i5 :.ai

174. Partager 78, en trois parties telles, que la 1*^ soit h là ae^ momme a est à 3 et que la i^* soit à la 3®, comme 5 est h 7* Pour ramener cette question h la précédente , il suffit de chercher quelles seraient les parties, si la i^« était Tunité. Or, d''après Tcnoncé, la ae partie est

les - de la i'« et la 3« est les ^ de la ire. Par conséquent , si la ir«

partie était i , la a< serait -^ et la 3« serait c j les parties demandées doi-*

vent donc être proportionnelles aux nombres i, -*, é. Pour simplifier, on

Innltt pliera ces nombres par a x 5, ce qui ne changera pas leurs rapports ^ et la question sera réduite k partager 78 , en trois parties proportion^ nelles aux nombres 10, i5 et t4' Raisonnant comme dans le n^ 173, on trouvera qae les parties demandées sont , ao , 3o et aÔ. Ces parties satis^ frnt h toutes les conditions du problème , car leur somme est le nombre 78 à partager, et

La î«" partie : la a» M ao : 3o :: a : 3, La i«fe partie : la 3« :: ao t a8 :: 5 : 7*

Notes, Jrithm. 7

1 76. Un homme laisse , en mourant , 7800 francs à sa femme en* ceinte, à condition que, si elle a un fils f elle prendra 3i!ko francs et le fils le reste, ^GSo francs; et que, si elle a une fille, la mère prendra 3a5o francs et la fille le reste , 455o francs. Elle accouche d'un fils et tPune fille» Il s'agit de découvrir comment on peut satisfaire aux volontés du testateur. Puisse la somme 7800 francs , qui devait n'être partagée qu'entre deux personnes, doit Pétre entre trois, les parties ' ne peuvent plus être les mêmes. On doit donc chercher trois parts qui conservent entre elles les rapports énoncés dans le testament, et dont la somme compose Théritage 7800 francs. Mais f

La part de la mère est k celle du fils....

:: 3i2o : 4680 :: a X ise© : 3 x i56o :: a : 3.

La part de la mère est à celle de la fille....

Par conséquent , si l'on considère les parts de la mère , du fiJs et de la iiile, comme la i^re^ la ^e et la 3«, la question sera réduite à partager ySoo francs en trois parties telles, que la i^^^ soit à la a®, comme a esta 3, et que la i«'« soit à la 3^ comme 5 est à 7. Ces parties sont 3000 francs, 3ooo francs et a8oo francs (n® 174 )• Elles expriment les parts respectives , de la mère, du fils et de la fille. Ces parts satisfont à toutes les conditions du problème, car leur somme compose l'héritage 7800 francs' j

la part de la mère est les ^ de celle du fils , comme 3iao francs est

les - de 4680 francs, et la part de la mère est les - de celle de la fille, 3 ^ 7

comme 3a5o francs est les - de /èSSo francs.

176. Un premier ouurier , qui travaille dans un premier terrain, fait en ^^ heures, a88 mètres d^ ouvrage; un second ouvrier, qui travaille dans un second terrain, fait en a4 heures, g6 mètres d'ouvrage, Zm dureté du premier terrain est à celle du second, comme 3 est a 4* On demande quel est le rapport des forces des deux ouvriers. Les duretés des terrains étant comme 3 est à 4') les ouvrages correspondans sont comme

4 est à 3 (n<> 170). Mais, 3 est les ^ de 4; ^ouvrage fait dans le second

tetrain est donc les 7 de l'ouvrage fait dans le premier. Cela posé.

Le premier ouvrier, en 36 heures, dans le premier terrain, fait a88>".

Le prem. ouvr. , en i h. dans le prem. terr. , fait le 36® de a88™, ou Sn*.

Le prem. ouvr.V en i h. dans le a« terrain , fait les y de 8™, ou. . . 6>n.

Le prem. ouvr. , en a4 h* à^us le a® terrain, fait a4 fois 6™, on. . i44"** Le a* Ottvr. , en a4 h. dans le a® terrain , fait 9^*

Puisque , pendant le même temps et dans le même terrain , le premier ouvrier fait i44 mètres, et le second g6 mètres, la force du premier ou- %*rier est à celle du second , comme i44 ^^ ^ 9^ > ou comme 48 X 3 est ^ ifi X 2, ou comme'3 est à !2.

PROBLÈMES AMUSAJNS.

177. Deux soldats dînaient ensemble ; l'un af^ait fourni cinq plats et Tautre trois. Un étranger les prie.de Padmettre à leur table, auec lu promesse de payer sa part. Il donne % francs pour son écot ; le proprié' taire des 3 plats , prend 3 francs et donne 5 francs au propriétaire des 5 autres plats ; ce dernier prétend que le partage est injuste. Un officier décide que le maître des 5 plats doit at^oir'j francs, tandis que le maître des 3 plats ne doit prendre que 1 franc. Il s'agit de découvrir le motif de cette décision.

