PREMIÈRE Partie. iS
ï^nContre dé la ligné horizontale et de là ligne Verticale , dont chacune commence par lun dea deux facteurs. Ainsi, le produit 48 , de 6 par 8 ^ est à la rencontre des deux lignes , dont Tune commence par G et l'autre par 8.
Je désignerai sotos lé nom de multiples d*ûn nombi-e, ses dî- Ters produits par 1 , â , 3 , 4 > 5 , etc. Ainsi , un noinbre ifépété plusieurs fois , donne un produit qui est multiple de ce nombre. Un produit est donc multiple de chacun de ses facteurs. Par' exemple^ 3 fois 5, ou 1 5, est multiple de 3 et de 5.
19. On remarque dans là tîable de mi^iplication, que leproduii de deux nombres d'un seul chiffre reste le même dans quelque ttrdre qu*on effectue la multiplication. L'analogie porte à croire^que la même propriété subsiste pour tous les nombr#^ mais comme i\ est important d'accoutumer aux démonstration^* rigoureuses , nous allons prouver directement, que dans quelque ordre qu on effectue la multiplication de deux nombres y leur produit doit rester le même. La nécessité de démontter ce principe est mise en évidence , quand on efFeciiie la multiplication à l'aide de l'addition. Prenons, par exemple, le produit des nombres 3 et 2 ; il s'agit de faire voir que 3 plus 3 ; ou â fois 3 , doit être égal à 2 plus 2 plus 2 , ou à 3 fois 2. Pour y parvenir^ •n forme le tableau suivant :
La somme des unités contenues dans ce tableau , peut être considérée comme formée : ou de 2 rangées horizontales de 3 unités chacune , c'est-à-dire de 3 pris 2 fois ; ou de 3 colonnes verticales de 2 unités chacune , c'est-à-dire de 2., pria 5 fois ; 3 pris 2 fois , doit donc donner la même somme d'unités , et par conséquent le même nombre , que 2 pris 3 fois ; le produit de 3 par 2 , doit donc être le môme que celui de 2 par 3 ; le produit des deux nombres 2 et 3 , ne doit donc pas changer dans quelqu' ordre qu'on effectue la multiplication.
20. Si l'on refléchit sur la nature de cette démonstration , on sentira que les rai^onnemens sur lesquels elle repose , sont
îndépèndans des nombres {Particuliers $ et â> ^e Ton vlsl côn* «idérés que pour fixer les idées^ et que par conséquent la même propriété *dpit subsister pour tous les nombres. £n effet ; nouâi avons prouvé que le produit de $ par a, devait être le même que celui de a pat 3 , et ôela sans déterminer le nombre des unités contenues dans chacun de ces produits ; la démonstrà" iion est donc indépendante de la valeur numérique du résultat; elle est donc générale*
21 . Ainsi , dans quelqu ordre qu on effectue la multiplication de deux nombres , leur produit doit rester le même*
22. Le produit de deux nombres quelconques ne dépend que des produits deux à deux des notnbres d^Un seul chiffre. Poui^
les idées , proposons -nous de multiplier 847 , par 256 \ *és avoir disposé le calcul de la manière suivante :
847 multiplicande.
a56 multiplicateur^
5 08a !«*■ produit partiel, de 847 par 6.
4a 35o a* produit partiel ^ de 847 par 5o.
