PREMIÈRE PARTIE. Ù,J

Z^, Vctddition et la soustraction y â^ fractions qui ont le même dénominateur y n'offrent aucune dilRculté. Par exemple ,

- plus - , font - , car les fractions - , - , exprimant a parties

égales à - et 3 parties ^les à - ; leur somme doit être corn- 7 -7

posée de a parties , plus 3 parties , égales à - , c'est-à-djre de

dirait j de 5 septièmes ôtez 3 septièmes > reste a septièmes >

ou -• . . . ' .

En général y pour ajouter ou pour soustraire des fractions-

qui ont le même dénominateur , il suffit de frtrmer la somme

ou la différence des numérateurs y et d* affecter le résultat du

dénominateur commun. Cette règle ii*est pas applicable aux

fractions qui ont des dénomîiiateurâ ùX^ète3a&a p^ce qu'alors

dans chaque fraction l'unité n'étant plus divisée en' un même

nombre de parties égales,' ces parties né âont plus de même

grandeur; on ne petit donc pas les combineir dans cet' état;

maii comme on 1^ poufrait y si elles avaient le même, déno-*

minateur y il faut 'cbercher les moyens de réduire plusieurs

fractions au même\dénominateun Cet^e. réduction est fondée

sur la propriété suivante : - "

Sg. Une fraction ne change pas de valeur y quand oh mul^

tiplie ou quand on divise sè^déux termes par im même nombre^

Pour le démontrer, considérons la, fraction ~* si lé dénoinina-

teur. 7 restant le même, Q^ multiplie le.nupiérateur 5^ par a,

la fraction - deviendl'a'^ / et sera rendue deux fois pins grande y

car elle sera con^osée des mêmes parties de l'unité qu^ la,

fraction -, et en contiendra deui& ftitè plièsl-fii le numétateur

3^ dç la fraction -, restant le/mêsiie,v'OT moltipliç le déno-*.

a8 NOTES ;

minateur 7/par a; elle dcvîetidra --^ , et léra rendue deu3C

fois plus petite > car ellç contiendra le même nombre de par-

ties que la fraction - ^ el cKaque partie sera deux fois plu»

petite ; puisque Tunité sera divisée en deux fois plus de parties

égales* Cela posé ; puisqu'on multipliant le numérateur de la

fraction - ^ par a ^ on la rend deux fois plus grande, tandia

qu*on la rend deux fois plus petilb en multipliant son dénominateur par s; lorsqH*ûtt' multiplie ses' deux termes para, elle ne change pas de valeur. Des raisonnemens analogues s'appliqueraient au cas où l'on diviserait les deux termes de la fraction par un i^ém« nombre. • .

La réduction, des fractions au même.déîiominateur , jxe doit

plus oflFrir aucupe, difBçplté. S'il s agit ^ par exemple, de»

a 5 fractioïis = , - ^ on multipliera les deux tiennes a et 3^ de la

première, par 1q dé^iomînatfiur 7. deJa i^eço^de ^ les deux termes de lasecqnde^ par le dénominateur 3 de |a, première ;

ce qui donnera les fractions équivalentes -^ et — . Si le» frac-

Xi&Êà proposées étàîeirt ^ ^i | et - , on mult^erait successive-».

ment les deux termes de chaque fraction | par le produit des dénominateurs des. deux autres!: ce oui. donnei^ait les fractions

équivalente,^. A, ^

4b. 'Engénérir}, fàur réâubt plusieurs fractions au même dé* nominateur, multipliçA'^ncçes^^vef^en!t;ièS' dfikp termes d^ chacune^ par le produit des dénominateurs différens de toutes ks autres. Les nouvelles fractions auront respectivement les vn^nes valeurs quel^pt^ières'^ n^^), ef leur dénomina-* teur commun sera le produit de tous les dénominateurs dif firenfi* des fractions ptinàtk^es^

l^RÈMléRÈ fXKtît. ^

41. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, il faut, ou multiplier le numérateur par F entier , sans changer le dé-^ nominateur, ou diviser le dénominateur par t entier, sans changer U numérateur; gt réciproquemeni , la division dun^ fraction par un nombre entier , s'effectue en multipliant, le dénominateur f ou en divisant le numérateur par Cenùer* £11

effet; quand on multiplie le numérateur 5^ de la fraction —

par a , elle devient — et est rendue deux fois plus grande > catf on prend deux fois plus des mêmes, parties ; lorsqu'on divise son

dénominateur lâj par a ; elle devient g ; et reçoit une yaleuf

-hideux fois plus grande y car on pr«nd toujours le même nombre

de parties et ces parties deviennent detiié' foi» plus grandes ^

puisque Tunité ett divisée fin deîix £m» m^ina an parties égples^

La dividion se démonfrerliit d*«ne manière analogue; on proti-

vecait q«e le quotient de ^ y^ par »> est également e^pirimé^

par — etMr.—^*

4a« Pour multiplier plusieurs fractions entr elles, il suffît dé diviser le produit des numérateurs par €.elidde& dénominateurs;, de sorte que la fraction qui exprime te produit , a pour itumé-^ rateur le produit des numérateurs , et pour dénominateur , lu produit des dénominateurs , des fractions proposées. En effet;

soit S à multiplier par ^ , on (Sra ; si j^avàit % â multiplier

par a , le produit serait — ^^ — ; or ce n'étak pas par a que Je

devais multiplier , mais par un nombi^ = , 3 fois plus petit que

â ; le produit — ^ — est donc 3 fois trop grand ; il faut donc lui restituer sa valeur , en le divisant par 3 ; ce qui donne g-— -5 i pour le produit de ^ par ^. S*il s*agît du produit dea

