Observons que plus on mettra de chiffres décimaux au
quotient y plus on approchera del^ valeur exacte de la frao-*
tion — • En effet: les restes alternatifs 8.3. diminuent trèsn
rapidement de valeur , car ils représentent successivenoient des dixièmes , des centièmes y etc. \ >et comme il faut les diviser' par le diviseur 1 1 , pour avoir ce qui manque au quotient obtenu pour être exact , on pourra toujours prendre assez de chiffires décimaux au quotient > pour que la valeur de la fraction décimale qui en résultera ; diffère d'aussi peu que Ton
voudra de la fraction — .
lia règle du n** 80 donnera
5 = 0!7777 «ïc, j ^ = 0130769a 30769a 9tc.
i2iq4 , 33875 »,
— î^ = 01123 17 17 €tc. r — ^ = 34|2 17 17 17 etc."
99000 ' ' ' ' ggo ^' t i i
i3665 = otooi3 678 678 eic. /
5si NOTES ;
84* Le& fractlouB décimales , telles que o^z^Qj/ây etc. J AioÉ lesquelles plusieurs chiffres se Téphtent périodiquement , daiuT le mém^ ordre et à Tinfinî, ont reçu le nom de fractions dé^ cimales périodiques , et la partie du quotient qui se reproduit périodiquement ^ s'appelle la période. Lorsque la période ne commence qu'après un certain nombre de décimales , la &ac^ tion est dite fraction décimale périodique mixte ; ainsi Texpression 0,12231717 etc. ^ est tme fraction décinUde périodique mixte y dont la période est 17.
85. Les trois cas que nous venons d'examiner , donnant le moyen de réduire les fractions ordinaires en décimales y d'une manière exacte ou approchée y passons à la solution du pro« blême inverse , qui consiste à convertir les nombres décimaux en fractions ordinaires.
Lorsque le nombre proposé ne renferme pas une infinité de décimales , sa conversion en fraction ordinaire s'exécuted'après la règle du n° 66.
Quand ce nombre renferme une infinité de chiffres décî-maux, on ne p^ut l'évaluer exactement que lorsqu'il est périodique. Nous n'avons donc plus qu'à nous occuper des fractions décimales périodiques et des fractions décimales périodiques mixtes.
Pour fixer les idées > nous considérerons la fraction décimait périodique 0,2722727 etc. ; si l'on pouvait en déduire une autre expression , composée de la même partie périodique , la différence entre ces deux expressions serait facile à évaluer , car eUe ne retifermerait plus qu'un nombre fini de chiffres. Qa peiut y parvenir de plusieurs manières ; voici la plus simple :
ï)e lôo fois 0|47 37 27 etc. , on 271^7 27 etc. , Otant nne fois 01^7 37 37 etc. , ou o^'i'j 27 etc. ,
/ I I]restei99foisO|a7 27 27 etc., ou 37.
Puisque sv/y vaut gg fois la proposée y cette proposée est égale à la gg* partie de 27, qui est -^. On voit que la fraction pério«
IPREMIÈRE rARTifi; 55
Sicjae proposée 0,272727610., est exprimée par une fraction
ordinaire — , dont le numérateur est la période 27 et dont le 99 . "^ ^
dénominateur 99 est comf)osé d'autant de 9 qu'il y a de chiffre» dans la période. Comme les mêmes raisonnemens s'appliqueraient à tout autre exemple , et conduiraîï^nt à des résultats de même forme ; nous établirons cette règle générale :
86. Toute fraction décimale périodique , moindre que t unité y dont la période commence au premier chiffre décimal , est exprimée par une fraction ordinaire y. qui a pouf numéra-* teur la période et pour dénominateur un nombre composé d'au-* tant de 9 , quil y a de chiffres dans la période, £n appliquant cette règle aux fractions décimales périodiques 0,777 etc., 0|3o769ia 30763a etc. , dont les périodes respectives $bnt 7 et 3507692 , on trouvera qu'elles sont eStprimées par les frafctions.
ordinaires -, — 2-JL • la seconde se réduit à -%. 9 999999 i3.
Remarque. Si la fraction décimale périodique surpassait Tunitéy on ajouterait au nombre entier placé sur la gauche de la Tjirguhy la fraction ordinaire équivalente à la partie pério^ dique ; le résultat serait lé nombre fractionnaire éffuivalént à la proposée* Par exempte,
3107 37 37 etc. = a -f" O137 37 ete, sis 3 -f- -^ =?= -^— .
yy yy
87. La conxfersiond^unefraction décimale périodique MIXTE, en fraction, ordinaire-^ se déduit de ce qui précède; il suffit de transporter la vir'gule sur la gauche de la première période, Aia8i,pour évaluer 0,1 23 17 17 17 etc., on avancera la virgule de trois rangs vers la droite , ce qui revient à multiplier plar xooo (n° 72).; le résultat^ ia3, 17 17- 17 etc. , est égal à 123
unités plus o» 17 17- etc. . on à i23 plus —, ou à — — ; la
proposée, qui est loop fois plus petite, a^.donc pour valeur
^-, et en eCFet lai division, de i2ig4 pax 99000 j donne
C|, ia3 17 17 17 cto-
Remarque. Pour simplifier le calcul , on placera successivement la virgule sur la droite et sur la gauche de la première période, ce qui donnera deux nombres dans lesquels la partie périodique sera la même ; prenant la différence entre ces deux nombres , la partie périodique disparaîtra ; de sorte qu'il sera facile d'en déduire la valeur de la fraction proposée. En effet; si Ton désigne cette fraction par x, on aura
looooo X = xaSi^f 17 17 17 T7 etc.
• \ 1000 X = laSf 17 17 17 17 etc.
Ketrancbant 1000 x, de 100000 or, il restera
g^ooo X = ia3i7 — ia3. D'oU
i23i7 -^ ia3 13194
88. L'inspection de la valeur de x, conduit à cette règle générale : Pour convertir un^ fraction décimale périodique mixte en fraction ordinaire ; faites abstraction de la virgule. Dans ce dernier nombre, supprimez tous les chiffres qui se trouvent sur la droite de la première période et supprimez ensuite toutes les périodes ; la différence entre ces deux derniers nombres, sera le numérateur de la fraction demandée. Pour dénominateur, pre-' nez un nombre composé d'autant de 9 quily a de chiffres dans la période et mettez autant de zéros sur la droite de ce nombre , quily a de chiffres entre la virgule et la première période. On
en déduit. . . .
«, 34217 — 3ia 33875
34ta 17 17 17 etc. zz T ■ -^ . .,. T . =ss i—
0(0013 078 678 etc. = — '- = ' '.
'*' Remarque. Lonqu'^on appliqnè la règle da no 86, il la fraction d^imale périodique Ot999 etc. , dont la période e«t 9 , on trouve que sa yaleor est
-, ou I. Si Ton Teut concevoir comment i* fraction 0^9999 etc., prolongée à
l''fnfini, est rigoureusement égale ^ Tunite'; on observera que plus on prend de décimales, plus on approche de Punité, car les erreurs que Ton commettrait en prenant. .. .
0,9 ou oj99 ou 0,999 ou 0,9999 ou etc.,
au lieu de l'unité , sont
0,1 ou 0,01 ou OfOoi ou 0,0001 ou etc.
