l • 2**, î la promi^re partie
20 J $oooao ;: la*" : la trt>ifii^e partie.
Ces troiîj parliçs seront Bqqoq*^, 240000*", J^opoo'^^ »
La question pourrait être plus compliquée, et cependant être ramenée aux mêmes principes , comme dans l'exemple qui suit.
EXEMPLE III
Trois personnes ont iiiis en société, la première, Sooo""', qui ont été pen<^ant six mois dans la société ; la seconde , 4000"''', qui y ont été pendant cinq mois ; et la troisième 8000*" , qui y ont resté pendant neuf moi» ; combien chacun doit-il avoir snr le bénéfice qui monte à i2o56^?
■ On réduira toutes les mises .à un même temps , en cette manière :
La mise de 3ooo^ ^ dû- produire , pendant six mois , autant que Q fois 3ooo^ ou i8qoo^, pendant un mois.
La mise de 4oo6^ a dû produire pendant cinq mois , autant que 5 fois 4000* ou 20000"''*, pendant un mois.
Enfin la mise de 8000*^ a du produire en neuf mois , autant que 9 fois 8000** ou 72000*, pendant un mois.
Aiuvsi la question est réduite à cette autre : les mises de trois associés sont 1 ^ooo**, 20000**, 72000'"', combien revieut-il à chacun sur le gain de i2o5o* ?
En procéda at comme dans l'exemple ci-dessus , on trouvera
Remarque au sujet de la Règle précédente.
198. Il n'est pas inutile d'examiner un cas qui peut embarrasser les commençans. Si l'on proposait cette question : partager 65o en trois parties , dont la première soit à la seconde i: 5 : 4; et dont la première soit à la troisième II y l3.
On ne peut pas appliquer ici la règle précédente , sans une préparation qui consiste à rendre la même , dans chaque rapport donné , la partie proportionnelle de l'une des trois parts cherchées; par exemple, celle de la première; cela s'exécute aisément, en multipliant les deux termes de chaque rapport.
par le premier terme de Tautre rapport ; ainsi le» deux rapport» 5:4 et 7 ; 3, seront ramenés à avoir un même premier terme, en multipliant les deux termes du premier par 7 , et les deujf termes du second par 5^ ce qui n'en change pas la valeur (170), et donne les rapports 35 t 38 et 35 ! i5 ; en sorte que la question se réduit à partager 65o , en trois parties qui soient entre elle» comme les nombres 35, a8 et i5; ce qui se fera aisément par la règle précédente.
Si Ton demandait de partager un nombre en quatre partie» , dont la première fût à la seconde :: 5 : 4, la première à la troisième :! 9:5, et la première à la quatrième :: 7:3, on réduirait ces rapports à avoir un même premier terme , en multipliant les deux termes de chacun par le produit des premiers termes des deux autres 5 ainsi dans cet exemple , on- changerait ces trois Yapports , en ces troi» autres, 3i5:35a, 3i5: 176, 3i 5 Ir i35; en sorte que la question se réduit à partager le nombre proposé , en quatre parties qui soient entre elles comme les nombres 5i5^ 262, 176 et i35. ^
De quelques autres Règles , dépendantes des
Proportions,
* 199. Qaniqae les régies suivantes soient d^on usage moins fréquent qne les précédentes , lïous ne pouvons cependant les omettre absolument : outre qu'elles ne sont pas sans utilité par elles-mêmes , elles sont d'aillcuis propres à faire sentir l'étendue des usages de& proportions.
300. La première dont nous parlerons est la Règle d'une fausse position^ On rapplique souvent h résoudre des questions qui appartiennent h la règle de Société, dont elle diffère en ce qu'an lieu de prendre les parties pro[)ortion. nelles telles qu'elles sont données par Ténoncc de la question, elle en prend une arbitrairement, et j subordonne les antres conformément h la question ^ ee qui rend le calcul un peu plus facile.
EXEMPLE I
Partager 640*^^ entre trois personnes , dont la seconde ait le quadruple delx première, et la troisième deux fois et - autant que IcS deux autres enscrabtc.
Je prends arbitrairement, pour représenter la première partie j le nombre 5
dont je puis prendre commodément le -.
La premîèro partie étant 3 , la seconde jjvra i a , et la troittè/riae «ra 35,
Là question est ml.ui te à partager 6.^0 en trois parties, qui soient enue «iUt
comme leatroi^ nombres 3, la çt 35, ce qui s^, Ici a connue il a été dit (197)- ]La létale d'une fausse position sertaus&i ^ résoudre dcsqucstionh qui sont, en
qaejque façon, Finvcrse de qdlea de la pèpfe de Soçkné^ puisqu'il s'agit de rtvcr
iiir de latomoM àe cpoelquca pai tics, d'un nombre à ce n.omb|-e luéiue» comiu<
éj^Pf Veffimj^U ^ mit.'
E^EMPLEII.
On demande de trouver un nombre dont le -, le r et les - , fassent 8u8- S^
pro4id& un noiybre dont je puisse avoir coxnmodénicut le r , le ^ et le > (ce
Kivix est iacikcn multipliant lesi troi^ dé^nominateurs}. Ce noiiibre sei;a (o5 \ j'ci^
prends le - , qui est 35, le - qiài csl- ai, et fe»- qui sont 45 i j "joute ces troi*
nombres, et j'ai loi, qui est compose des parties d.e io5, de la mcme manière <jue 808 l'est'de cellcf du nombire eti question : donc le nombre en question ^JxK avoir uaèm^ rapport à 808, que loS ài ioy ; il doit donc cir^ Ve qua|rièai(^ (.eiruc d'une proportion qui commencerait par ces Uok>-ci ;
loi : io5 :: 808:
Ce quatrième terme e&t 8io , dont 808 renferme en effet le -, le r et les - .
SOI . La seconde rôgledimtnous parlerons est celle dos cSeiu lausses positions.
Kiie sert dans Icji questions où il s'agit de partager,' non pa» le uombre uiénie »ropos«, mais seulement une pai lie de ce nombre, en parties proportionnel Ic^^ ^4cft iiombrcis dtitnés \ l'exemple Miivant fera con^attfj la règle et son usage.
n s'agit de partager 6954*^ en trois prt so micy, de manière que la secopcle ait autaiii que la p}.emièf-e^ et 54*^ de plus ^ et que la iroi^èm^ ait autaut qu« les deux auires ensemble , et 78^ d;e plus.
Sans les 54 et les 78^^, il est clair qu^l ne s'agirait que de partager le nombre propose ei» parties proportionnelles aux nombres i, 1 et tx ; mais puisqu'il faut Plfélever su:r là somme y 54? pour la secop4e peisonne, et 54^ plu^ 78"^ pour la puipième , i^ est évident qu'il n'y a qu'une partie du nombre proposé qu'on doit partager en parties proportionnelles à i^»ct a : comme cette partie, qui eM facile à trouver dans l'exemple actuel, peut être plus difficile à apercevoir dans d'aotfH:^ cirquwtances, 00 sait la métbodeque vpici :
Supposons, pour la première part, tel nombre que nou^ voudrons, par exemple, vt'^lsk seconde part sera lit plus 54*", c'est-à-dire 55"^; et la troisième sera 1*- pl^s 55<f", plus 781^ j c'csl-à-dire \V^ : la totalité fie ces parts. est 190*.
