REMARQUE

Lorsque dans une opération où l'on fait usage des logarithmes', il s'en trouve quelques-uns que l'on doit retrancher, on peut simplifier l'opération par l'observation suivante.

Lorsqu'on a à retrancher un nombre quelconque d'un autre qui est l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a' de chiffres dans le premier, l'opération se réduit à écrire la différence entre g et chacun des chiffres au nombre proposé, à l'exception du dernier, pour l^uel on écrit la différence entre lo-et ce chiffre. Par exemple , si j'ai 636937 à retranc}ier de loooooo , je retranche successivement les chiffres 6,3,6,9,3^ de 9; et la dernier chiffre 7, je le retranche de 10, et j'ai 473o73 pour reste.

Ce reste est ce qu'on appelle le complément arithmétique du nombre proposé.

La soustraction faite de cette manière, étant trop simple

ï48 COURS

pour pouToir être comptée pour une opération il s^ensuit qtH* lorsqu on aura à former un résultat de Taddition et de la sousr* traction de plusieurs nombres , on pourra toujours réduire Topé^ ration à l'addition. Par exemple , s'il s'agissait d'ajouter les deux nombres 670756,4064^2 et de retrancher de leur somme les depx nombres 433752,18675, ce qui exige deux additions et une sqiustractionj je substitue à ces opér^t^ons 1^ suivante,

Coinplemcnt arithm^t. de 433753. . . 56734S, Complément arithxntt. de 18676. . . gSiSsS

Somme. •(^647761

C'est-à-dire , que j'ajoute ensemble les deux premiers nombreai proposés , et les complémens arithmétiques des deux derniers \ 'la somme est 3647761. U faut en supprimer le premier chiffre & ; et les chiffres restans 6477^^ *^^^ ^^ résultat cherché.

La raison de cette opération est facile à sentir, en remarquant que si, au lieu de retrancher j^ajBz^ comme on le proposait;^ j'ajoute son complément arithmétique, c'est-à-dire ioqoooq moins 4^9452 y fe fais en^méme temps la soustraction ppoposée , fit une augmenteition de lopooop, c'est-à-dire d'uxie dixaine av^ premier chiffre du résultat; donc pour chaque complément lurithmétique que j'ai introduit, j'aurai une dixs^ine de trop à l'égard du preinier chiffre du ré&filt^.

L'application de ceci aux lo^arit^i^es est évidente.

Qu'il soit question , par exemple , de diviser 3760 , par 7^. 21 faudrait retrancher le logarithme 7g , de celui de 3760. An lieu de cette opération > j'écris ^

l^pg. 3^60.. .f.t... ,.>...,.... ^.. 3,575188 'y

Çomplcmenl arith. de log. de 79^ . . . 8, io3373i ' Compte , *..,... jl'i,67756î

Ainsi 1,677561 est le logarithme du quotient ^ et répon^ 4 ^7^ 5g à moifts d'uTi centième près..

Supposons > pour second exemple , qu'il soit question de muU

tiplier -^ — par = — -, il faudrait (loG) multiplier 676, par gSs ,

et 537 , par 377 ; puis diviser le premier produit par le second. Par logarithmes , on opérera ainsi

Log. 675, .,,...., , 9,8ag3o4

Log. gèa a,978637

Complémeot ailthmét. du log. de 537. 7,^78189

Complémenc arithm^t. da log. de 377* 'j,42365g

]Le logarithme du produit ^st donc 0,50978g 1 qui , cherché avec trois unités de plus à la caractéristique ^ répond à 5,054'

On peut faire usage du complément arithmétique pour mettre les logarithmes des fractions sous la même forme que ceux des nombres entiers^ , et les employer de même dans le calcul ; par là on évitera la distinction des logarithmes négatifs et des logarithmes positifs. Il suffira de se souvenir que la caractéris-» tique du logarithme des fractions ^ proprement dites ^ est trop forte de 10 unités.

Par exemple > pour avoir le logarithme de 7 qui n*est (96)

fiutre chose que 3 divisé par 4 > au lieu de retrancher le loga« ritbme de 4 de celui de 3 , c'est-à-dire , de retrancher le logapthm^ de S de celui de 4> 6t de donner au reste le signe.— ^ (a35); au logarithme de 3^ j'ajoute le complément arithmétique, du logarithme de 4 ;

Log< 3 , %^<^']i%i

Complément arithmel. da log. 4* • • 9)^97940

Spmoie.. 9,875061

Cette somme est le logarithme de -z, dont la caractériëtique

e«t trop forte de 10 unités. Or, il nest pas nécessaire de faire

actuellement la diminution; on peut la rejeter à la fin des opé-

rations d^ns lesquelles on emploiera^ ce logarithme. La inême.