Puisque Tc'tranger paie 8 francs , pour le tiers de Tecot ^ l'ecot total est de a4 fi^^iics, pour les 8 plats \ chaque plat coûte donc 3 francs ^ le proprie'laire des 5 plats doit donc prendre i5 francs j mais il doit remettre 8 francs pour son e'cot \ il lui revient donc 7 francs. Le propriétaire des 3 plats doit prendre 9 francs et remettre 8 francs pour son écot j il ne lui revient donc en effet qu'un franc.

178. Un corps, plongé dans un vase qui contient 100 pintes d'eau , perd iaî& de son poids ; combien faut " il faire dissoudre de livres de sel, pour que le même corps, plongé dans teau salée, jr perde igife de son poids ; .100 pintes d'eau douce ^ pèsent 60^. On sait qu'un corps plongé dans un fluide y perd une partie de son poids , égale au poids du volume de fluide qu^il déplace. On suppose que le sel en se dissolu, vont dans l'eau, ne change pcis le volume de Veau.

Comme le corps doit perdre lalb de son poids dans l'eau douce , il déplace un volume d'eau douce dont le poids est lalb. Ce volume est facile à déterminer, car

6oîb exprimant le poids de ioo pintes d'eau doUce ,

ilD est le poids de, -^ ou », pmtes,

lalb est le poids de 12 fois ^ pintes , ou de 3o pintes*

Le corps déplace donc un volume d'eau douce de 20 pintes , dont le poids est I2lb. Pour que le poids des 20 pintes déplacées, devienne 19I&, il faut Il ces 20 pintes, joindre 7Îb de sel. Donc, sur les 100 pintes d'eau douce, que contient le vase , il faudra mettre, 5 fois 7tb ou 35 Vbàe sel.

17g. Un bassin est alimenté par deux fontaines ; la première coulant

seule , le remplirait en -^ heures et la seconde en y d'heure, La totalité de Peau que peut contenir ce bassin t sortirait en 3 heures par un

ÎOO NOTES ,

troisième conduit. En combien de temps ce bassin , supposé vide j^sera-t-U

rempli, lorsque l'eau coulera par les trois out^ertures à la fois ?

La première fontaine remplit , en - heures one fois le bassin, en 3 heores

a fois le bassin • et en une heure les ;- du bassin. On verra de même cni'en

une heure ^ la deuxième fontaine remplit les ^ du bassin et que la troisième

QUTertnre vide ». du bassin. Ainsi , ^and Teau coule par ces trois ouvertures à la fois , la partie du bassin qui se remplit en une heure y ett ^ ^ ^ .. - y ou r. Le bassin serait donc rempli 5 fois en 3 heures. Le bas*

sin sera donc rempli en -s tT heure , ou en 36 minutes.

Remarque. Si Peau ne sortait pas du bassin , les deux fontaines coulant

ensemble, rempliraient par heure, les tt plus les ? du bassin , ou deux

fois le bassin. Le bassin serait donc rempli en une demi'heure.

i8o. Un courtier a payé des marchandises, qu'il reuend pour ^53 francs déplus qv^il ne les await achetées. A ce marché , il gagne i5 pourioo sur le prix de vente. Quel est le prix d* achat des marchandises ?

Le gain i5 francs, répondant au prix de vente lOo francs ,

Le gain i franc, repond au prix de vente —s- francs, ou -r- francs.

Le gain 753 francs, répond au prix de vente, 753 fois -^ francs, on 5o2»

firancs.

Le courtier a donc revendu ses marchandises pour 5oao francs. Le prix d^achat est donc 5oao francs — 753 francs , ou 4^67 francs.

181. Un homme laisse, la moitié de son bien à son fils y le tiers à

sa fille ,. et les 10 000 francs qui restent à sa veuve. Il faut trouver le

bien du dtfunt et la part de chaque enfant. La part du fils , jointe k

celle de la fîlle, composent - -f« r, ou les t:, de Phéritage. Les 10 000 francs

qui restent à la mère , expriment donc le sixième du bien total j ce bien est donc 60 000 francs. Le fils en prend la moitié , ou 3o 000 francs j la fUle en prend le tiers , ou 20 000 francs j il reste donc 10 000 francs à la 4nère.

iSa. Diophante, V auteur du plus ancien livre d'Algèbre qui nous reste, passa tians l'enfance la sixième partie du temps qu'il vécut 9t dans V adolescence la douzième partie du même temps ; ensuite il se maria et passa dans cette union le septième de sa vie augmenté de cinq

SECONDE PARTIE. IQ^

iins , avant d'^apoir un fils , auquel ilsuruécut quatre ans et qui n*atteîgnU que la moitié de Vâge auquel son père parvint. On demande l'dge qtûa^ t*ait Diophante quand il mourut, Diophante passa, le 6^ de sa vie dans l'enn fance, le la® dans Padolescence , le 7^ pins 5 ans, dans le mariage avant d'avoir un fils, la moitié de ee^ vie avec son fils, et 4 ans après la mort de son fils \

ce qni fait les ^7 de sa vie, plus 9 ans j mais il passa sa vie entière dans ces

divers ^tats; les ^ deTâge de Diophante sont donc 9 ans ; 57 de cet Age esc ,04 04

donc un an. Diophante vécut donc ^ans. Si l'on fait \% preuve, ontroa-.