169 4®*^ ^® produit partielf.de 847 P^'' ^**^
a 16 83a somme des produits partiels, ou produit total âe 847 par ^156^
on observera que multiplier 847 par 256 , fc*est prendre le multiplicande 266 fois, ou 200 fois , plus 5o fois , plus 6 fois ; ce qui revient à multiplier successivement 847 , pat les parties 200 , 5o et 6 , du multiplicateur \ la somme de ces produits partiels sera le produit total de 847 par 256. Voyons donc comment on peut former ces trois produits partiels; Tordre est indifférent, mais on commence ordinairement par les unités du multipticateur. i\ Pour obtenir le produit de 847 par 6 , on poiùrrait écrire 847 , 6 fois ; la somme 6082 , serait le produit demandé ; mais comme cette addition revient à pr^dre , 6 fois les 7 unités, 6 fois les 4 dixaines et 6 fois les 8 centaines, du multiplicande 847 , on peut se dispenser d'écrire 6 fois 847 et dire : 6 fois 7 font 4^, je pose 2 et je retiens 4 dixainft^ 6 fois 4 dixain,es donnent 24 dixaines et 4 de retenue , valent 28 dixaines, ou 2 centaines et 8 dixaines ; j'écris donc les 8 dixaines , et
*REMIÈRt partie; iS
Rajoute les 22 centaiines de retenue à 6 fois 8 centaines ; ce qui ïne donne 5o centaines , que je pose; a® le produit de 847 par Se, est composé de 5o fois. 847, ou de 847 fois 5o (n® ai),, ou de 847 fois 5 dixaines ; mais les unités du produit sont d» la nature des unités du multiplicande (n° 17. a®); les unités du produit^ 847 fois 5 dixainei ; seront donc des unités de dixaines , et leur nombre sera 847 foi» 5 , ou 5 fois 847- Cela démontre que pour multiplier 847 par 5o, il suffit de multiplier 847 par 5 et de poser le produit 4^35 au rang des dixaines , ce qui revient à placer le premier chiffre 5 de ce produit , sous le chiffre du multiplicateur qui a donné ce produit partiel. 3**. On prouverait de la même manière, que multiplier 847 par aoo, se réduit à multiplier 847 par a et à mettre le produit 1694 > ^^ T^^^ë ^^s centaines. La somme des trois pro^ duits partiels , ainsi obtenus , compose le produit total ai 6 83a. On voit donc que fom multiplier 847 par a5S , il suffit de multiplier successivement 847 P^^ chacun des chiffres 6^ 5, a^ du multiplicateur-^ considérés comme des unités simpleè et de pla- •cer le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre qui a servi de multiplicateur. Ainsi :
a3. En général : Pour multiplier un nombre par un autre ; écrivez le multiplicateur sous le multiplicande et mettez un irait sous ces deux nombres , pour les séparer des produits par-tiels ; multipliez le multiplicande successivement par chaque chiffre significatif du multiplicateur , eh plaçant le premier chiffre de chaque produit partiel^ sous le chiffre qui a servi de multiplicateur; mettez un, trait sous les produits partiels ; leur somme , que vous poserez dessous , sera le produit total. L'application de cette règle, conduit aux résultats suivans
Multiplicande, ...... 3o» 78 4^7 800 400 988 999
^ Multiplicateur, 78 3o3 909
Produit 9t3 55(i I 2i 556 4a5 93o 564 499 000 091
a4« Pour former U produit de plusieurs rionibres , il suffit rfe multiplier le premier nombre par le second; on multiplie ensuite le produit des deux premiers nombres par le troisième , «^ ainsi de suite , jusquà P entier épuisement des facteurs. Le dernier de ces produits est le produit demandé, -Ainsi y pour obtenir le produit 3o, des trois nombres a , 3 , 5 , on multi^ pliera 2 par 3 ; le résultat 6 , multiplié par 5 ; donnera 3o.