r?gle s'applique ^uz fractions décimales; ainsi ^ pojir avoir le

i5o COURS

logarithme de 0,576 , qui n'est autre chose que -^-^ , au loga-

rithme de 676 , j'ajouterais le complément arithmétique du logarithme de loco. En employant ainsi les complémens arithmétiques , au lieu des logarithmes négatifs des fractions, il n'en est pas plus difficile de trouver , dans les tables , les valeurs , ea décimales, de ces mêmes fractions. Dès que je saurai qu'un logarithme proposé est ou renferme un ou plusieurs complémens arithmétiques , je sais que sa caractéristique est trop forted'autant de dixaines qu'il y entre de complémens arithmétiques» ainsi, si elle passe ce nombre de dixaines, il sera facile de la diminuer et de trouver le nombre auquel appartient ce logarithme , et qui sera un nombre entier , ou un nombre entier joint à une fraction. Mais si la caractéristique est au-dessous du nombre de dixaines qu'elle est censée renfermer de trop, elle appartient certainement à une fraction que je trouverai de cette manière : je chercherai, par ce qui a été dit, à quel nombre répond le logarithme proposé ; et lorsque je l'aurai trouvé, j'en séparerai , par une virgule , autant de dixaines de chiffres sur la droite, qu'il y aura de dixaines de trop dans la caractéristique. Par exemple , si l'on me donnait 8,732a35 pour logaritl?me résultant d'une opération dans laquelle il est entré un complément arithmétique^ je vois, puisque sa caractéristique est au-dessous d'une dîxaine, qu'il appartient à une fraction. Je cherche d'abord (24a) à quel nombre répond 8,702235 , considéré comme logarithme de nombre entier*, je trouve qu'il répond à 539802500 ; séparant 10 chiffres, j'ai o,o5398o25oo pour valeur très approchée de la fraction qui répond au logarithme proposé.

Mais comme il est très rarement nécessaire d'avoir ces fractions à un tel degré de précision , on abrégera en diminuant tout de suite la caractéristique du logarithme proposé , autant qu'il est nécessaire pour la faire tomber parmi celles des tables , et prenant seulement le nombre correspondant^ on séparera autant de chiffres de moins que ne le prescrit la règle précédente, autant de moins, dis-je, qu'on aura ôté d'unités à la caracté-

■^^•-4^***V>«^*MBBi^^N'^

ftË MATHÉMATIQUES. i5i

Yi3tîqilfe. Ainsi, dans le cas présent, je diminuerais la caractéristique de 5 unités , et ayant trouvé que le nombre correspondant est 53g8 , j'en séparerais seulement 5 chiffres , et j'aurais 0,05398.

Dans les élévations aux puissances , il faudra observer qu'ea multipliant (229) le logarithme par le nonlbre qui marque le degré de la puissance , il se trouvera qu'on multipliera aussi ce dont la caractéristique se trouvera être trop forte. Ainsi , en élevant au cube , par exemple , s'il entre un complément arithmétique dans le logarithme proposé j c'est-à-dire , si la caractéristique est trop forte de 10 unités, celle du logarithme du cube sera trop forte de 3o unités , et ainsi des autres. Il sera donc facile de la ramener à sa juste valeur.

Dans les extractions des racines , pour éviter toute méprise , lorsqu'il entrera des^ complémens arithmétiques dans les loga-^ rithmes dont on fera usage , on aura soin d'ajouter ou d'ôter à la caractéristique autant de dixaines qu'il est nécessaire pour que ce dont elle sera trop forte, soit précisément d'autant de dixainesr qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de la racine ; et ayant , conformément à la règle ordinaire , divisé par le nombre qui marque le degré de la racine, la caractéristique sera trop forte , précisément de 10 unités. Par exemple, si l'on

3*70 demande la racine cubique de ^^ , au logarithme de 276 ,

j'ajoute le complément arithmétique de celui de 547-

Log. 276 a,44ogo9

Complément arithmét. du log. de 547* 7,ti6Qoi3

Somme 9,7oa9a'i

âi la caractc'ristique de laquelle j'ajoute, ao

aEn qu'elle devienne trop forte de 3 dixaines , et j'ai 29,702^1212 dont le tiers 9,900974 est le logarithme de ia racine cubique demandée, mais avec dix unités de trop à la caractéristique ,

^ÊtmmmmÉmmm^ t'' 1% ' I JtiH ^»»4aDi—^MpM

i5a COURS DE MATHÉMiTIQUES.

conformément à ce qui a été observé cî-dessua , je trouve cette racine cubique est 0^7961 à moins d im millième près.

L'usage des complémena arithmétiques est principalement utile dans les calculs de la Trigonométrie ^ et par conséquent dans plusieurs des opérations du Pilotage que Ton yeut faire ayecî Une certaine exactitude.

FIN DE L*ARITHftÉTIC^UE DE UHt^Vt,

rgf lari't i (

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