ai
Gela signifie que
a est à S, comme 4 e«£ h 6, comme 14 est à ai.
i65. Dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens y car la proportion, . .
a : 3 *C ao : 3oy exprimant /qne •= = ^»
si Ton réduit ces fractions an même dénominateur^ 3 x 3o, les nnméra* teurs a X 3o, ao X 3, seront nécessairement ^aux.
166. Réciproquement, lorsque le produit des extrêmes est égal au' produit des moyens ^ la proportion est exacte^ car Pégalité....
•» -k j ax3o aox3 a ao ^^^. .«
ax3o = aox3, donnant 5^^ = ^-^^, on j=5j; on a, a:3..ao:3o.
Cette dernière proportion peut prendre ces huit formes....
a:3::ao:3o, a:ao::3:3o, 3o:3::ao:a, 3o:ao::3:a, 3:a::3o:ao, 3:3o::a:ao, ao:a:;3o:3, ao:3o::a:3,
car, dans chacune de ces proportions, le produit des extrêmes est égal au produit des mojens.
167. Connaissant les trois premiers termes d'une pff^portion , on peut toujours en déduire le quatrième terme, car ce quatrième terme est égal au produit des moyens, divisé par l'extrême connu. En effet; si les trois pren^iers termes d'une proportion étant a, 3 et ao, on désigne k quatrième terme, p^r x, on aura
a : 3 :: ao : xj d'oii (n» i65), a X X = 3^ X ao;
3 X ao étant le produit de a par x; en divisant le produit 3 X ao, par
3 X ao le facteur a, le quotient ;, sera égal au second facteur x. Ce qui
dépiontre le principe énoncé.
SECONDE PARtiE. gB
« 1681. Quand on fêûéênt sur la nature des rapports qn! existent entre les causes et 1rs effets qu'elles déterminent, on s^aperçoit qu'il en est de deux espèces, l^ar exemple , un ouvrier fait d'autant plus d'ouvrage qu'il a plus de force j donc. Us ôu\f rages faits par deux ouvriers y dans les mêmes circonstances , sont dans le rapport de leurs forces. Au contraire, plus un terrain est dur , moins est grande la quantité d'ouvrage qu'on y fait ; donc , les quantités d'ouvrage faites dans deux terrains différens , tout étant d'ailleurs égal, sont d'autant moindres que -les duretés de ces terrains sont plus grandes. Dans le premier cas , on dit que les ouvrages faits sont dans le rapport direct des forces des ouvriers , et dans le second y que les ouvrages faits sont dans le rapport inverse des duretés des terrains.
169. En général : Dh 'rapport est direct , quand le plus grand efet répond h la plus grande cause , et un rapport est ihyerse , quand le plus petit effet répond à la plus grande cause. Une règle de trois, est directe ou inverse , suivant que les rapports que ton y considère , sont directs ou inverses. Les questions des n®* 127, ia8 et i33y dépendent des règles de trois directes , et les problèmes des u9^ i3o, i34 et i35 » •ffrent des exemples de règles de trois inverses.
Les diffici^ltés de deux ouvrages se mesurent par les temps employés h faire la même quantité de ces ouvrages. Ainsi, les duretés de deux terrains étant comme 3 est h 4 9 les difficultés des ouvrages dans ces terrains «t les temps employés pour faire la mcme quantité de ces ouvrages y sont aussi comme 3 est, à 4* Conséquemment , si Ton emploie 3 heures à faire un mètre 'du premier ouvrage , il faudra employer 4 heures pour faire un mètie du second ouvrage. Les ouvrages faits en une heure, dans les deux
terrains , sont donc 7 et 7 d« mètre. De sorte que, les difficultés de deux
ouvrages étant comme 3 est à 4 > le* ouvrages correspondans sont comme ^ «f t à •; , OU comme -^ est à -7- , ou enfin comme L est à 3.
