ 4^ ; on demandé fcombien on doit payer pour 77"^ 1^ 8??

Le prix de 77"^ 1 ^ 8? doit contenir le prix de 1 68*" 9*^ 4* ^^^ 52*^ 4^ 5p, autant que 77'^ 1^ 8? doit contenir 62'^ 4^ ^p. Il faut donc chercher le quatrième terpie d'une proportion qui coniluent^erait par ces trois- ci :

6aT 4P 5p : 77T jp 8p : : leatf- gJ- 4^ :

C'efit-à-dire, qu'il fautmultiplier iG8^9*^4*^ P^r 7?'^ i^8p, et diviser le produit par 5a'^4^^^> c® qu'on peut faire par ce qui a été dit (122 et 128).

IVIais il sera encore plus simple de réduire les deux premiers termes â leur plus petite espèce, c'est-à-dire en pouces; et là question sera réduite à chercher le quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces trois autres :

3797 : 5564 :: «68* gf 4^^.

Alors multipliant 168^9-^ 4^ P^r 55S4, on aura 937348* lo-^

8^, et divisant par 3797, le quotient 246* 17-^ 3^ ^-^ sera ce

qu'on doit payer pour les 77'^ 1^8'.

S'il y avait des fractions , après avoir réduit les deux tenues de même espèce à leur plus petite unité , comme dans cet exemple, on simplifierait le rapport de ces deux termes ^e la manière qui a été enseignée (171).

De la règle ^e Trois inverse et simple.

î 95. La Règle de Trois inverse et simple diffère de la règle de Trois directe , dont nous venons de parler, en ce que des quàhre quantités qui entrent dans Ténoncé de la question pour laquelle on fait cette, opération, les deux principales doivent se contenir Fune l'autre , dans un ordre tout opposé à celui des deux autres quantités qui leur sont relatives; en sorte que, lorsque par l'examen de la question , on a donné à ces quantités la disposition convenable pour former u^e proportion , l'une des qaantitéi

t>E xMatmêmAtiquès. 1 J

j)rincipaVe et sa relative forment les extrêmes , et latitre «piantité principale, avec sa relative, forment lés moyeHs.

An reste, cela n introduit aucanfe différence dans la mstnîète de faire Tfvpération ; c'est toti jours le quattièn» terme d'uroe pro*^' portion qif il s'agît de trouver , ou du moieii an petit toujour» amener latî'hose à ce point.

Quelques arithméticiens ont prescrit , pour Itf^càs ptésent , tnë règle assiTJétie à l'énoncé de la question : nous ne suivrons point leur exemple ; t'est la nature de U question , et non pas sort énoncé (qui souvent est vicieux) , qui doit diriger dans la résolution.

EXEMPLE i.

3o hommes ont fait un certain ouvrage en ao jours ? combietf fàudraît-îl d'hommes pour faire le même ouvrage en lo jours?

On voit qu'il faut , dans ce second cafs , d'autant phr* d'hommes que le nombre de jours est moindre; ainsi lé nombre d'hommes cherché, dort contenir le nombre de 3o hommes^ ôiTtant qiie le norabfe y.5 de jours , relatif à ceux-^, contient le nombre lo de jours , relatif à ceux-là. Il ne s'agit donc que dé trouver le quatrième terme d^une proportion qui commei^cerah par ces trois-ci :

Cest-à- dife , de multiplier 3o par a5 y et deditiser le prodmï f5o par 10; te (fui donné yo ou 7*5 hommes.

EXEMPLE fl.

tlrt é^iTÎpàge n'rf plus que pour i5 jours de vivrez; mai> Îp.< drconstafnces doivent lui faire tenir encore la mer pendant no joufj - 6h demande a tiomhn^A on doit réduire la totalité de^ rations par jour?

Rfeprésentoufl par l'unité, la totalité des vivres, que l'on consommé pat" jour ; on voit que ce à quoi on doit se restreindre, doit être d'autant moindre que cette unité > que le nombre 20 de« jours pendant lesquels cette économie doit durer est plus grand

Ariihm^y Marine et JrUiierie* T. l. 8

ii4 COURS

que ΀ nombre de i5 jours ; que par conséquent, de même que 20 jours contiennent i5 jours, de même la totalité des vivres •que Ton aurait consommés pendant chacun de ces i5 jours, doit contenir. celle, des vivres que Tonr consommera pendant chacun des 20 jours j il faut donc chercher le quatrième terme d*une proportion qui commencerait par les trois suivans :

2oj l iSj :: I :

Ce quatrième terme sera t— ou -> ; il faat donc se réduire

aux - de ce qu'on aurait consommé par jour.

De la Règle de Trois composée.

196. Dans les deux règles de Trois que nous venons d'exposer, la quantité cherchée et la quantité de même espèce qui entre dana l'énoncé de la question , ont entre elles un rapport simple et déterminé par celui des deux autres quantités qui entrent pareillement dans l'énoBcé de la question.

Dan^ la régie de Trois composée , le rapport de la quantité cherchée à la quantité de même espèce qui entre dans l'énonc^ dé la question, nVst pas donné par le rapport simple de deux autres quantités seulement, mais par plusieurs rapports simples qu'il s'agit de composer (187) d'après l'examen de la question.

Quand «ne fois . ces. rapports ont été composés, la règle est réduite à une règle de Trois. simple ; les exemples suivans vçnt éclaircir ce que nous disons.

EXEMPLE I

5o hommes ont fait iSa toises d'ouvrage en i8 jours ; combien 54 hommes^ en feront-ils en 28 jours ?

On yoit'que i'ôuvragé dépend ici, non-seulement du nombre des hommes, mais encore du nombre^ des jours.

