DIVISION

^'^. Lé lui de t^ D^VISIOI^ M^ ùonHaissan^ un produit^ homtné DIVIDENDE et twt de' fqs foéctetkts f nommé DifisBûR ^ de trouver l'autre faetsur, nommé ^ifOrtÈMti Par e^tmpfe^ sri Vàn proposait ^ èoba^iasai^ le prodtiit 6 f. des {iicteim a, 3^ of le facteur 3 ^ de détfo^f li^ h faétetu* s ; te pfoduît 6v pféfiâcatt ie nom de dividend^^ W fàel»to cbiinu Si s'apj^^âk dipîseUf, le facteur â^ qu'A 8*agit de déeduyrky Jë nxiiiaâléfâit ^iieHi, et l'opératioù <^ âom»iêkk U ^K^tient $e mtàtoétait àiçisioit.

â8. P'^èa ladé^iàtioiidéladmJiaii; i\ quand ië éiviséur est abstrait, le quotient est de^ nature du dis^idende , caf ce

Notes f Arithjrii ài

l8 NOTES,

quotient, multiplié parle diviseur, doit reproduire le dividende ; Si?, lorsque le, dividende étant zéro , le diviseur est un nombre , le quotient est zéro; car le quotient zéro, multiplié par le diviseur, qui est un nombre, donne un produit égal au dividende zéro, n en résulte que zéro est exactement divisible par tous les nombres et donne zéro. pour quotient; 3^* lorsque le divirdende et le diviseur sont zéro, le quotient est entièrement INDÉ- TERMINÉ; c'est-à-dire qu'on peut prendre un nombre arbitraire pour le quotient, car le diviseur zéro , répété un nombre quelconque de fois , donne un produit égal au dividende zéro. ' 29. Le dividende étant le produit du diviseur par le Quotient, le diviseur, pris autant de fois qiiU y a d^ unités dfuis le quotient , dortne le dividende. Le quotient abstrait exprime donc combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. D'après cette remarque, le quotient peut toujours s'obtenir par des soustractions répétées, car en retranchant successivement le diviseur du dividende, le nombre de soustractions faites pour arriver au reste zéro , marque combien .de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Sous ce point de vue , la division ne serait pas une nouvelle règle; mais comme, en ^suivant ce procédé , l'opération devient longue et pénible > quand le dividende' contient un grand nombre de fois le diviseur, on est conduit à la recherche d'une méthode plus abrégée. C'est à cette méthode qu'appartient le pom de division. Cela posé :

Le quotient doit être tel, qiien multipliant ses unités, ses dixaines , eU:. , par le divièeur, on obtienne, au produit total , les unités^ les dixaines , etc. , du dividende , car le dividende est un proânit dont.le diviseiet et le quotient sont les facteurs •( n** 27) «Appliquons ce principe à la recherche du quotient de la division de 1468 par 4 '> le quotient doit être tel , que ses unités , ses «Ëxaines , etc. > multipliées par le divîseur/4> donnent au produit total, .les unités, les dixaines, etc. , du dividende ', le quotient. ne' peut donc pas admettre d'unités d'un ordre -plus élevé qae les plus hautes unités du dividende ^ qui sont