170. On voit donc que, pour passer d'un rapport htterse, au rapport »f RBCT correspondant , il suffit de changer tordre des termes du premier rapport , et réciproquement. •
171. Les solutions de la plupart des problèmes précédens peuvent se déduire de la théorie des rapports ; mais pour éviter des répétitions inutiles , nous ne considérerons qu'un problème de chaque espèce.
Dans le n» 137, oii l'on voulait trouver le prix de 5 mètres de drap^
/es 12 mètres coûtant êfi francs y on observe que les prix étant propor-
âmmels aux nombres de mètres; coinme 5 est les — de la, le prix des
la
St mètres est les ~ du prix 4^ francs de la mètres ; c'est-à-dire ao francs.
Dans le a* ia8, il s'agissait de trouver ççmbicn on atirait de mitres
gÇ NOTES ,
de drap pour io francs f les i% mètres coûtant ^9 francs. Les nombres
âe mètres de drap ëtant proportîbnnels aux pidx; comme ao est les 7- 9
OU les — , de 4^, pour ao fraucs, on aura les — de ce qu'on a pour
48 francs, c'est-à-dire les — de la mèires, ou 5 mètres.
Dans le n« i33, oh Ton proposait de trouver Vouurage de g ouvriers, lorsque 4 ouuHers font ao mètres ; on dira i les ouvrages sont propor^
tionnek aux nombres d'ouvriers; mais 9 est les ^ d« ^> l'ouvrage de 9
ouvriers sera donc les ^ des ao mètres faits par 4 oumers, c'est-à-dirfi
45 mètres.
Dans le n« i3o, on demande combien il faut prendra de mètres de
toile à -r , pour doubler 3o mètres de drap à ^ , on dira : pour couvrir o o
une surface doaaée , il faut d'autant plus de mètres de toile que la toile
est moins large; par coasëquent, pour former la même surface, lek
nombres de mètres doutent être eh raison inverse de leurs largeurs ;
or f les largeurs de la toile «t du drap sont comme ;? est âi ;t 9 ou comm6
5 est & 6 j donc pour couvrir la même surface , les nombres de mètres de
toile et de drap doivent être dans fe rapport inyerte de 5 à 6, c^est-à-dirc
-comme 6 est à 5 (n? 170 ) ; mais 6 est les p de 5 j Ja quantité de toile
demandée est donc les 7 de 3o mètres, on J6 mètres.
17a. On propose de partager 35, en deux parties proportionnelles
aux nombres 3 et 4* Si le nombre à partager était 3 + 4> ^^ 7> ^ P^®^
mière partie serait 3 et la deuxième serut 4* Si le nombre k partager était
le 7* de 7, ou I y les parties, devant conserver le même rapport, seraient
7 fois plus petites, c'est-à-dire ■* et -. Or, le nombre à partager est
35 fois I , les parties sont donc , 35 fois - et 35 fois 2 , c'eat-à-dire s5 et ao.
Ces parties satisfont à tontes les conditions du problème, car leur
somme, compose le nombre 35 à partager, et iS^t^nt les 7 de ao,
La i«r« partie : la s* :: 3 : 4*
173. Partager 45» en trois parties proportionnelles 4atx nombres 3, $,7. D'après cet énoncé, la somme des trois parties est 45, et.. ... «
La !«'• partie ! la a« :: 3 ! 5.
La ier« partie : la 3* :: 3 : 7.
La ae partie : la 3» t; 5 : 7.
La dernière ptoportion n'est qu'une conséquence des deux autres f
car en vertu des deux premières proportions ,
La a« partie est les ~ de la i^rc^
La 3^ partie est les > de la i*'*.
5 n Donc, la a« partie : la 3« :: j : ^ :: 5 : 7.
Cela pos^ ; si le nombre à partager e'tait ,
3 + 5 + 7, o^ ^^i ^^ parties seraient 3,5,7.
S» le nombre à partager était. .....
Le i5* de i5, ou I, les parties seraient -^, -^y -^ê»
Le nombre & partager étant
45, ou 45 fois I, les parties seront, -= X 4^, -r X 4^ «* -^ X 45#