8'il n'ei^t été question que de partager en parties proportionnelles h i, i et a j If prjQii^iç&c parj ét^ai toujours pupposcc i"^, la seconde serait i*", la troisième
, DE MATHEMATIQUES. i^i
«craîl ît*-, et la iottji'slé serait 4*", dowi la différence avec igol»", c'«|-à-dire i86*-^ «SI ce qu'il faut1>rélcver sur la somme proposée 6y54*, ce qui là rcduit h Grii^j il reste donc h partager G768* en parties proportionnelle» à 1, f ej^ 2, selon lef règles cî-des<us j n ayant iroiiTé que la première partie est 1690*-, on en conclut que les deux autres prta deiç^and^es «ont 174^*" «^ 35i6*" j «n pffct, la totali|e d« ces V^ei» paru est 6954^*
20?. On trouve encore, chez le» Arithpae'ticien» , plu»ieurs autre» règle) qui ;jc sont autre cliQse que l'application des règle» de Trois, à différentes qucçiion», telles que les question» d'Intérêt , de Change, ^'Escompte , etc.
Nous nV»ntierons pas dan» ces détails qui ne peuvent avoir de difficulté pour ceux qui, ajcani;l>ka sai«i )«• priaetpeaëtohliaoi-dwsu», auront en mc'aio jieMi(vâ lVt{\t do iaqu^tioB pçcscftt à l'esprit. Nous nous boraeron» à un dcul exemple.
Une personne a fait h un uiarchand un billet de aS54**, payaWe dons un iin ; elle vifent acquitter son billet au bout de 7 moi» , et le marcband consent de diminuer, pour les 5 mois realans, le» iaiavét» qui ont été compri» dan» le l)illci , h raison de 6 pour cent pour la mois ; on demande pour quelle somme • fc uiarcband doit rendre le billet.
Puisque id nwi* produisent 6 pour 100 d'interct» 7 i»oi$ ont dû produire un
intérêt qu'on trouvera en cbei'diant le quairièmc teimç d'uuc proportion, donl
Jcs trois premiers sont :
la : 7 :: 6:
Ce quatrième (erme sera — ou 3 -• Or, quand TinteVêt a- été pri» à 6 pour 100, on a compté pour loG* ce qui ne valait que loo*; donc quand 1 intérêt e^t à 3 ^ on compte pour io3 - , ce qui ne vaut que 100 j il faut donc acruel-
Iciuent que ce qui devait être payé 106 ne soit plus payé que io3 ■-. Ainsi la
somme cherchée doit éirc le quatrième terme d^Oiie proportion dont les trois I premiers sont. .....
' 106 : io3 - :: a854*-:
Ce quaiiième terme qui est 3786^ i^ 9*» -^ *** 53' est h somme que le débaeiir doit donner pour leiirer son bilkt.
Ûe la Règle d'Alliage.^
2o3. Les questions qui appartiennent à cette règle sont de deux sortes.
Dans Tune, il s'agît de trouver la valeur moyenne de plii- I sieurs sortes de choses , dont le nombre et la valeur particulijèn» I ^ç chacune sont connus.
1 sa COURS
Dans la seconde, il s'agit de connaître les quantités decliaqiïe' espèce de choses qui entrent dans un ou plusieurs mélanges , lorsqu'on connaît le prix ou la valeur de chaque espèce , et le prix ou la valeur totale de chaque mélange.
Nous réservons les questions de la seconde sorte pour l'Algèbre,
Quant aux questions de la première , voici la règle pour let résoudre.
Multipliez la valeur de chaque espèce de choses , par le nombre des choses de cette espèce, ajoutez tous les produits et divisez la somme par le nombre total des choses de toutes les espèces.
EXEMPLE
On emploie aoo ouvriers , dont 5o sont, payés à raison de 4o sous par ^our, 70 à raison de 3o sous , 5o à raison de 26 sous > et 3o à raison de 20 sous ; à combien chaque ouvrier revient-il par jour , l'un portant l'autre ?
5o ouvriers , à 4o sous par jour, font une dépende
de 2ooo»^
5o h ^5 * laSo
3o à ao , 600
La dépense de aoo ouvriers est donc de 5960*^ par jour, et par conséquent (en divisant par 200), chaque ouvrier revient , l'uii portant l'autre , à 39''' 9^ par jour. Les autres questions de cette espèce sont si faciles à résoudre d'après cet exeçiple, que nous croyons à propos de ne pas insister sur cette matière.
Des Progressions arithmétiques.
204. La progression arithmétique est une suite de ternies dont chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé, de la même quantité.
Par exemple cette suite. . . .
•7 i.4*7<io. i3. 16. 19.32. a5, e(c*
DE MATHÉMAÎ7QUES, ir^
est trae progresjioîi arithmétique , parce qne chaque terme y surpasse celui qui le précède , d'une raéme quantité qui est ici 5.
Les deux points séparés par une barre, qu on voit ici à la tête de la progression , sont destinés à marquer qu'en énonçant cette progression, on doit répéter chaque terme , excepté le premier et le dernier , en cette manière , i est à 4 comme i^ est à j comme j est à lo , etc,
La progression est dite croissante ou décroissante , selon que iei termes vont en augmentant ou en diminuant ; mais comme les propriétés de Tune et de Tautre sont les mêmes ^ en chan-^ géant seulement les mots plus en moins , ajouter en soustraire , nous la considérerons ici uniquement comme croissante.
ao5. On Yoit donc, diaprés la définition de la progression arithmétique , qu'avec le premier terme et la différence commune , ou la raison de la progression , on peut former tous les autres termes, en ajoutant consécutivement cette raison ; et que par conséquent :
Le second terme est composé du premier, plus la raisom >
Le troisième est composé du second , plus la raison ; et par conséquent du premier, plus deux fois la raison.
Le quatrième est composé du troisième , plus la raison ; et par conséquent du premier, plus trois fois la raison, et ainsi de suite.
2oS. De sorte qu*on peut dire , en général , qu un terme quelconque d'une progression arithmétique, est composé du premier, plus autant de fois la raison quily a de termes avant lui.
