PREMIERE PARTIE

465 par 10000 y on obtiendra la valeur de cette fraction en avançant la yirgule de quatre rangs vers la gauche du chiffire 5 des unités ; ce qui donnera , o,o465.

74^ Pour multiplier entr'eux plusieurs nombres décimaux! ; effectuez la multiplication comme s'il rCy avait pas de virgule et séparez ensuite f sur la droite du produit, autant de déci^ maies qu'il s*ei^ trouve dans tous ks facteurs réunis, ( Quand le produit ne contiendra pas plus 'de chiffres qu*il r£y a de dé^ cimaJes dans tous les facteurs réunis , on y suppléera en met^ tant des zéros sur sa gauche. ) Démontrons cette règle. , Soit j)roposé de multiplier 3,64 P^ if^> on con'pertira d*abord chaque facteur en fraction ordinaire ; ce qui réduira la question à multiplier — - par — ; le résultat — — , converti en dé-' ^. 100 ^ 10 1000

cimales; donnera 4f368, pour le produit de 3,64 par i,a. On voit qu'il a 5ui& de multiplier 364 P^ lâ (ce qui revient à faire abstraction de la virgule dans chaque facteur ) , et de séparer sur la droite du produit 4^68 , les trois décimales contenues dans les deux facteurs réunis. Des raisonnemens analogues ^'appliqueraient à tout autre exemple. £n effet ; chaque fao^ teur est équivalent à une fraction dont le numérateur est ce facteur dans lequel on fait abstraction de la virgule et dont le dénominateur est l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux dans ce facteur. Le produit demandé est donc équivalent à une fraction ordinaire dont le numérateur est le produit de tous les nombres entiers qui résultent de la suppression de la virgule dans les facteurs proposés , et dont le dénominateur est l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de décimales dans tous les facteurs réunis. Or ^ pour convertir cette fraction produit , en décimales , il suffit d'écrire son numérateur en séparant autant de chiffres décimaux sur sa droite qu'il y a de zéros dans le dénominateur. La règle énoncée est donc démontrée généralement. Ainsi , pour multiplier 345, 729 par a,û7, on formera le produit 78480483, de 346729 par 337; réparant cinq décimales sur la droite de ce produit , à cause

des cinq chiflfîras d^cinuiiix tùrOmas dans les deux factet»*) , le résultat ^S^tSo^fô sera le produit cfaércké. Le pi'oduit dé 345,7129 par sa/, serait 784^0^^^. Le pnxkdt dés^ «nnbresi,!! , o^^, 4fi^$er9Lifiûo ou i^fiâv

75. Les nombres décimaux jouit$ent j cùmme îés^ nombres entiers , de cette propriété importanU que U produit de plu-^ sieurs facteurs ne change pas dùns iptelqddfdtê qu*on effectue la multiplication. Cela résulte d^ la règle du n^ 74. On pourrait ausû démontrer ce principe é» obt^ertegfit qae le produit des nombre» dédmaux est le m^me que c^lvd des fractions équivalentes , qui ne change pas dans quelqu*ordre qu'on effec*tue la moltiplication (a*43)«

76. Pour diitiser deux nombres décimaux l'an pur Vautre; mettez d'abord sur la droite du nombre qui contient le moins de décimales, assez de zéros pour que le nombre des chiffres décimaux soit le même dans le dividende et dans lé diviseur. Effectuez alors la division en faisant abstraction de la virpile. Le résultat exprimera le quotient demandé. S*il s'agit de drriser 6,8 par o,o34 J cotume le diviseur contient deU3^ décimales de plus que le dividende, on mettra deux zéros sur la droite de ce dernier ; ce qui n'en altérera pas^ la valeur ; la question sera réduite à diviser 6,80a par ô',o54 > lenonmbre des décimales étant le même, dans le dividende et dans le diviseur, on peut faire abstraction de la virgule, sans cltanger le* quotient, car 6,800 et o,o34 sont équivalens aux fractions ordi-^

naires — — , — — , et pour cKviser ces fractions de même dé-

1000 lOOO '^

nominateur , il suffit de diviser le numérateur 680a de Ta première, par le numérateur 34 ^ la seconde, (n*46); fe

quotient demandé est donc ■ % . ■ ou fioo.

En général , lorsque le dividende et le diviseur renferment le même nombre de décimales , en substituant les fractions ordinaires équivalentes , on est conduit à diviser Tune par Vautre , deux fractions de mémje dénominateur , ce qui s« ré^

PREMIERE MRTIE. ^ ^7

duit à diyiâer le xnunérateur de la première fifactioii par. celui

de la seconde. Mai9 , ces numérateurs sont les nombres déci-^

maux abstraction faite de la YÎf gule. On est donc conduit à

la règle énoncée.