PREMIERE P>RTI£. 1^

des liiille. Et en effet, s*il renfermait seulement une dixaîne de mille ; en la multipliant par le diviseur , on obtiendrait un produit^ 4 ^P^ûies de mille , qui devrait faire partie du divi-^ dende 1468; ce qui est absurde. Le quotient n,'aura pas non plus de mille ^ car s*il en contenait seulement un^ la multipli'pation de c.e mille par le diviseur ^ donnerait le produit «partiel 4 mille , qui ne peut faire partie du dividende 1468. Le quotient contient des centaines j car une centaine , multipliée par le diviseur 4 > donne 4 centaines^ et le dividende i4^i en contient! 4- Actuellement que nous avons déterminé la nature des plus hautes unitéis du quotient (*) , cherchons-en le nombre ; le. produit partiel des centaines du quotient par le diviseur , donnant des centaines ^ ne peut se trouver que dans les 14, centaines du.dividende^jCes 14 centaines sont donc composées du produit des centaines du quotient par le^ diviseur 4 y ^^ .^^ I^ Retenue de centaines qua pu fournir la multiplication, des dixaines et des unités du quotient par le diviseur ; le multiple de4> immédiatement au-dessous de 14 > qui est la, sera donc le produit partiel du diviseur 4 > P^^ ^^ nombre des centaines du quotient j on obtiendra donc ce nombre de centaines, en divisant xa par 4^ ce qui donne 3 centaines au .quotient; le quotient est donc composé de 3 centaines , de dixaines et d'unités. On peut d'ailleurs le démontrer directement, car Je dividende 1468, tombant entre 4 fois 3 centaines, et 4 fois 4:0entaines , le quotient do\t tomber entre 3 et 4 centaines. Cela posé; si du dividende 1468, qui contenait les trois produits partiels des centaines, des dixaines et des unités du quotient par le diviseur, on retranche le produit laco, des 3 centaines

(*) On doit commenceiPpar la recherche des pins hantes nnitës dn quotient , car dans la formation d'un prodnk , on commence par la mnltiplication des pins faibles unités dn multiplicande, afin de pouvoir joindre la retenue de chaque produit partiel au produit partiel suivant,; la division, qui a pour but de décomposer le produit , doit donc procéder dans an ordre inverse ; il est donc indispensable^ dm commencer par la recherche des plus hautes unités du quotient,

ad !fOTÊ$ t

du quotient par le diTiseur; le reste a6S ne sefâ plus composé que des produits partiels des dixaines et des unités du quotient par le diyiseur. On peut donc considérer le reste a68 y cominé un nouveau dividende partiel, composé du produit du diviseur 4) par un quotient partiel dont les unités et les diieain^ sont celles du quotient total; tottt se réduit donc à diviser a68 par 4« Or ^ nous savons que le» plus hautes unités du quotient sont des dixaines ; leur produit par le diviseur ne peut donc se trouver que dans les a6 dixaines de 22^; mais ces âS dix^es sont oc^nposées du produit des dixaines du quotient par le diviseur 4 et de la retenue de dixaines qu*a pu fournir la raulliptication des unités du quotient par 4 ; le multiple de 4 immédiatement audessous de oSy qui est d4% ^^^ àxmc le produit du diviseur 4 par le nombre des dixaines du quotient; on obtiendra donc ce nombre de dixaines , en divisant 234 P^^ 4 \ ^^^^ donnera 6 ^ pour le nombre des dixaines du quotient. Si du dividende pa^tiiel oSè , Composé des produits partiels du diviseur 4 > p^ lesdixaiDes et par les unités du quotient^ on retranche le produit â^4^^ûies ^ des 6 diXidnes du quotient par le diviseur, le rtsU ^ sera le produit des unités dû quotient par le diviseur 4; !& division de iàS par 4> donnera donc tes 7 unités du quottextt^ La réunion des quotiens partiels, 3 centaines, 6 dixaines, 7 unîtes, don^ nera 667 pour le quotient total de 1468 par 4* Le quotient S67, multiplié parlé diviseur 4 > reproduit effectivement le <Ëvidende

Pour jeter plus de clarté sur ces diverses opérations ^ on k* dispose de la manière suivante:

DÎTÎdende. 1468

laoo

4 divifear.