207. Donc si le premier terme était zéro, tout autre terme de la progression serait égal à autant de fois la raison qu'il y aurait de termes avant lui*
208. Ce principe peut avoir les deux applications suivantes : 1°. Il sert à trouver un terme quelconque d'une progression ,
sans qu'on soit obligé de calculer ceux qui le précèdent. Qu'on demande , par exemple , quel serait le 100® terme de cette progression :
ia4 COURS
Puisque ce ternie cherché doiç être le centième > H y a donc ^ termes avant lui ', il est donc composé du premier tenue 4 , ^t de 39 fois la raison 5; il est donc 4 P^us 49^* c'est ^à-dire 4^^-
209I a*. Ce même principe sert à lier deuiç nombre» quelconques par une suite de tant d'autres nombres qu*oa voudra , de manière que le tout forme une progression arithmétique; ce qu*on appelle insérer entre deux nombres donnés plusieurs moyens proportionnels arithmétiques ^ ou simplement plusieurs moyens arithmétiques.
Par exemple , on peut lier 1 , et 7 par cinq nombres qui fassent une progression arithmétique avec 1 et 7 ; ces nombres sont 2 , 3^ 4> ^) ^) ^^^^ c(»mme il n*est pas toujours aisé de voir^ du premier ooup«-d*œil , quels doivent être ces nombres, voici com-i ment on peut Iw trouver a Taide du principe que nous venons de poser.
11 ne fi*agtt que de trouver la raiso|n qui doit régner dans cette progression
Or le plus grand des deux nombres proposés devant être le dernier terme de la progression , doit être composé du premier, c'est-à-dirè du plus petit de ces deux nombres^ plus autant de foi^ la raison qu il y a de termes avant lui; donc si du plu3 grand de ces deux nombres on retranche le plus petit, le rest^ sera composé d*autant de fois la raison qu*if doit 3' avoir de termes avant le plus grand, c'est--à-dire, qu'il est le produit de Ja multiplication de cette raison par le nombre des termes qui précèdent le plu^s grand : donc (74) si Ton divise ce reste par le nombre des termes qui doivent précéder le plus grand, on aur^ cette raison.
Ot le nombre des termes qui doivent précéder le plus grand , est plus grand d'une unité que le nombre des moyens qu'on veut insérer entre les deux -, donc, pour insérer entre deux nombres donnés tant de moyens arithmétiques qu'on voudra , il faut re-* trancher le plus petit de ces deux nombres , du plus grand , et diviser ie reste par le nombre des moyens augmenté d^une unité*
Le quotient sera la différence ou la raison qui doit régner dam l^ pro^cidion,
DE MATHÉMATIQUES- i a5
t^ar exemple^ si entre 4 et 1 1 on demande d'insérer 8 ranj-ens arithmétiques, je retranche 4 de 1 1 ^ il me reste 7 que )e divise
par 9 , nombre de moyens augmenté de l'unité ; le quotient - est
la diiTérence qui doit régner dans ]a progression qui sera par «onséquei^)
v4«4-« 5-.0-. 7-.7-.8-*o2. 10 -. iT.
Pareillement, si Ton demandait neuf moyens arithmétiques entre o et 1 , retranchant o de 1 , ii resté 1 qu'il faudrait diviser par 10, nombre des mojnens augmenté de l'unité, ce qui donne
^— ou o^i pour la raison. Et par conséquent la progression sera
7 0.0, t.O|3.0y3.0)4«09^*o»^*097*^»^*®'9* '* a 10. On voit par-là , qu'entre deux nombres , si voisins qu'ils pfiissent être l'un de Tautre , on peut toujours insérer tatjt de moyens arithmétiques qu'on voudra
Nous n'en dirons pas davantage sur les progressions arithtnétiques , que nous ne traitons ici que par rapport anx logarithmes dont nous parlerons plus bas; nous aurons occasion d'y revenir ailleurs*
Des Progressions géométriques.
ai 1. La progression géométrique est une suite de termes dont <:bacun contient celui qui le précède, ou est contenu en lui le Tnéme nombre de fois. Par exemple , cette suite :
^stune progression géométrique, parce que. chaque ferme cocttient celui qtti le précède, le même noaibre de fois, qui est loi a.
Ce nombre de fois est ce qu'on appelle la raison d« la procession.
Les quatre points qui précèdent la progression ont la même signification que les deux points qui précèdent la progression arithmétique (ao4). Mais on en met quatre pour avertir que la progression est géométrique.
isS COURS
La progression est dite croissante ou décroissante , selon {{ne les termes. vont en augmentant ou en diminuant.
Nous considérerons toujours la progression géométrique comme croissante, parce que les propriétés sont les mêmes dans l'une et dans l'autre, en changeant le mot de multiplier en celui de diviser, et celui de contenir , en celui de être contenu.
Puisque le second terme contiwit le premier autant de fois qu'il y a d'unités dans la raison , il est donCvComposé du premier multiplié par la raison.
Pui^ique le troisième terme contient le second autant de fois qu'il y a d'unités dans la raison , il est donc composé du second multiplié par la raison , et par conséquent dû, premier multiplié par la raison , et encore multiplié par la raision ; c'est-à-dire, du premier n^ultiplié par le carré ; ou la seconde puissance de la raison.
Puisque le quatrième terme contient le troisième autant de fois qu'il y a d'unités dans la raison , il est donc composé du troisième multiplié par la raison , et par conséquent du premier multiplié par le carré de la raison, et encore multiplié par la raison } c'est-à-dire , multiplié par le cube , ou la troisième puissance de la raison.
Par exemple , dans la progression ci-dessus , 6 est composé du premier terme 3 multiplié par la raison a : I'a est compose du premier terme 3 , multiple par le carré 4 de la raison 2 ; î2i4 est composé du premier terme 3 multiplié par le cube 8 de la raison a.
âi2. En continuant le même raisonnement', on voit quun terme quelconque de la progression géométrique, est composé du, premier multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent ce terme quelconque, /
Donc, si le premier terme de la progression est l'unité , chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent , car la multiplication par le premier terme , qui est l'iyiilé, n^augmente poiat le produit.
Pour élever un nombre à une puissance proposée , à la septième, par exemple y il faut , suivant l'idée que nous avons don* née des puissances , multiplier ce nombre par lui-même six fois -consécutives. Ainsi, pour élever a à la septième puissance, je dirais : s fois a font 4, a fois 4 foi^^ 8 , 22 fois 8 font 16, s fois 16 font 52, a fois 3a font 64 > a fois 64 font laS , ce qui serait la septième puissance de a ; mais on peut abréger l'opération en diverses manières ; par exemple , je puis d*abord carrer a , ce qui fait 4 ; cuber ce 4 > ce qui donne 64 , et multiplier 64 par a , ce qui fait ia8 ; ou bien je puis cuber a, ce qui donne 8; carrer 8> ce qui donne S4y et multiplier 64 par a, ce qui donne ia8; en un mot , peu importe de quelle façon on sy prenne^ pourvu que a se trouve 7 fois facteur dans le produit.
ai 3. Le principe que nous venons de poser (ai a) sur la forniation d'un terme quelconque de la progression, et la remarque qpe nous venons de faire , peuvent servir à calculer tel terme qu'on voudra de la progression , sans être obligé de calculer ceux qui le précèdent. Si Ton demande, par exemple, quel serait 1% douzième terme de la progression ....