vera qae Diophante passa, i4 ai^s dans Penfance, 7 ans dans l'adolescence «

17 ans dans le mariage avant d'avoir un fils , 4^ ans avec son fils et 4 an4.

après la mort de son fils ; ce qni fait 84 ans en tout.

i83. Un fiomme, qui entre dans une église avec une somme d? argent entièrement composée d*étus de ^* y donn^ autant de pièces de m-^ qu*il a d*é€us. Dieu , change les écus de 3^ qui lui restent en pièces de 5^< Le dévot sort de Véglise avec un nombre exact de pistoles , et donne lit par pistolej il lui reste un nombre exact de demi'louis. Dieu change ces demUlouis en pièces de 31^. Le dévot ayant dépensé 3^, rentre chez lui avec autant d'éeus de &^ ^ qu'il avait d*écus de 3^ en entntnt dan9 Véelise, Quelle somme d'argent avait-dl d'abord f^

Le dévot entre dans fëglise avec une certaine somme d'argent ; il donna j^S par ^cu de S"^, c'est-à-dire le cinquième de ce qu'il a j il ne lai reste

donc qne les ^ de ce qu'il avait d'ahord. Dieu change les ëcus de 3'''' qni lui

restent , en pièces de 5*^ ; mais 5^ valent les ^ de 3^. Le dévot aura donc ,

après ce changement, les t de ce qui lui restait, c'est-à-dire les ^ des s do

la somme primitive , ou les ^ de cette somme \ il donne x'^par lo"^ , c'est-à*

dire le dixième de ce qu^il a j il ne lui reste donc que les «^ de son ar '

gent et comme cet argent est les ^ de sa somme primitive, il ne lui reste que

les -^ des ~ de cette somme, c'est- à-dire , les -r- ou les ? de son argent, primitif. Dieu change ses pièces de la"^, en pièces de 3i'#'^ or ^v9-- sont. les ~ de 13''^; le deVot aura donc, après ce changement, les ~ de ce qui lui res-

tait, c'est-à-dire les y des -s de son argent primitif, on les — de cet ar->

gent. Mais , — valent a -f- — ; si donc ild^pensait le dixième de son argent

primitif, il rentrerait chez lui avec le double de cet argent, c'est-à^c^ire avec autant d'e'cus de 6*^ qu'il avait d'abord dVcus de 3^ , coni^e. l'cxig*.

ioa NOTES >

renonce. Il faut donc que sa dépense 3*^ , soit le dixième de son argent piiznitif, et par conse'qaent que la somme qu'il avait eu entrant dans régiii»e soit 30''''. Ce nombre satisfait à toutes les conditions du problème, car le dévot entre dans Teglise avec 3o^, ou lo écus de 3^ ^ il donne aux pauvres 10 pièces de' 12»^, ou 6"^j il lui reste a4^, ou 8 ëcns de 3*; ces 8 cens de 3^ se changent eu 8 pièces de 5*^ , qui valent 4^"^ > ^^ 4 pi^toles \ il donne f-y^ par pistole , c'est-à-dire ^"^ sur 4 pistoles j il ne lui reste donc que 36*^^ ou 3 demi-Ioais; chaque demi -louis se change en une pièce de 21^; les 3 demi -louis deviennent donc 3 pièces de ai"**, ou 63"''' 5 le dévot dépense 3"#' 5 il lui reste ^if" , ou 10 écus de C^i^, c'est-à-dire autant d'écus de G^ qu'il avait d'abord d'écus de 3^.

184. Deux couriers vont dans le même sens. Le premier a une avance de 1 38 lieues , fait 3 lieues en 4 heures et part 40 heures avant le second , qui parcourt 6 lieues en '^heures. On demande} dans combien de temps les couriers se joindront et quelles seront les distances des points de départ au point de rencontre ?

Le ler Courier en 4 heures fait 3 lieues ;

Le i^' Courier en une heure fait 7 lieue 1

Le i^>^ courier en 40 heures fait 3o lieues.

Lorsque le second courier part , le premier a donc une avance de i38 lieues plus 3o lienes , ou de 168 lieues ; le second courier ne rencontrera donc le premier que lorsqu'il s'en sera rapproché de 168 lieues. Mais ,

Le 2« courier en 7^ fait 6 lienes^.

Le a» courier en ih fait donc ; - lieue.

Mais, le i^^ courier en ih fait - lieue»

Les couriers se rapprochent donc, de ou -rr lieue, en iK

de 3 lieues en aSli, de I lieue en -5- .

QJ,

Il se rapprocheront donc de 168 lieues, en 168 fois ~ ou i5681^.

Ainsi, après i568 heures de marche, le second courier rencontrera le

premier. Le second courier aura parcouru i568 fois - lieue, ou i344 lienes.Le

premier courier, qui part 40 heures avant le second , aura marché pendant

1608 heures et aura parcouru 1608 fois •? lieue, oui ao6 lieues. