G6 . a 6 6 aiS

r franc x t X ^ , ou i franc X^X^X^, ou r-r francs.

14.7* La loi des accroissement du capital i franc e$t évidente. On en déduit cette règle générale : Pour obtenir la valeur du capital i franc , après un certain nombre d'années; calcule» la fraction gui exprime combien I franc argent comptant vaut à la fin de l'année , et multipliez le capit tal X franc j par cette fraction abstraite, autant de fois facteur qu'il y a d'unités dans le nomBre des années; le produit sera la valeur de ifrana çprès le temps donné. Pour trouuçr la valeur d'un capital quelconque après un certain temps, il sufit de multiplier la valeur de i franc aprit. ee temps , par le nombre desjrancs du capital»

148. i«T Exemple. Combien i5ioo francs argent comptant, vaudront-r ils après trois ans ? Comme i franc argent comptant , vaut , après trois ans ,

T— ^ francs (n® 146) ) , les i5oo francs argent comptait, vaudront^ après

trois ans, i5oo fois — -z francs , ou 25gix francs. En voici hipreut^e. L'ar*?

gent est à 30 pour 100 par an ; Tintérét annnel est donc le cinquième du capital^ les i5oo francs placés au commencement de la i^^ année, valent donc, à la fin de cette année, i5oo francs, plus leur intérêt 3oo francs ,.ou 1800 francs^ les 1800 francs placés ai; commencement de la 2^ année , valent à la ^ de cette année , 1800 francs , plus kur intérêt 36o francs, ou 9160 francs; enfin , les a 160 francs , placé» an conHuencemene de la 3* année , val^t à la fin d« cette année, 11160 francs plus leur intérêt 43^ francs, on aSga francs. Puisque ]5oo francs, argent comptant, valent, après 3 ans, aSga francs j raugmentation du capital i5oo francs , est de 109a francs pour 3 ans, en ayant égard aux in-> téréts des intérêts. Mais, Paugmentation due aux intérêts simples ne serait quo de 900 francs (np i4i ). On voit donc combien il est avantageux à celui qui place des fonds , d'auoir égard aux intérêts de» intérêts , c'est-a^ire, de retirer chaque année Pintérêt pour le joindre au capital, La règle du »• 147, s"^ applique également »des années, h des mois, k des jours , etc.

149. Tfi ExEiinA. On vaudrait trouver e^mhien' 1S90 francs , aident

comptant, vaudront, après 3 ans 5 mois, L^in térêt de i franc est, de ^ frane

pour la mois , de g- franc pour un mois 9 de ^ franc, ou — franc , pour 5

mois. Far conséquent, i franc^paysdiJe aune époque quelconque^ vaut.

SECONDE partie; 83

5 mois plas tard, j franc H- — franc, on — frjincf j doBCj i fran^? |»ajabl«

la ' la

t3 dans 3 ans, vaudra, dans 3 ans 5 14018, -r- francs j mais i franc, argent comp*

tant, vaut , après 3 ans , — s francs {n^i^6) j ces — r francs , payables dans

3 ans , vaudront donc , dans 3 ans 5 mois, les — = de — francs, ou — = francs. ' ' ia5 ^a ia5 .

Pms<]ue I &anc argent comptant vaur, après 3 ans 5 mois , — g francs ; les

i5po francs argent comptant, vaudront, dans 3 ans 5 mois , i5oo fois

-^ francs , o^ a8o8 francs,

i5o. On demande combien une somme , payable dans un certain nombre d'années, vaut argent comptant, en ayant égard mbc intérêts des in^. téréts. D'après ce qu'on a vu (no i43) , ii^ l'on divise ta somme, qui est payable an bout d*un certain temps, par la valeur de \ franc après ce temps, le quatient exprimera le nombre des francs du capital primitif, La valeur de 1 franc après le temps donné , s'obtient au moyen de la règle du no 147.