H 3 : 6 : la : a4 :, etc.
Comme je sais (ai a) que ce douzième terme doit être com« posé du premier , multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent ce douzième , je vois que , pour le former, il faut multiplier 3 par la onzième puissance de la raison a. Pour former cette onzième puissance, je c!jbe Q, ce qui me donne 8*, je cube 8, ce qui me donne 5m pour la neuvième puissance , et enfin je multiplie 5 1 a , neuvième puissance de la raison , par 4; seconde puissance, et j'ai ao48 pour la onzième puissance de a; je multiplie donc 2048 par 3, et j*ai 6144 poïir le douzième terme de la progression.
214. Une autre application qu'on peut faire du même principe, c'est pour trouver tant de moyens proportionnels gépmé-triques qu'on voudra entre deux nombres donnés. Si Ton demandait trois moyens géométriques entre 4 et 64) avec un peu
laS . CÔt'USÎ
d'attention , on voit que Ces trois moyens gédméfrîques sont 8 / 16 , Sa. En effet , H 4 • 8 ! 16 * Sa : 64 fotmfent une progression géométrique 5 mais si l'on proposait d'autres nombres que 4 et 64 , ou que Ton demandât tout autre nombre de moyena géométriques , on ne les trouverait pas aussi facilement.
Or, voici comment on peut les trouver en vertu du principe dont il s'agit.
La' question se réduit à trouver la raison qui doit régner dan^' la progression , parce que quand elle sera trouvée , on f(^rmera aisément les termes par des multiplications successives par cett» raison.
Qu'il soit question , par e^EempIe , de trouver neuf moyeés^ géométriques entre a et ao48.
2048 sera donc le dernier terme d'une progression géonfé* trique qui commence par a , et qui doit avoîf neuf terities entre le premier et le dernier. ao48 est donc composé du premier terme a multiplie pat la raison élevée à lin^ puissance' marquée par le nombre des tertnes qrii doivent précéder 2o48 ; don^ (69) si l'on divise 9048 par le premier terme , lé quotient sera la raison élevée à une puissance marquée par le nontbre des terme* qui doivent précéder ao48; donc en cherchant quelle est la racine de cetfe puissance, on aura la raison : or cette puissance doit ^tre la dixième , puisque devant y avoir neuf termes entre a et 2048» îl y en a nécessairement dix avant 9048; donc il faut extraire la facine dixième du quotient qu'aura donné le plu9 grand nombre 3048 divisé par le plus petit a.
ai 5. Comme on peut faire le m^me raisonnement dai-ns tous les cas, concluons donc en général que , pour insérer entre deiuc nombres donnés, tant de moyens géométriques gtion voudra , il faut diviser le plus grand de ces deux nombres par le plus petit y ce qui donnera un quotient} on extraira de ce quotient une racine du degré marqué par le nombre des moyens ciiig^ mente de r unité.
Ainsi, pour revenir à notre exemple y jç divine ao48 par a.
Î>E MATIÎÉMaTIQUËS. iû9
te qui me donne ioû4, dont je cherche la racine dixième (*), elle est â i donc la racine est 2. Ainsi , pour former les moyens «n question, je multiplie le premier terme 2 continuellement par la raison a; et après avoir formé neuf moyens ^ je retombe sur 2048 , comme on le voit ici t
H 2 : 4 : * : »6 : 32 i 64 : ia8 : a56 t 5i!i : 1024 t 2o48.
Pareillement , si Ton demandait de trouyei^ quatre moyens géométriques entre 6 et 4^, )e diviserais 48 par 6, et du quo-* tient 8 je tirerais la racine cinquième; comihe 8 n*a pas de. racine cinquième e^dte , on ne peut jamais assigner exaôtement en nombres , quatre moyens géométriques entre 6 et 48 ; mdis on peut approcher de cette l-acine si ptès qu*on lé voudra > par une méthode analogue à belles de la taciue cAttée et de la racine cubique , et que nous ferond connaître dans l'Algèbre. En attendant, il suffit qu'on Conçoive qu'il est possible de trou-^ ver un nombte qui , multiplié quatre fois de suite pàf lui même ^ approche dé plus en plus de rteproduire 8; et qu'il en est de ïiiême pour tout autre nombre et poui^ toute aUti^e racine; de là nous conclurons qu'entre deux nombres quelconques, on peut toujours trouvet taUt de moyens géométriques qu'on voudra , soit eitàctement , soit par une approximation poussée à tel degré qu'on voudra > et c'est tout ce qu'il nous faut pour passer aux Logarithmes.
Des LogàrithmeÈ.
âi6. Les Logarithmes sont des nombres en progression adth-^
(*) IVous n'avons pas donné dé méthode pour extraire la racine dixième d'un nombre^^ mais il en est de celle-ci comme de la raciiie carrée et de Ivk racitiâ cut hiqite : la racine carrée ne doit avoir qti'iiii chiffre lorsque le nombre proposé n'en a pas plus de a ; la racine cubique ne doit avoir qu'un chiffre^ lorsque 1% nombre proposé n'en a pas plus de trois j pareillement la racine dixième n'anra jamais qu^un cliilfre, tant que le nombre proposé n'en aura pas plus de dix j il en esi de tiiéme pour les autres racines; Ja trentième , par exemple, n'auia qu'Hun chiffte, si lé nombre proposé n'a pas plus de trCAte chiffres ; cela se d.v piontre , comme on Ta fait^pour la racine carrée et la racine cubique.
^rith, , Marine et JrtHlerie. T. I 9
i3o . COURS
métique , qui répondent, ternie pour terme , à une pareille suite de nombres en progression géométriqae. Si Ton a , par exemple, la progression géométrique et la progression arithmétique suivantes'
H a : 4 : 8 C i6 : 32 : 64 : ia8 : aSe, etc. . •53.5.7. 9 . II . i3 . i5 . 17, etc.
Chaque terme de la suite inférieure est dit le logarithme da ternie qui est à pareille place dans la suite supérieure.
217. Un même nombrerpeut donc avoir une in&nité de logarithmes dilFérens , puisqu'à la même progression géométrique on peut faire correspondre une infinité de progressions arithmétiques différentes. Comme noxis ne considérons ici les logarithmes que par rapport à l'usage qu'on peut en faire dans lea calculs numériques, nous ne nous arrêterons pas à considérer les différentes progressions géométriques et arithmétiques qu'on pourrait comparer entre ellej -, nous passons tout de suite à ^ celles qu'on a considérées dans la formation des Tables de Logarithmes.
5218. On a choisi pour progression géométrique , la progression décuple , et pour progression arithmétique, la suite naturelle des nombres ; c'est-à-dire , qu*on a choisi les deux progrèsiions suivantes : .