367 quotient

Commençant Topération ptfr la gauche du dividende, oir

PRtMIÈRE MRTIE. Stt

divise i^fi centarae» (multiple du diviseur 4 immédiatesient au?» dessous des i4 centaines du dividende) par le diviseur 4*9 cela; donne 3 centaines , qu on écrit au rang des centaines du quo-*' tient; multipliant ensuite le quotient partiel 3 centaines , par le diviseur 4 1 on pofte le pr<)duit id centaines 1 ou laoo^ 60U8.. le dividende 1468, en faiaânt cori^espon^e les unités du même ordre; on.petranche laoo de 24^8 et Ton pose le re^te s68 sous. J fioo y en l'en séparant par un trait. Opérant sur ce reste , comme sur le dividende primitif 1468 j on divise 34 dixaines. ( multiple^ du ^viseur 4 iiamédiat^nent au «-dessous des â6 dixaines dûdividende partiel'a68 ) , fax^ le diviseur 4 ; cela donfle 6 dixaines y que l'on écrit au raag ded dixaines du résultat; multipliant cet dixaines. j par le diviseur 4 > o^ ^^ ^^ produit 124 dixaines > ou â4o* ^Mi le reste 5à6S; on ôte $4o*de ^8 et Ton pose deosous^ le reste a8; enfiji^ on divise â8 par 4» ®® V^ donne 7^ qua Ton écrit au rang des imitéâ ^qiiotient. Multipliant les 7, uni-* tés du quotient, par le diviseur 4« otï trouve â8 unités^^ que Ton place sous le reste s8; on retranche a8 de a8 et Ton pose dessous le rest» zéro. L*opéralioa est alors ten):iinée et l'on a^ 367, pour lé quotient demandé..

3o. Vans toute ^vision , le dividèftd^ est ég^l au produit du. diviseur par les unités du quotient^ plus le dernier reste} et par conséquent, lorsqu^fprès aMoir ^HÛsé tous les chiffm du. dividende y le dernier reste est iéro, le quotient, obtenu est exact, Sa effet ;poui: trouver le dernier' reste , on retranche successivement du dividetide, les produits partiels du diviseur par le9 chiffres du <[aotieat; ce qui revient à retrancher du di-* vidende , le prodtdt tetd] du diviseqi^ par le quotient;' le dernier reste ejxcprime dpnQ Texoès du dividende 1 sur le produit du di-. v^euF par )e^ quotient;, le dividende est donc égal aii produit du diviseur par b quotimt, plus 1« dernier reste ; et par cosaaé-^ quent^ lors<(}ue 1» d<rni)çr reste ^t aséroi le quotient est exact. Ainsi ^ la division de 07 par 6» donii^t 4 ^v* quotient et; 3 de.

reste j^ on a

Le même raisonnement s'applique à un reste et à un quotient

correspohdans quelconques. Ainsi ^ danâ Texemple du n® 29 ^ le reste â8^ correspondant au quotient 36o^ on a ^ ^

3i . En général , pour diviser deux nombres tun par F autre , écrivez le diviseur sur la droite du dividende, en l'en séparant par un trait; placez un autre trait sous le diviséun^ pour le séparer du quotient que vous écrirez dessous, L! opération ainsi disposée y pour {effectuer; prenez assez de chiffres sur la gauche du dividende . pour que le nombre qui en résulte, considéré^ comme exprimant des unités simples ^ contienne le diviseur; cherchez combien de fois ce dividende partiel contient ce di^ sfiseûr; ce nombre de fois sera le premier chiffe à gauche du quotient ; il eocprimerd des unités de F ordre du dernier chiffre à droite du dividende partiel qui taura fourni. Ecrivez le prer mier' chiffre du quotient isous le diviseur; multipliez le diviseur par le premier chiffe du quotient et mettez le produit sous le premier dividende partiel; placez un trait sous ces deux nombres; retranchez le plus petit du plus grand ; écrivez dessous le reste , et abaissez sur sa droite le chiffre suivant du dividende total ;^

vous aurez un nouveau dividende partiel, sur lequel opérant comme sur le précédent^ vous obtiendrez le second chiffre du quotient, que vous écrirez à la droite du premier, T^ousr^é-* ferez les mêmes opérations jusqu'à l'entier épuisement des chiffres du dividende; quand lé dernier resté sera zéro, la di-vision sera terminée et le quotient obtenu sera le quotient de^ mandé; quand le dernier reste ne sera pas zéro, cela indiquera que le quotient demandé nest pas assignable en nombre en^ fier; le nombre obtenu au quotient exprimera les unités du quotient total. L>a somme des quotiens partiels , compose le quotient total. Lorsquiin dividende partiel est moindre que le diviseur, on place un zéro pjour le chiffe correspondant du' quotient; par ce moyen, les chiffres sighifttatifs du quotient conservant le rang qui convient à l'espèce des unités quils représentent^ et chacun des chiffres du dividende ^ qui suivent

PREMIÈIÎE PARTIE. ù!5

le premier dividende partiel l donne un chiffre du quotient. Voici dès exemples : ^

ai i4

3oa

a 4>6 a ii6

. Reste.. ^

3oa

Reste.