** 35. /«e produit d'un nombre quelconque de facteurs ne change pas dans quelqu'ordre qu'on effectue Its multiplications. En effet ^ considérons le produit des nombres a , 3, 4? ^^ produit ne change pas quand on change Tordre des deux premiers facteurs, car les produits a. 3, 3. 2 {*) étant ëgaux, si on les multiplie par 4» les résultats 2.3x4)3.3x47 seront égaux. Il suffit donc de prouver qu'on peut changer Tordre des d<îux dér- .oiers facteurs. Cela n'offre aucune difficulté , car on a
ax3=3+a-f-a5 d'où ax3x4=ax4+ax4+ax4=a«4>^3=ax4x3i
(*) Quand nous supposerons ^ae le produit de plosAurs facteurs sera éfiec' tué, nous placerons des points entre ces facteurs , et lorsque Hous vondroas indiquer qu^ lies multiplications ne seront pas effectuées , nons séparerons les facteurs par le signe x. Ainsi, a. 5, représentera le nombre 10 , tandi| que a X 5 indiquera un produit non effectué. L'expression 3 x 5.a , indiquerarle produit non effectué de 3 par 10, et a x 3 x 5 marquera que le produit des facteurs a , 3, 5, n'est pas formé j pour obtenir ce produit, dans l'ordre indiqué , on multiplierait d'abord a par 3 , ce qui donnerait a.3 , ou6j le résultat multiplié par 5 , donnerait a.3 x 5 ou 6x5, ou 3o, pour le produit demandé. Les expressions ax3x5etax5x3, indiquent des opérations essentiellement différentes , car la première représente 6 x 5 et la seconde 10 x 3j les résultats de ces deux dernières opérations seraient égaux j mais comme on les obtient par des calculs essentiellement diffé- Tcns , il est nécessaire de prouver cette égalité par le raisonnement. Le véritable sens de ces expressions mérite toute l'attention des élèves; plusieurs auteurs ont donné des démonstrations fausses du principe du n^ a5, en confondant des expressions qui n'étaient semblables qu'en apparence. Enfin , pour abréger, nous fei^ns usage des signes
qui signifient respectivement ,
plus, moins, égal, plus grand que.
Ainsi, a-f-3=7 — a, exprimera qoe a plus 3 est égalk 7 moins a, e» 5 > 3 indiquera que 5 est plus grand que 3.
Le lil'odiHt de trois lioiQJbteâ iie changeant p^s cj^ahd oxi changé l'ordre Aes deux premisn faictenrà ou oekii des éevài demiets, on a
»x3x4s=lx4x3âiË4xix3=:4x3xa==3x4>ca=3xax4
hé priitdpe eèt ^oïlc démohtr^ pour trois facteurs. On en déduit cpie ie produit de qtiatré nombres ne changé pas dans ^eï^ t^u'ordce* ^'on e&ctne la muhtpiication. Eu effet ; on à
;t;Sx4âi:à^3'-^!l.34«à.34-â«3
AffilHtiiHiBt par 5, îl tieift
a,3;4x 5=ai3x5-fia. 3x5+2.3x5+3. 3 X3=a.3.5x4
lie produit dé quatre nombres ue diaage doue pas ^aaé on ofaatige.l^rdte des deuk derniers facteurs, ^is^ on- peut changer Tordre des trois prémiek» facteurs ; btt a doue. ; .
âX3x4/x5=:ax4xJx5=±3x4xaX5=c3x3x4x S ss3x9ix5x4==efe^
Le principe ëtam aihsi dén^oatrtf |^otlr qqati^ ^actràrà y ott en éédsàÊà qu^ est vrai pour cinq facteurs ^ etainAi de aitite.
* l6. Multiplier un nombre par un pfOfduit^ retient a multiplier swf^ besêiyement te nombre par les facteurs du produit , et réciproquement* Par exemple, onihipliâr a ^ te ]^rôdcik rS, dcé factetirs i tt 5, refvieàt à mul^ tiplier d^abord a par 3 et le |lr(îdiiit6y, par 5 f il «'eigit AôiIg èé {>roiiVef qtf^il aX3.5=ax3x5^ et que r^pfoc(iM^iU d^3^5=:±»}i(à.5t Cti» m'oifioà ancnile di^culté, car les principes des zi^* a« et a5, donnent ,
9iX3.5=3.5xàï=33x5}^à=±aa>(3x5 3x3x5=3(xÔxa=3.5xa=»ax3.5
Cette démonstration çoaviefit à un i^mbst qvllsodtiqae dèlaotéta.