H I I 10 * 100 : loob : loooo : looooo l loooooo
âig. Ainsi, il sera toujours aisé de reconnaître quel est le logarithme de Tunité suivie de tant de zéros qu'on voudra j il a toujours autant d'unités qu'il y a de zéros à la suite de cette unité.
Nous n'enseignerons pas ici la méthode -qu'on a suivie pour trouver les logarithmes des termes intermédiaires de la progression décuple ; elle dépend de principes que nous ne pouvons exposer ici; mais nous allons expliquer cette formation par une voie qui , à la vérité , ne serait pas la plus expéditive pour calculer ces logarithmes, mais qui âïuffit , tant pour concevoir cette
DE MATHÉMATIQUES. xSi
lôtmation , que pour rendre raison des usagés auxquels on emploie ces nombres artificiels.
230. D*après la définition qu4ft nous avons donnée des logarithmes , on voit que pour avoir le logarithme d'un nombre quelconque, de 3, par exemple, il faut que ce nombre puisse faire partie de la progression géométrique fondamentale. Or, quoiqu'on ne voie pas que 3* pui5se faire partie de la progression géométrique iriCioIioo, etc.; cependant on voit que s\t entre i et io,on insérait un très grand nombre de moyens géométriques (2i4}> comme on monterait alors de i à lo par ées degrés d'autant plus serrés que le nombre de ces moyens ^ «erait plus grand, il arriverait de deux choses Tune : ou que quelqu'un de ces moyens se trouverait être précisément le nombre : ou que du moins il s'en trouverait deux consécutifs , «ntre lesquels le nombre 3 serait compris, et dont chacun dif^ ^férerait d'autant moins de 3 , que le nombre des moyens insérés serait plus grand.
Cela posé , si l'on insérait pareillement entre o et i autant de moyens arithmétiques qu'on a inséré de moyens géométriques entre i et lo, chaque terme de la progression géomé- ^ trique ayant pour logarithme le terme correspondant de la progression arithmétique , on prendrait dans celle-ci pour loga*rithme de 3 , le nombre qui s'y trouverait à pareille place que 3 se trouve dans la progression géométrique ; ou si 3 n'était pas exactement quelqu'un des termes de celle-ci , on prendrait dans la progression arithmétique , le terme qui répondrait à celui de la progression géométrique , qui approche le plus du nombre 3.
C'est ainsi qu'on pourrait s'y prendre en effet, si l'on n'avait pas de moyens plus expéditifs. Quoi qu'il en soit, c'eat à cela que revient le calcul des logarithmes.
^21. Il faut donc se représenter qi^'ayant inséré looooooo moyens géométriques entre i et i o , pareil nombre entre i o et loo, pareil nombre entre loo et looo, etc. on a inséré aussi pareil nombre de moyens arithmétiques entre o et i , pareil
4 Sa COURS
ïiooibre entre i et a , pareil nombre entre a et 3 ; qU'âVâïit rangé tous les premiers sur une même ligne, et tous les seconds au-dessous , on a cherché dans la pr^nière le nombre le plus approcliantde 2^ et on a pris dans la suite inférieure le nombre correspondant; qu'on a cherché de même dans la première le nombre le plus approchant de 3, et qu*on a pris dans la suite inférieure , le nombre correspondant ; qu*on en a fait de même successivement) pour les nombres 4 > 5,6', etc. ; qu'enfiQ ayant transporté dans uue même colonne , comme on le voit dans la table ci-jointe , le«i*nombr«s 1 , a , 3 , 4 > ^ > ®^c. , on a écrit dans une'coloune à côté, les termes de la progression arithmétique^ qu'on a trouvés correspon^ans à ceux-là; ou du moins ceux qui en approchaient le plus ; alors on aura l'idée de la formation des logarithmes et de leur disposition dans les tables ordinaires.
Tahfe
DE MATHÉlvrATIQrESr. >53
dès Logarithmes des Nombres naturels depuis i>
j-usquà aoo.
JVqmb.
ïi
la
lî
Logar.
Inf. nég.
o,oooooo o,3oio3o 0,477131
',778 i5i ,845098 i,9o3ogo •,954343 ,000000 ,o4i3q3 ,079181 ,11^943 ,146138 ,176091
,3oio3o
,38o3ii
lia ** [3i
»®9897o| 'oi
/yomb.
Logar.
,y6oô3
,8l3Ql3l
,8335oQ
»o75ooi ,880814 ,886491 ,893095 ,897637 ,9o3oQo ,908485 ,9ï38i4
3,OOOOOcJ
a,oo43afl
JVomb,
Logar.
DTomb.
a,oo86.'K) a,oia837 1,017033 3,031189
3,o334ai
3,o569Ô5 3*060698 3,0644^8 3,068186 3,071883 3,0755^7 3,079181 3,083785 3,o8636o 3,oHqqo5 3)093|aa 3,096010 3> 10037 1 3»io38o4 3,107310 3)Iio5qo
3»1305 3,1338 3jI37l05
3,l43oi
3,ii6iaa 3,149319
Logar,.
3,i()8657 3,3Ôi397
3,a38oi6 3,340549 3,a43o38 3,3^55 1 3
3,3833oi
3,39»>65 3,;;^53 3,3oxo3o
i34 COURS
Les logarithmes renfermés dans cette table n*ont que six chiffresaprès la virgule ; ils en ont sept dans les tables ordinaires; mais cetta différence ne nuit en rien à l'usage que nous en ferons ei-après.
522. Rematquons au sujet de cette table, que le premier chiffre de la gauche de chaque logarithme s*app6lle Ja Carac^ téristiquey parce que c'est par ce chiffre qu'on peut juger dans qu'elle décade est compris le nombre auquel appartient ce logarithme ; par exemple, si un nombre a pour caractéristique 3, je sais qu'il appartient à des mille, parce que le logarithme de lOoo est 3, et que celui de loooG étant 4> tout nombre depuis looo jusqu'à loooo ne peut avoir pour logarithme que 3 et une fraction ; il a donc 3 pour caractéristique , et les autres chiffre» expriment cette fraction réduite en décimales.
JPropriéiés des Logarithmes.
223. Conîme il ne s'agit ici que des logarithmes tels qu'ils sont dans les tables ordinaires , les propriétés que nous allons exposer ne regardent que les progressions géométriques qui ont Tunîté pour premier terme, et les ptogresôions arithmétiques qui ont zéro pour [ remier terme.
Conipamns donc encore, terme à terme, une progression géométrique, quelconque , mais dont le premier terme soit Tunilé, ayec une progression au-ssi quelconque, mais dont le premier terme soit zéro ; par exemple, les deux progressions suivantes •
H 1 : 3 : 9 : 37 : 8i : a43 : 739 : 2187 : 656i, etc. ~ o . 4 • ^ > i^ * i^ ^ 3<^ * ^4 * ^ .. 3a , etc.
Il suit de la nature et de la correspondance parfaite de ces deux progressions , qu'autant de fois la raison de la première est facteur dans l*un quelconque des termes de cette progression > autant de fois la raison de la seconde est contenue dans le terme correspondant de cette seconde; par exemple, dans le ternie 2187, la raiôon 3 est sept fois facteur, et dans le terme 28 , la raison 4 est contenue sept fois.
£û effets selon ce qui a été dit (206 et 212), la raison est
DE MATHÉMATIQUES. i35
facteur dans un terme quelconque de la première , autant de foi* qu'il y a de termes avant celui-là ; et dans la seconde, un terme quelconque est composé d'autant de foi^ la raison qcr'il j a de termes avant lui. Or^ il y a le même nombre de termes de part et d'autre. •
Concluons de là , qu un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci , autant de fois que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s'agit.
5224* Donc, si l'on jnultiplie, l'un par t autre y deux termes de la progression géoniétrique , et si Von ajoute en même temps les deux termes correspondans de la progression arithmétique ^ le produit et la somme seront deux termes qui se correspond dront dans ces progressions.
Car il edt évident que la raison sera facteur dans le produit, autant qu!elle l'est, tant dans l'un des termes multipliés que dans l'autre ; et que la raison de la progression arithmétique sera contenue dans la somme , autant qu elle l'est , tant dans l'un des termes ajoutés que dans l'autre.
225. Donc on peut, par l'addition seule. des deux termes de la progression arithmétique^ connaître le produit des deux termes correspondans de la progression géométrique , en supposant ces deux progressions prolongées sufGsamment.
Par exemple, en ajoutant les, deux termes 8 et a4, ^î ^^"^ pondent à 9 et à 729 , j'ai 52 qui répond à 656 1^ d'où je conclus que le produit de 729 par 9 est 656 1 ; ce qui. est en effet-
226. Donc, puiâique les nombres naturels qui composent la première colonne de la table ci^dessus, ont été tirés, d'une progression géométrique qui commence par l'unité, et çu^sque leurs log^ritbipe^ ;$oiit'les termes «orrespondaçs d'une progression arithniétique qui commence par zéro , il faut en conclure quen ajoutant ks logarithmes des ^ deux nombres , on a le logarithme de leur produit ^- : . . . ^
De là il est aisé de conclure les usagçs suiyans.
i36 COURS
Usage des Logarithmes,
sa/. Pour faire une multiplication par logarithmes ^ il faut ajouter le logarithme du multiplicande au logarithme du muU tiplicateur; la somme sera le logarithme du produit ; cest pour'» quoi, cherchant cette somme parmi les logarithmes des tables, on trouvera le produit à coté; par exemple > si Ton propose de multiplier 1 4 p^r 1 3.
. Je trouve dans la petite table ci-^dessus que le logarîthmede i^
e( que celai de i3 est <.<.•« 1,1 13943
La somme, ,,«•«.*,.«, 9,960071
r^^pond dans la même table au nombre 18a qui est en elTet U .produit.
228. Pour carrer un nombre , il suiEt donc de doubler soa logaritbme , puisqu'il faudrait ajouter ce logarithme à lui-mêmej, pour multiplier le nombre par lui-même,
s 29, Par une raison semblable , pour cuber un nombre, il faudra tripler son logarithme -, et en génçral , pour élever un nombre à une puissance quelconque, il faudra prendre son logarithme autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque Cette puissance^ c'est-à-dire j, multiplier son logar nthme par le nombre qui marque cette puissance; par exemple^ pour élever nn nombre à la' septième puissance f il faudra muU tiplier par 7 le logarithme de ce nombre,
aSo. Donc réciproquement, pour extraire la racine carrée ^ cubique, quatrième, etc. d'un nombre proposé, il faudra divi-« ser le logarithme de ce nombre par a, 3, 4> ©^Cm c'est-à-<Hre, en général, par le nombre qui marque le degré delà racines qu*on ve«t extraire. ^
Par exemple , si l'on demande la racine carrée de i44f^y^^^ trouvé , dans la table , qu^ le logarithme de ce nombre esif a, 1 5836a, j'en prends la moitié 1,079181; )e cherche parmi les logarithmes, à quel endroit se trouve 1,079181 ; il répond à 1 a , qui e$t par conséquent la racine carrée de 1 44«
DE MATHÉMATIQUES. i"7
Sî Ton demande la racine septième de laS, fe cherche dans la table, son logarithme que je trouve être 12,107210; fen prends le septième , on je le divisç par 7, et je cherche à quoi répond dans la table le quotient o,3oio3o^ il répond à a qui est en effet la racine septième de 128.
e3i . Pour trouver le quotient dt la dwision ttun nombre par un autre ^ il faut retrancher le logarithme du diviseur^ du to^ garithme du dividende ; chercher dans la table à quel nombrerépond le logarithme restant , ce nombre sera le quotient
Par exemple , si l'on veut diviser 187 par 17, je cherche danft l^ table les logarithmes de ces dçfl^ç nombres, et jie trouve
Le logaritltme de 187 ^ < 1 ^ ^ '2i,^']iBi%
Celui de 17.. .,.....,...., .^. . T,33o44^
La diffbVence, ..,,.,..,.,..,,, i,o^i3^
repond , dans la table, à ! 1 quî est en effet te quotient.
Si la division ne pouvait pas être faite exactement, le loga-» rithme restant ne se trouverait qu'en partie dans la table; mais BOUS allops enseigner, ci-après , ce qu'il faut faire dans ce cas,
La raison de cette règle e$t fondée sur ce que le quotient multiplié par le diviseur, devant reproduire le dividende (74) , le logarithme du quotiesnt , ajouté (227) au logarithme du diviseur, doit composer le logarithme du dividende; et par conséquent j le logarithme du qq otient' vaut le logarithme du dividende , moins celui du diviseur,
ftSs, D*'après ce que nous venons de dire, il est très facile de voir que pour faire une règle de Trois par logarithmes , il faut aî<^ufer le logarithme du second terme au logarithme du troisième, et de la somme retrancher 1^ logarithme du premier.
233. Remarquons que lorsqu'on cherche dans les tables or-^ jjlnaires, qn logarithme résultant de quelques opérations swr datitres logarithmes , sî Ton ne trouve de différence entre le dernier chiffre de ce logarithme et celui de la table, que sur le dernier chiffre seulement, on doit regarder cette différence comme nq)le, parce que les logarithmes dé tous les nombres
i38 COURS
intermédiaires à la progression décuple, ne sont qu'approciiÀ à environ une démi-unité décimale du septième ordre près.
Des Nombres dont les logarithmes ne se trompent
point dans les Tables.
234' 1^63 fractions et les nombres entiers joints à des fractions, n'ont pas leurs logarithmes dans les tables ', il en est de même des racines Carrées , cubiques, etc. des nombres qui ne sont pas des puissances parfaites du degré de ces racines.