Remarque. Lorsqu'on diyise un nombre par 5 , oxi par S , ou par.7 , Qu par 8, ou etc. , on dit qu'on en prend, le cinquième, ou le sixième, ou le septième ouïe huitième y ou etc. Ainsi ^ le septième de â8 est4> lé huitième de 40 est 5> etc.

. Preus^es des quatre Bègles.

Sa. Le but de la preuve est de vérifier le résultat par une opération différente de celle qui l'a fourni. On rîsqujerait , en recommençaînt lé mênie calcul, de répéter la même erreur; ce qui empêcherait de l'apercevoir.

Pour faire la preuve de l'ADpi.TiON ; additionnez successif vemerA chaque colonne verticale, en commençant par la pre-' mièreà gauche } retranchez chaque somme partielle de celle quelle est censée avoir donnée; écrivez les restes, chacun sous la colonne correspondante. Quand la somme sexa exacte, le dernier reste placé sous la dernière colonne à droite, sera zéra. Le reste placé soiis chaque colonne^ exprime . des dixaiaes d'unités de la colonne suivante.

Pour faire Icf^preuve de la soustraction; cloutez le restc au plus petit nombre; la somme devra être égaie au plus grand nombre (n® i5).

La preuve de la MULTIPLICATION s'effectue en divisant le produit par Fun de ses facteurs ; le quotient doit être égal à r autre facteur. On peut aussi changer F ordre des facteurs, le produit ne doit pas changer ( n^ a 1 }.

û4 NOTE» ,

Une DIVISION a été bien faite y quand h ^viseur muhiplii par le quotient, donne un produit égal au dividende ( ii° 67 ) i eUe est encore exacte, quand le dividende ^ divisé par le quo* tient y donne Iç diviseur. Voici qji exemple dé chaque espèce . . ^

Addition^

Sommoh 3334 PreiiTe. . aao

6itL ,,,..j x6

preuye.. . 4^

MuiUpUcation,

Diviêion,

pfenve...

fpiot^ent.. . . « preuTe

1»^ loaQièr^ de vérifier les \fuÀ^ denièrea oflêrfilfons n^étant q)i*iuia 6uite ijomiédiate de Isur* définitions ^ n^us nous borne-r rons à e^pliqu^r la pivui^ dsTaddilion; e\U^ potor but d'extraire succesâivement de la somme y \e^ parties qui la composent^ en procédant dans uo ordre contraire à celui de sa formation ^ }p dernier reste doit donc être scéro. AiAçi ^ ppur yéicifier A a334 est la somme des npmbr^ proposés ^ on coKon^ppei^a pa): la gauche y et Ton dira : la colonne des çentàin£S| en contient

5.4-9+7» <^" ^* > °^^î^ '* somme renfeiip^ |5 ctntaines; k& a centaines de surplus proviennent donc de la retenue de ao dtxaines^ faite dans Taddition de la colonne des dixaines', cette colonne devrait dond renfermer q3 dixaînes ; mais elle n*en contient que âi ; les a dixaines de suiplus résultent donc de la retenue de ao imités, f^ite dam Fadditto^ï de la colonne des, unités , qui dmt conséquemment avoir donné â^ unités. La co-^ lonne des unités doit donc contenir ^4 tuutés , car n*étant précédée d'aucune colonne à droite /elle ne peut avoir été augn mentée par aucime retenue ; cette coloiinë contient elFective-r ment a4 tmitéa, de sorte que la retenue placée au rang des un^-- \h ^t ^évo^ Lci[ som^e obtenue est dbnç exacte.