Pour a^irégai-d-à l'un et à l'autre , il faut considérer que 3a hommes travaillant pendant 18 jours, ne font qu'autant que i8 fois 3o hommes , c'^t-à-dire, queâ^o homme» qujtravailleraierit pendant uA jour. .

Pareillement, 54 hommes travaillant pendant 28 jours , ne Ibnt qu'autant que feraient aSfois 54 hommes-, ou i5i 2 hommes travaillant pendant un jour. ^ • ,

La question est donc changée en celle-ci : 54o hommes ont fait i3a toises ^'ouvrage , combien i5i2 hommes en feraient-il/ dans le même temps ? c'est-à-dire, qu'il faut chercher le quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces trois-ci :

54oh : iSiaii :: is^T:

Multipliant i5i2 par i32, et divisant le produit par 54o, on

trouvera pour réponse à la question ZGo^'^Z^j^q}-.

EXEMPLE II

Un homme, marchant 7 heures par jour, a mis 3o jours à . faire a3o lieues 5 s'il marchait 10 heures par jour, combien eni- ploierait-il de jours pour faire 600 lieues , allant toujours avec !a même vitesse ?

S'il marchait pendant \e. mêm« nombre d*heures par jour, dans chaque cas, on voîf qu'il emploierait d'autant plus de jours qu'il a plus de chemin à faire ; mais comme il marche pendant un plus grand nombre d'heures chaque jour, dans le second cas, il lui faudra moins de temps par'cette raison^ ainsi l'opération tient en partie à la règle de Trois directe , et a la règle de Trois inverse.

On la réduira à une règle de Trois simple ^ en considérant que marcher pendant 3o jours, en employant 7 heures chaque jour, «'est marcher pendant 3o fois 7 heures, ou 210 heures ; ainsi on peut changer la question. en cette autre ! il a fallu 210 heures pour faire 23o lieues *, combien en faudra-t-il pour faire 600 lieues ? Quand on aura trouvé le nombre d'heures qui satisfait à cette question , en le divisant par 10 , on aura le nombre de jours demandé , puisque Thomnie dont il s'agit emploie 10 heures par jour.

Ainsi il faut chercher lé quatrième terme de la proportion , ^ont les trois premiers sont :

iiff . CQCftS

On trouvera que ce quatrième terme est 547 heures ^* "^> ^^^ quelles divisées par lo , nombre des. heures ^qu» cet homme etit^ j>ioie chaque jour, donnent 54 joufs et -5- ou 54^ -^^

De la Règle de Société.

1 37. La règle de Société est ainsi nommée , parce qu'elle sert à partager entre plusieurs associés , le bénéfice ou la perter résultant de leur société.

Son but €»t de partager un nombre proposé y en parties qui aient entre elles des rapports donnés.

' La règle que Ton donne pour cet eiFet , est fondée sU'r ce que - nous avons établi (186).: nous allons la déduire éé ce principe ^ dans Texemple suivant.

EXEACPLE I.

Supposons , par exemple , qu'il s'agisse de partager lao, entrois parties qui aient entre elles les mêmes rapports que les nombres 4> 3> 2*^ Ténoncéde la question fournit oes deuxpro-^ portions :

* 4 * ^ •• 1" première paitiîe est à la aeçdadc

4 • ' •• '^ premiéie partie est à la crdisièaie.

0u (iSa) ces deux autres :

4 est t\ la pretoière partie : * 3 est k la secoade. 4 est à la- première partie :: 3 est à If^ troisfème*-

Dè sorte qu'on a ces trois rapports égaux

4 est à la première partie * * 3 est à la seconde 1*9 est 2i Ta troisième.

Or on a vu (186) que la somme des antécédens de plusiei^ri rapports égaux , e«t à la somme des conséquens » comme un antécédent est à son conséquent : on peut donc dire ici , que Ja somme 9 des trois parties proportionnelles à celles que Ton cherche est àla somme 1 20 de celles-ci , tomme Tune quelconque des trois parties proportionnelles fst à la partie de lao qui luilépond.

|La règle se réduit donc, i^ à faire une totalité de» parties proportionnelles données ; s"", à faire autant de règles de Troi» qu*il y a de parties à trouver ^ et dont chacune aura , pour pre* mîer ternie , la somme des parties proportionnelles données ; pour second terme , le nombre proposé à diviser; et pour troisième terme , Tune des parties proportionnelles données : ainsi dans la question qne nous avons prise povr exemple ^ on atiraît ces trois règles àjit Trois à faire.

Dont on trouver^ (^7$) 4^® ^^^ quatrièmes termes sont 53 3^

40 , 26 ^ qui ont entre eux les rapports demandés , et qui composent* en effet le nombre 1 ao.

Mais il est aisé de remarquer qu'il nVst pas absolument nécessaire de faire autant de règles de Trois qu'il y a de parties à trouver ; on peut se dispenser de la dernière , en retranchant du nombre proposé la somine des autres paities , quand on les

^ trouvée?.

EXEMPLE II

Trois personnes ont à partager le bénéfice de la prise d*un vais.<$eau. La première a fait un fonds de 20000^; la seconde, de S6oodt^'^ la troisième, de laoooo* : on demande ce qui revient à chacune sur la prise estimée 800000"^, tous frais faits.

On voit qu'il s'agit de partager 800000*", en parties qui aient enti'e elles les mêmes rapports que aoooo, 60000, iaoooo% ou (170) que 2, 6, 13, puisque cbacon doit avoir proportionnellement à sa mîsf ; il faut donc ajofUter les trois parties proportionnelles Qf 6, la, et faire les trois proportions suivantes , ou seulement deux.