Su mttii

5o. Cette règle gcnérale est susceptible des sixnpliâcationâ stiiystntesj i''. Dans l addition des entiers joints à des fractions j on calcule la somme des fractions qui accompagnent les en* tiers;, &n extrait les unités qiielle peut eontenif. On joint a cette somme les nombres entiers qui accompagnent les frac-* tionSé Le résultat exprime la somme demandée * Pat ejcemple^

poul: ajouter 7 -— â 3 *^ , oh exfridrà de îa sottrtne — des frac-

tioias, lea deitx imités qu'elle ctmtieat; Ce qui donnera a - ;

ajoutant à a -, les entiers 7 j 3 . le résultai la t « sera la somme

demandée.

a°. Dans la soustraction dés entiers' joints à des fractions f

on retranche directement ia fraction delà fraction ^ et le nom^

bre entier du nombre entier. Quand ta fraction à soustraire

est la plus grande ^ on emprunte une ou plusieurs unités sur

le nombre dont an sousPra^ Ainsi , petsÉ ôter a --, de 8 -^ ou

iretrancliera - de - et a de, 8 ; U réunion des restes partiels

- et 6, composera le reste total G -. Pour ^ustraire 5 ^, de

6 - j on empruntera une de» m oiiités du plu» ^andE nombre $ cette iimte^ qui vauf ^ , jointe aux •* qu'il j avait déjà , dcmne

~ ", desquels ôtant -, il reste - ; or on a emprunté 1 slir le S ; on ôtera donc 3 d& 5 ;, ce qui donneï^ le rfôte a. La réunion des restes partiels - et a , coi^posera le reste total a r*

5i. Les opérations de t Arithmétique sur les fractions , se vérifient comme pour lés nombres entiers (n" 3a ) , en observant que dans lu. preuve de Tàddition^ la première colonne à droite devient celle des fractions*

FREMIÈRE PARTIE. S?

. Ss» La difficulté de prendre une idée des grandeurs dés fra(^ lions dont les termes sont des nombres considérables > conduit à chercher une méthode pour réduire une fraction à sa plus simple expression. Si l'on Connaissait le plus grand nombre qui pût diviser â la fois les deux termes, d'une fraction; en effectuant la division y on obtiendrait une nouvelle fraction qui serait équivalente à la proposée ^ et qiii serait exprimée par des termes moindres ; cette nouvelle fraction serait irré" ductible (*). Ainsi , en divisant, les. deujc termes de la frac-*

tioB ^ y par la ^ qui est le plus gtand nombre qui puisse di'

viser en même tems ^4 ^t 36 > on obtient la fraction irré-«

ductible 5.

; Lorsque les termes d'une fraction sont de très-grands nombres , il est impossible d'apercevoir quel est le plus grand nombre qui les divise en même tems. La propriété dont, joint ce nombre y d'être le plus grand des diviseurs communs aux deux termes de la fraction y lui a fait donner le^ nom do. plus grand commun diviseur y et la méthode générale que nous allons donner pour le découvrir y se nomme la méthode, du plus grand commun diviseur. Elle repose sur les trois principes suivans :

53. Premier frinope. Quand plusieurs nombres ont un diviseur commun y leur somjne a le même diviseur. Cela est évident ; car le quotient de la division de chaque nombre , par le diviseur commun y étant un nombre entier y la réunion de ces quotiens partiels, qui compose, le quotient total de la somme des nombres proposés par le diviseur commun , est nécessairement un nombre entier. Ainsi, les nombres 6, la^

{'*') On dit qu^une fraction est iMioucTiSLE, ou réduite à sa plus simple expression y quand elle ne peut être exprimée exactement par dêê

fractions ayant dçs termes moindres. On démontrera , dans le W* a53 , qu^une fraction est irréductible , quand ses deux termes n'ont aucun*

Jfacteurs communs.

Notes, Arithm, 3

34 votes;

i5 ^ étant divia&let ptir 3 , leur somine SS est dîvisible par 3; l4i réciproque est fausae^ te diviseur ttune somme, ne divise pas toujours les parues qui la composent. Par exemple, qotàsfttie la somme 3û , toit ^visible par 5 y ses parties lâ et 1 8 ne le sont pas.

54* Second priiicipe. Le dii^iseur Sten^ nombre en divise txadement les mubipies , car tout multiple dTttii nombre peut être considéré' comme la somme .de phutem:s nombres égaux an nombre proposé ( n^ 53 ). Ainsi , le nondxre 6 étant ^Yisible par 3, aea multiples la^ iS'^ etc., sont divisibles par3«

55. Troisième pri^^cipe. Lorsqiiune somme est composée de deux parties ; tbtU nombre qui divise s^éparément la somme et Vune de ses parties , divise nécessairement l'autre partie^ En effet ; si Ton divise la somme par son diviseur , le quotient aéra nn nombre entier qui devra être égsd à la réunion des quotiens partiels des deux parties , par le même diviseur; mais , par hjrpothèse , le premier de^ ces quotkns. partieit û6t un nombre entier; le deuxième est dcmc nécessairement nn nombre entier.

56. Ces principes établk, passons à la recherche du plus grimd eommun diviseur et pour fijcer tes idées , considérons les deux nombres 4^ ût tZ^ Le plus grand dîviseui' , commun à ces deux nombres , ne saurait surpasser le plus petit des deux , ear il doit lé diviser exactement; on^st donc conduit à esiayer si lé pins petit nombre i8^ qui 'se divise Iui*méme et dennè i pour quotient exacte peut aussi diviset le pins grand nombre 48, auquel eai» 18 serait le plus grand commun dirisenr â)emanâé. Cela n*arrive pas dans notre exemple , car 48 divisé par 18^ donne a au qnotielit et i a de reste. On a donc : N^