ï5ï. i«* E«MiaE. Combien ^5q2 francs , payables dans 3 ans , valent^ ils en argent comptant ? Si Ton divise les aSga francs , payables dans 3 ans ,

par la valeur de i franc, après uois ans , qui est — 3 francs (n© i4Q» ï« qu»-

tient a5ga x i-^, ou i5oo, seya le nombre des francs du capital primitif j

les ^Sg-i francs , payables dan^ 3 ans , valent donc i5oo francs argent eomptant.

iSa. a« ËxEHPLi:. Calculer combien a8o8 francs , payables dans 3 ans 5 mois, valent en argent comptant. Qa divisera les a8o8 francs, payables,

a34p dans 3 an» 5^ mois , parla valeur de r franc après ce temps , <pii est ^*«**ca

(n» 149) j le quotient a8o8 x -^ ou i5oo, indiquera que /m aSoSjrancs,

payables dans 3l ans 5 maU,. valent i5oo francs argent comptante

i53. On propose d^èveduer , gtu argent comptant, deux sommes , V de 6000 francs , payables dans a5 iwn>, V autre de tjooq francs, payabU dans ^mois, nintérét vmple de Vargent est k a pour wo par mois ^ L'intérêt de 100 franc» est , pou» i moi», de a franc», pour a5 mois, do 5o ûnnc», et pour 4 mm , àm B franc». Dtmc , i9»ffyanos comptant , valent, ï5o francs après 26 mois, a icB firmes après 4 '»ow« Ccïa posé : Puisque i5o francs, payables dans a5 mois, valent comptant 100 francs,,

1 franc, payable dans a5 mois, vaut comptant ^ francs, ou . . ^francii. Les €000 francs t. payables dans aS mois r Tolj^nidono^eQ, açgeat comptas,;

une

go NOTES ,

6000 foii -s ffanct, oa 4p<h> francs. On trouTera de m^me que le» 97000 francs,

payables dans 4 mois , valent aSooo francs comptant. Ainsi , Vargent étant à 3 pour loo par mois , deux sommes^ l'une de QooofrancSf payable dans a5 mois , Faûtre de 37000 francs , payable dans 4 mois , valent ^ooo francs et a5ooo francs , argent comptant ; ce qui diminue chaque somme de aooo francs. Cette cUminiUion prend quelquefois le nom à^escompte-

i54* Un militaire f qui a besoin d'argent comptant, se présente chez un banquier avec deux lettres de change , l'une de 6000 francs , payable dans a5 mois , l'autre de vjnoo francs , payable dans 4 mois. Le banquier prend un intérêt ou escompte de a pour 100 par mois. Combien le ban" quier doit'il donner au militaire ? On n*a égard qu'aux intérêts simples. Ce problème ne di6P<&re du précèdent que par la forme de renonce. Chaque lettre de change éprouvera donc une perte ou escompte de aooo francs ; le militaire recevra donc, ^000 francs -^ ^Sooo francs , ou Tigfyoo francs»

Voici une solution plus directe, LVscompie de 100 francs est, ponfun imoîs , de a francs , pour a5 mois , de 5o francs , et pour 4 mois , de 8 francs. De sorte que 100 francs comptant Talent, i5o francs après a5 mob, et 108 francs après 4 mois. Deux lettres de change , Tune de I50 francs* payable ' dans aS mois , Tautre de 108 francs , payable dans 4 mois, ne vaudraient donc cbacnne qae 100 francs comptant; les escomptes relatifs h ces lettres de change seraient donc 5o francs et 8 francs. La solution du problème se déduit de cette remarque. En effet; puisque pour a5 mois. .....

L^escompte de i5o francs est • 5o francs.

L'escompte de i franc sera -?-- francs, on -x fr^nc.

L'escompte de 6000 francs sera donc — r— francs » ou aooo francs.

On verra de m^me ^e l'escompte des 37000 francs est

37000 fois — francs , ou 3000 francs.

i55. Un certain capital, augmenté des intérêts simples, valait laSS francs après 5 mois , et i3ia francs après 16 mois. Il faut découvrir quel était le capital et le taux, de P argent. Comme le capital primitif valait, ia35 francs après 5 mois, et iSia francs après 16 mois, il s'est accru de 77 francs en 11 mois, on de 7 francs en un mois , ou de 35 francs en 5 mois ; mais, après cet accroissement, il yaut ia35 francs; le capital primitif était donc laoo francs. On en déduit le taux di' Targent, car l'intérêt de laoo francs ^tant de 35 francs poiur 5 mois , ou de 7 francs pour un mois ', laoo francs xapportent 84 francs par an. L'intérêt de 100 francs par an , est donc 7 fiancs* Ainsi, Vargent était a 7 pour 100 par an. Et en effet ; )orsq[ue l'argent est à ce taux , on trouve que laoo francs argent comptant valent , I335 francs après 5 mois, et i3i 3 francs après 16 mois (n^ r4o), comme l'exige la question.