Si Ton demande le logarithme d'un nombre entier joint à une fraction, il faut d'abord réduire le tout en fraction (8G), et ensuite rietrancher le logarithme du dénominateur, du logarithme
du numérateur. Par exemple, pour avoir le logarithme de 8 — ,
je cherche celui de —, que je trouve en retranchant i,o4i393,
logarithme de ii, de 1,959041 logarithme de 91; le reste
3 5 Qi , •
0,917648 est le logarithme de 8 — , puisque 8 — ou —, n'est
autre chose que 91 divisé par 11 (96).
233. La même raison prouve que pour avoir le logarithme d'une fraction , il faut retrancher pareillement le logarithme du dénominateuri du logarithme du numérateur ; mais comme cette soustraction ne peut se faire, puisque le logarithme du dénominateur sera plus grand que celui du numérateur, on retranchera au contraire le logarithme du numérateur de celui du dénominateur; le reste, qui marquera ce dont il -s'en faut que la soustraction n*ait pu se faire , sera le logarithme de la fraction , en appliquant à ce reste un signe qui marque que la soustraction n'a pas été entièrement faite. Ce signe est celui-ci
-— , qu'on énonce moins. Ainsi le logarithme de là fraction —
serait — 0,917648 (*).
(^) Les nombres précédcfs dn signe ^ se nommejlt nombres négatifs. If ous
235. Ce signe est destiné à rappeler dans le calcul , que les logarithmes des fractions doivent être employés selon une règle tout opposée à celle que nous avons prescrite pour les logarithmes des nombres entiers , ou des nombres entiers joints à des fractions ; c'est-à-dire , que si l'on a à multiplier par une fraction, il faut retrancher le logarithme de cette fraction; si, au contraire , l'on a à diviser par une fraction , il faut ajouter son logarithme.
La raison en est , pour la multiplication, que multiplier par une fraction , revient à riiultiplier par le numérateur, et à diviser ensuite par le dénominateur : donc , lorsqu'on opère par logarithmes, on doit ajouter le logarithme du numérateur, et retrancher ensuite celui du dénoTuinateur, ou, ce qui revient au même, on doit seulement retrancher l'ekcès du logarithme du dénominateur sur le logarithme du numérateur : or, cet excès est précisément le logarithme de la fraction. A l'égard de la division, la raiiion en est aussi facile à saisir; en efFet, diviser
par 7, par exemple, revient (109) à multiplier par ç; donc,
en opérant par logarithmes , il faut ajouter le logarithme de 7^,
c'est-à-dire (aS^) la différence du logarithme de 4 > ^u logarithme de 3 , ou du logarithme du dénominateur ds la fraction proposée, au logarithme de son numérateur.
,237. Il peut arriver, et il arrive assez souvent, qu'en convertissant en une seule fraction , l'entier et la fraction dont on cherche le logarithme, il peut arriver, dis- je, que le numérateur soit un noipbre qui passe les limites des tables* Par exemple^
8ai si l'on demandé le logarithme de 53 = — 7, ce nombre réduit
en fraction , revient à -= — y , dont le numérateur passe les limites des tables les plus étendues.
les ferons connattre pins particulièrement dans PAlgèbre ; en attendant noua prévenons que c'est en prendre une idée fausse , que de les regarder comme des nombres au-dessous de zc'ro. Il n'y a rien au-dessous de zcfro.
Mo COURS
Il est donc à. propos de savoir comment oa peut iKouver teîogarithme d'un nombre qui passe ces limites.
La, méthode que noua allons dpnner, n'est pas rigoureuse ; niais elle Cit plus, quç suffisante pour, les usages ordinaires., ^-v^kut qi?.c de Texposeir, observons :.
23J3^ i**. Qu*ea ajoutaut i, 2, 3., etc. , unités à U- caractéria* %ique du logarithme d'un nombre , on multiplie ce nombre pac j.o , 100 , 1000 ,.. etc. ,. pukique c*e».t ajouter le- logarithme d(2 10^ ou d,e, iQO ^ ou de 1 00.0 > ek;. (a 1.9 et aajr).
a**. Au contraire, si l'on retrajrjche r, a, 3, etc. unkésdelai f aractéçlstique d'un Ipgaritlunp , c'est divifjer le nombre oorrjesr pondant pair iq, iqq., joqo , etc,
259. Cela posé , qu'il soit question de trouver- le loganthm» de 357869., par exemple^
Je s4j)arerai , par une vitgute , sur la droite die ce nombre,, autant de chiffres qu'il est nécessaire pour que le res4« puisse se trouver dans, les tabless (*).. Ici, par ei^emple^ j'en séparerai deux , ce (C[ui me donnera 3578,69 , qui (28) est cen^t fois plus petit que le nombre proposé 357859.
Je cherche dans les tables te logarithme de 3578 ^ que je trouve être 3, 553^4^3 ; je prends en même tçmps à côté de ce ïogarfthrae (**) , la différence 1 214 ». entre, ce même logarithme et celui de 3679, ^P^^^ H^^^ î® f^^ cette règ:e de Tfois : si* pour 1 , unité de différence entre les deux nombres 3.B79 et 5578,
On a idi4 <ï& différence entre leurs logarithmes;
Combien pour 0,69 ^ différence entre les deux nombres 3078,59 et 3578^
Aura-*t-on de différence entre leups logarithmes ? c*est-à-<dir»
{*) Nonii^supposons ici qae Ton ail entre les mains des Tables ordimiires d<^ loraciihmes qni aillent jusqu'à aoooo, ou au moins jusqu'^à loooo. Celles d^ iM>. Kivard et celles de feu M. Tabbe' de La Caille sont exactes et commodes.
{**) Cfis. diffi^rcQ.cef se trotivent dam. liss^ Tables, Jtcâxc des logarlthaije% li!<;mes^.
Ï)E MATHÉMATIQUES. i4i
^iê je cherche le quatrième terme d*ujie proportion dont ]e> trois premiers sont :
Ce quatrième terme est 716,26, ou simplement 716, en tiégligeant les décimales. J'ajoute donc' 716 au logarithme 3,5536493 de 3578, et j'ai 3,6537119 pour logarithme de 3578,69; il ne s'agit plus , pour avoir celui de 367859 > que d'ajouter deux unités à la caractéristique du logarithme qu'on vient de trouver; et on aura 5,5537 u 9 P^*''' J® logarithme cherché 9 puisque 367869 est ico fois plus grand que 3578,69.