Hemarquê, On pourrait effectuer la dirision , sans prépa<»

rer le dividende et le diviseur , eàr il suffirait d*opérer sur les

fractions équivalentes ^ mais le calcul serait moins simple y et

d'ailleurs le but que Ton se {MTQpoee est d'éviter la transforma^

tion des nombres décimaux en fractions ordinaires. Ainsi , pour

diviser 6,8 par Of0349 il suffirait d'opérer sur les fractions

équivalentes — , — -^: le quotient serait — X -^t > ou ^ lo 1000 ^ 10 04

-57 — , ou aoo.

77. Pour soumettre où calcul ^ de$ nombres décimaux, côm" bines avec des nombres entiers et avec des fractions y on con^ vertira les nombres décimaux en fractions ( n" 66 ) ; on n'aura plus alors qu'à opérer sur des nombres entiers , combinés avec des fractions ; ce qui s'exécutera sans difficulté. Les opéra'* fions de l'Arithmétique sur les nombres décimaux y se véri-^

Jient d'après les règles données pour les nombres entiers (n^ 3â).

Si l'on veut cqiérer sur les nombre» 3,7 et a -j > on les mettra

SOUS forme fractionnaire , te q[uî donnera "^ ^t "t » ajoutant ,

retranchant > multipliaiKt et divisant ces deux fractions , les

résultats -7—, -7-. ~-^, --^» expnmeront respectivement, 40 40' 40 ' 110' ^ *^ .

la somme, la différence, le produit et le quotient, des nombres

donnési

78. lift téd^scticm êiutefracUor^ordincUre en décimales y pré<« sente trois cas que nous aUoas sticeessivement examiner.

1**^ Cas» Quand le dénonmtftêUr est l'uniié suivie de plusieurs zéros vers la droiH , &» règle dun!^ 67 , donne t exprès^ sion décimaU de la fittction proposée. Ainsi , les fractions

— Z -3 — ont pour expressions décimales 3,67 et o,o45.

'48 KOTËS ,

' 79* a* Cas. Lorsque le dénominateur ne contient quë tes facteurs ù etS ; la division du numérateur par le dénomina^ teur , conduit à un quotient décimal exact , car en multipliant les deux termes de la fraction un certain nombre de fois par a ou par 5 , de manière que les facteurs a et 5 entrent le même nombre de fois dans I« nouveau dénominateur , on la transformera en une fraction équivalente, dont le dénominateur sera l'unité suivie dç plusieurs zéros vers la droite , et une telle fraction se réduit toujours exactenient en décimales (n^ 67).

La fraction -f- est de cette espèce . car on a

40 a. a. a. 5 a. a. a. 5 x 5.5 10.10. 10 iqoo *'*

La division de 7 par 4^ > conduit au même résultat. Voici le calcul

Dixièmes 70

Centièmes 3oo

Millièmes aoo

Reste • o

Pour effectuer cette division, on observera d*abord quej comme on se propose d'obtenir au quotient , des dixièmes , des centièmes , etc. , on doit convç^r les dividendes partiels en dixièmes , en centièmes , etc. Cela posé ; la division de 7 par 4û 9 ne donnant pas d'unités au quotient , on mettra un zéro à leur place ; on convertira ensuite le dividende 7, en 70 dixièmes , et l'on aura 70 dixièmes à diviser par 4o î ce qui donnera 1 dixième au quotient et 3o dixièmes de reste; on écrira donc 1 au rang des dixièmes du résultat et pour continuer la division , on convertira le reste 3o dixièmes , en 3oo centièmes ; la division de 3oo centièmes , par 40 > donnera 7 centièmes au quotient et ao centièmes de reste; on écrira donc 7 au rang des centièmes du résultat. Enfin , le reste se centièmes , converti en aoo millièmes et divisé par 4^ > donnera le quotient. exact 5 millièmes ; 00 écrira donc B au

MEMlÊftE PARTIE. ' 4q

rang Aes iftîllîèmés dii résultat. La division est alors terminée j,

et Ton a 0,175, pbur la valetiir exacte du quotient de 7 par 40 >

ou de la fraction -7-» L'exactitude de ce résultat est facile à

-rérifier, car la fraction décimale 0,175 est équivalente à la

fraction ordinaire -~ — , qui se réduit à *7^ (n** 5q).

lOoo ^ 40

80. En général , pour réduite en décimales^ une fraction or^ dinaire , plus grande ou plus petite que l'unité ; il faut diviset son numérateur par son dénominateur ^ en ayant soin ^ lors» tjuon a obtenu les unités du quotient , de mettre une virgule sut leur droite) et de convertir les restes successifs en dixièmes ^ en centièmes > en millièmes , etc. ( Ces coj^^rsions s'effectuent en mettant un iéto sur la droite de chaque reste). .Les chiffres quon obtient à la suite des unités du quotient, expriment les dixièmes , les centièmes ^ les millièmes , etc., du nombre dé'» eimal qui est équivalent à Infraction proposée. Si Ton applique

cette règle aux fractions ^ , tt-^ ^ on trouvera que leurs va*

leurs en décimales , sont 0,578125 et 0,0848.