i5^ Un particulier ^ qui doit une rente perpétuelle de 3300 francs ,

an capital de uùoo francs ^ voudrait acquitter en, a ans y la rente et le capital, au moyen de deux paiemens égaux effectués a la fin de chaque année. Quelle doit être la valeur de chaque paiement ? On a égard aux intérêts des intéréts^hsi rente y ù200 francs, étant le 5^ du capital, i franc place an commencement d'une année, vaut à, la fin de cette année, i franc

H- 7 franc, on i franc' x =^ les 1 1^00 francs comptant Tandrontdonc (n^ 147)»

fi fi i^iooo francs x r x = , ou i5 84^^ francs , à la fin de la 2« année ; les

deux paiemens réunis, évalués à cette dernière époq[ue, doÎTent donc ▼aloir i5 ^oitancs. Mais , le i«r paiement, effectué à la fin de la i^e année p

Tant à la fin de la a^, les ? de sa valeur ^ le a« paiement, effectué à la fin

de la a« année , vaut à cette époçpe les s de sa valeur ; les denx paiemens

réunis , évalués à la fin de la a« année, valent donc les = plus les s, on les -^

du ler paiement. L<es -7- du i«r paiement sopt donc i5 840 francs ; le 5^ du

1er paiement est donc ^ francs on i44o francs^ le premier paiement est

donc, 5 fois 1440 francs , ou 71100 francs.. On acquittera donc la rente et le capital , au moyen de deux paiemens de 7^00 francs chacun , effectués Pun à la fin de la première année , l'autre à la fin de la seconde. Et en effet j le premier paiement, effectué à la fin de la i'* année, est 7300 francs; on doit aaoo francs pour la rente des 11 000 francs; on. n'*acquitte donc réellement que 5ooo francs,, sur Je capital 1 1000 francs , qui par là se trouve réduit à 6000 francs ; ainsi , on ne doit tenir compte, pendant la seconde année, que de l'intérêt 1200 francs, des 6000^ francs , qui restent dus ; cet intérêt , joint aux 6000 francs , donne 7200 francs, pour ce qui reste dû à la fin de la a* année; le second paiement , d« 7300 francs , effectué à cette époque , acquitte donc le reste de la dette.

157. On propose d'acquitter 33 10 francs , en trois paiemens égaux effectués à la fin de chaque année; Vargent est a 10 pour 100 par an , et l'on <i égard aux intérêts des intérêts. Si l'on raisonne comme dans l'exemple précédent , on trouvera que chaque paiement doit être de i33i francs,

i58. On offre a un marchand , 3o mètres d'un drap de première qua» '

lité h -^ f pour 730 fronces argent comptant ; ou 5o mètres d^un drap de

seconde qualité h — , pour i%oo francs payables dans deux ans. La se-

eonde qualité de drap est les -r^ de la première; Vargent est a 10 pour

100 par an , et Pon a égard aux intérêts des intérêts. Le marchand

demande quelle est la ipèeuliUion qui lui sena la plus avantageuse^ Pour rt'soudre ce problème , il faut chercher quel «anic, aux conditions

du premier marché , le prix des 5o mètres de drap de seconde «pialité à ' — ;

ce prix , compare à celui qui résulte du âecond mntobé , fera connaître la spéculation la plus avantageuse. Effectuons les calculs :

jiux conditions du premier marché ; 3o» de drap de première qualité

à -^ , eoÂtenC 790 francs comptant ; mais , la deuxième qualité est les -^

de la première ; So^» de drap de seconde qualité à — , coûtent donc , xooo.

francs argent comptant (n<* iSa), ou iai« franc» payables dans deux ans.

Ainsi, 5o mètres de drap de seconde qualité à — , payables dans deux ans,

coûtent au marchand, 12 10 francs aux conditions du premier marché et laoo francs anx conditions du second marché. La seconde spéculation est donc la plus avantageuse au marchand.

iSg. Les tables , "placées à la fin de ce Toîume, donnent le moyen de résoudre toutes les questions relatives aux changes étrangers. Par exemple , pour calculer combien iSooo francs , valent de guinées anglaises, on dira: 100 giûnées angiitises , relkut ^éStG francs ; un franc vaut donc

-TT-^ guinées j les iSooo francs valent donc, i5opo fois —^guinées, ott

571 guinées 1 3i etc.