Si les chiffres qu'on doit séparer sur la droite étaient tous des zéros , après avoir trouvé , dans les Tables > le logarithme delà partie qui 'reste à gauche , il n'y aurait autre chose à faire qu'à ajouter autant d*unilés à la caractéristique » qu'on aurait séparé de zéros*
240. S'il s'agit du logarithme d^un nombre accompagné de décimales , on cherchera ce logarithme , comme si le nombre proposé n^avait point de virgule^ et après l'avoir trouvé, soit immédiatement dans lej tables , soit par la méthode qu'on vient de donner (339), on ôtera autant d^unités à la caractéristique ^ qu'il y a de décimales dans le nombre proposé^ parce qu'ayant considéré le nombre comme s* il n'y avait point de virgule, c'est-à-dire, comme lo, ou 100, ou 1000, e(c. fois plus grand qii'il n'est , on doit le rappeler à sa valeur par une diminution convenable 8ur la caractéristique de son logarithme (338).
2241 . Enfin , s'il n'y a que des décimales dans le nombre pro^t posé , on cherchera encore ce nombre dans les tables , comme «'il n'y avait pas de virgule ; et ayant pris le logarithme correspondant > on le retranchera d'autant d'unités qu'il y a de décimales dans ce même nombre , et on fera précéder le reste du signe — ; par exemple, pour avoir le logarithme deo,o3, je cherche celui de 3 qui est 0,477121; je le retranche de deux
unités^ et appliquant au reste le signe —, j'ai — 1,622879 pour
logarithme de o,o3. En effet, o,o3 n'est autre chose que ,
ï4a COURS
rr, pour avoir le logarithme de , il faut (235) retrancher le
logarithme de 3, de celui de loo, et appliquer au reste le signe — .
Des Logarithmes dont les nombres ne se trouvent
point dans tes Tables.
243* Cette recherche n'est pas moins nécessaire que la précodent e. Par exemple , pour la division , il arrive rarement que le quotient soit un nombre entier. Or, si Ton fait l'opération par logarithmes , on ne trouvera dans les tables le logarithme restant, que quand le quotient sera un nombre entier. Il y a une infinité d'autres cas de la même espèce.
243. Proposons-nous d'abord de trouver à quel nombre répond un logarithme proposé , soit qu'il excède les limites de« tables , soit qu'il tombe entre les logarithmes des tables.
On retranchera de la caractéristique autant d'unités qu'il sera nécessaire , pour qu'on puisse trouver, dans les tables , les premiers chiffres du logarithme proposé , ainsi préparé. Si tous le» chiffres se trouvent alors dans les tables, le nombre cherché sera le nombre même qu'on trouve à côté dans les tables , mais en mettant à sa suite autant de zéros qu'on aura ôfé d'unités à la caracti^ristique (238).
Par exemple, le logarithme 7,2273467 se trouve (après avoir ôté trois unités à la caractéristique) , répondre au nombre 16879 j j'en conclus que le logarithme proposé 7,2273467, répond à 16879000.
Si l'on ne trouve dans les tables que les premiers chiffres du logarithme , on se conduira comme dans l'e^xemple qui suit.
Pour trouver à quel nombre appartient le logarithme 5,2432768, j'ôte deux unités à la caractéristique ; le logarithme 3,2432768 que j'ai alors, tombe entre les logarithmes de 1760 et 1751 : le noiEibre auquel il répond est donc 1760 et une fraction.
Afin d'avoir cette fraction, je retranche de mon logarithme
DE MATHÉMATIQUES. i43
3,2432768, le logarithme de 1750, et j'ai pour différence ^aa88.
Je prends aussi dans les tables, les différences 3481 entre les •
logarithmes de 1761 et 1760 , après quoi je fais cette règle de
Trois :
Si 2481 de différence entre les logarithmes de 1761 et i75o,
Répondent à 1, unité de différence entre ces nombres ,
A quelle différence de nombres doit répondre la différence
aa88 entre mon logarithme et celui de 17B0?
53288 ..11 .1 Je trouve pour quatrième terme —^ ; ainsi le logarithme
3,34^2768 appartient au nombre 1750 -^ , à très peu de chose
près; par conséquent, le logarithme proposé qui appartient à un nombre 100 fois plus grand (a 38), a pour nombre correspondant 176000 — -Tg — -, c'est-à-dire 17509a ——- ou en réduisant en décimales, il a pour nombre correspondant 175093^22.
244* Si 1^ logarithme proposé tombait entre ceux des tables , il n*y aurait aucune unité à retrancher à la caractéristique , et par conséquent point de zéros à ajouter à la fin de l'opération, qu'on ferait d'ailleurs de la même manière.
345. Mais comme la proportion que nous employons dan« I cette méthode n'est pas rigoureusement exacte (*), et qu'elle ' n'approche de la vérité qu'autant que les nombres cherchés «ont grands *, si le logarithme proposé tombait au-dessous de celui de i5oo , il faudrait, pour plus d'exactitude , ajouter à sa caractéristique autant d'unités qu'on pourrait le faire sans passer les bornes des tables ; et ayant trouvé le nombre qui approche le plus d'y répondre dans ces tables , on en sépare^
(*) Cette proportion suppose qae les difiîéreiices des logaiithmes sont proportionn<îl]es aux différences des nombres, ce qui n'est jamais exactement Trai, mais approche assez, quand les nombres sont un peu grands, et cela ' juffit pour les usages ordinaires.
lU COURS
rait sur la droite autant de cbiSreB par une Virgule qu*ôn àii-> rait ajouté d'unités à la caractéristique, ce qui sufiira.le plus . souvent ; mais si Ton veut avoir plus de décimales y on fera la. proportion comme ci-dessus (243), et rédui$ai\t le quatrième terme en décimales , on mettra celles-ci à la suite de celles qu'on a déjà trouvées.
Par exemple , si l'on demande à quel nombre appartient le logarithme 0,5433726; comme ce logarithme tombe entre ceux de 3 et de 4 * ^t que le nombre auquel il appartient est par conséquent beaucoup au-dessous de i5oo, je cherche ce logarithme avec trois unités de plus à sa caractéristique ; c'està-dire , que je cherche 3,543a7fl5; je trouve qu'il tombe entre les logarithmes de 34d^ ^^ 3494 > ^*^^ j^ conclus qtie le nombi'e cherché est 3,4^3 , à moins d'un millième près. Mais si cette approximation ne suffit pas , je prendrai la différence entre mon logarithme et celui de 3493 , c'est-à-dire, 739 ; je prendrai pareillement la différence 1243 entre les logarithmes de 3494 et 3493 , et je chercherai, en raisonnant comme ci-dessus (243) > le quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces trois-ci :
Ce quatrième terme évalué en décimales est 0,694; donc le nombre cherché est 3^49^^94*
Au reste , cette seconde approximation est bornée , parce que les logarithmes des tables n'étant exacts qu'à environ une demi-unité décimale du septième ordre près, les différences sont affectées de ce léger défaut; mais on peut toujours pousser l'approximation avec confiance jusqu'à trois décimales : au surplus il est rare qu'on ait besoin d'aller jusque-là; mais la remarque que nous faisons doit diriger aussi dans l'usage que nous avons fait ci-dessus (239 et 243) de la même proportion.