8 1 . Lorsqu après a\>oit réduit une fraction à sa plus simple expression , le dénominateur ne renferme que lès facteurs 2 et 5, il est facile de déterminer combien on obtiendrait de chiffres décim^Lux au quotient , si ton effectuait la division du numé^

rateur parle dénominateur. En effet; soit la fraction -j- ; le quo-

tient que l'on cherche devant être des dixîèmes^, ou des centièmes , ou etc» , on doit convertir Je dividende 7 , en dixièmes ou en centièmes , ou etc., en multipliant 7 par 10, ou par 1-0 X 10, ou été. Mais, la division de l'un de ces produits > par 40 > ne pourra s'effectuer exactement, que lorsque ce produit contiendra tous les facteurs q ^ q , a, 5 , de 4o* H faudra donc multiplier 7 par loX tô X 10, afin d'introduire troi# fois le facteur a , ce qui conduira à divisei? 7000 millièmes par 4o ; le quotient exact sera lyS millièmes. Ainsi , le déno-

Notes j Arithm. 4

6o KOTÈS

minateuf 4^ , Contenant trois fois le facteur â et line seale {bi# le facteur 5, le quotient de la diyifiion de 7 par 40^ contien-» ^a trois chiffres décimaux. On verrait de même que le qtio^ tient de la division de 17 par â5oo> doit contenir <juatre chiffres décimaux ^ parce que le dénominateur âSoo étant égal 5x5x5x5X2Xa| on doit introduire quatte fois ie facteur 5 , dans le dividende 17. Et en effet, la fraction

-77^ , réduite en décimales (n^ 80) . devient 0,0068k

a5oo '

8a. 3* CAS. Quand le dénominateur d^une fraction irréduc^ tible contient d^ autres facteurs que 2et5, la fraction ne peut pas se réduire exactement en décimales. En effet ; les deux termes de la proposée n'ayant aucuns facteurs communs , les facteurs , autres que 2 et 5 , qui entrent dans le dénominateur, y resteront toujours, quand on multipliera les deux termes par tm même nombre ; on ne pourra donc pas transformer la frac^ tion donnée en une fraction décimale ayant pour dénomina-. teur Vunité suivie de plusieurs zéros vers la droite (*). La proposée ne se réduira donc pas exactement en décimales , car tout nombre décimal est équivalent à une fraction ordinaire | dont le dénominateur est Tunité suivie de plusieurs

s^éros vers la droite, (.a fraction — est de cette espèce , la

division de 3 par 1 1 , donne le quotient indéfini 0,^7 sky 27 eto; Voici le ^calcul :

ï^ dividende 3 nnïtés, | 11 divisetir»

9fi difid<Mide.«« #.••««« 3o dixièmei.

3e ^ ceûtièm.

i|e 3o millièm.

5« 80 dix-miU.

Û» 3o cent-mil.

ctc • etç«

I*' qnotient partiel. . . o unités.

a* é a dizièmesb

3« k j etnûémm»

4* • • a millièmes.

5« 7 dix-mill.

etc etc.

Quotient total Of 373737 ete*

(^ ) Cette d^onstration ne ier% compUienent rigoureoBe qne lonqu'on l^ora éiabU le principe da n* 9K>8»

PREMIERE FARTIE. 5ll

(le diyidenâe 3 étant plus petit que le dîyiseur ii , le quotient est moindre qu9 l'unité ; on posera donc un zéro , qui tiendra la place des unités du quotient ; pour obtenir les chiffres décimaux > on conyertira le dividende 3 unités , en 3o dixième;^ ; ce deuxième dividende partiel ^ divisé par 1 1 , donnera le second quotient partiel a dixièmes ^ avec le reste 8 dixièmes ; ce reste , converti ei\. 8q centièmes et divisé par 1 1 , donnera 7 centième» au quotient et 3 centièmes de reste ; la conversion de ce reste en millièmes , donnera 3o millièmes pour quatrième dividende par^eL La comparaison de ce quatrième dividende partiel avec le second , oifre une circonstance remarquable ; on voit que les chiffres a et 7 obtenus au quotient , doivent se reproduire à (ii^mi et dans h même ordre. En effet;, le second dividende partiel 3o dixièmes y ayant donné orj centièmes au quotient avec le reste 3o millièmes y le quatrième dividende partiel 3o miltièmes > qui est cent £ois plus petit que le second , donnera un quotient cent fois plus petite 527 dix-millièmes , avec le reste cent fois plus petit, 3o cent-millièmes y et ainsi de suite ^ ce qui conduira au quotient indéfini 0^9727127 etc.