Cent PIASTRES d^ Espagne y valent Sag i?r Aires dt fronce , et ii6r francs , valent 1 00 ddoatb deUoltande. Onder/tande combien 74^3 piastres,

valent de ducats ? D'après cet énoncé , nue piastre vaut -^ franc» et ttn

franc vaut — rr- ducatl. La piastre vaut donc les — de — ^.ducaiSj-on iibt '^ 100 nbi'

——■ dttcatSk Ees-3^^ piastres valent donc, 3483 fois — ^ ducats , ou

1587 ducats.

On calculerait de même combien Tunîté de monnaie de Tuir qndccuque des pays désignés, vaut en monnaie des antfes^pay», cap ayanr profité- cfns

1 P>asir0 — ±Î9 = -^ i on en» déduit que. . . .

100 iioi ' ^

!/'•■• rrr— — ss etoue ià*eat — ;;:;., — —

,039 ii6i 100 5a9

Deux marchands se réunissent p pour échanger des marchandises ; ils conviennent de donner, :i mètres- de drap, pour 3 mètres de Casimir, ou 5 mètres de casimir en échange de 7 mètres de basin. Combien friurdra^t'U donner ds mètres de basin , peur So mètres de drap ?

9«a de drap en Talent 3 de casimir et 5™ de casimir en Talent 7 de ba^in* Donc

im de drap Tant. ... - de casimir* et i>n de casimir Tant... i de liasin. *^ a . 5

iiB de drap Tant donc. - de casimir , ou les - de -^ de basin, ou — de basin. *^ 2 a 5 • '10

lex 60» de drap valent donc, 60 fois — , ou ia6 mètreâ de basin,

160. La règle ^e Ton donnak poiir jKflondi% les proUèmes du no 1 59 était connue sous le nom de Règle conjointe. '

Rapports et Proportions»

i6t. Remarque, Dans tons les traités d'ArithméUqne , les solutions des ^oblèmes précédens , étaient fondées sur la théorie des rapports et des proportions. J'ai cherché à faire Toir, que la combinaison des quatre règles, suffit pour résoudre touUê les questions de VAritlmiétiquey ce qui offre le double aTantage d'exercer le jagcment, et d'ériter des théories obscnres et compliquées. Je me bornerai donc è donner «me idée des rapports et des proportions.

i6a. Le nombxe 3 étant les -7 de 4 > "O* <xpik»e qu^une quantité esc

les 7 d'une antre quantité ^ en dUant qne Ja pnemiéf» eat ii ia seconde dans

le rapport de 3 à 4 9 on comme % est h É^:^ -ce qui signifie , qne la première quantité , contient autant de fois la aeconde , qne le premier nombie 3 con-

tient le second 4 » c'esi4i-dire - de fois j ou que le quotient de la première

quantité par la seconde est y , comme celui de 3 par 4- Les nombres 3 et

4i sont les deux termes du rappert» Et en général^ te RA^roar entre deux quantités , est le quotient de la dit*iéion de la première quantité par la seconde. On pent donc faire sur les deux termes d'un rapport, sans en changer la Taleur, tontes les opérations qu'on ferait sur no dÎTidende et sur un diTiseur, lans changer le quotient.

i63. Ainsii ici» rapport ne change pas, lorsqu'on multiplie ou lorsqu^on duàse ses deux termes , par un même nombre. Le rapport de a À 3 est donc le même que celui de ao à 3o. On dit, par cette raison , que.. ./....

a est À 3 contjsie ao est a 3o.

L'ensemble de ces quatre termes , se nomme proportion.

164. En général : l'égalité des de^u: rapports ^ forma un§ pfop^rtien*

La proportion ,

a est à 3 comme ao est à So,

a ao exprime que - = ^.

Les nombres a et 3 y sont V antécédent et le eoméquent dn !«' rapport ; 30 et 3o, sont V antécédent et le conséquent dn a® rapport; a et 3o se nomment les extrêmes; 3 et ao sont les moyens, Denx points ainsi places : signifient est h, et quatre points ainsi disposés H signifient comme* "De sorte qne la proportion précédente s'écrit. . .

a : 3 :: ao : 3o.

Cjda exprime qne

a dwisé par 3 est égal à ao divisé par 3o.

Les rapports -s» %7 t étant égaux, on écrit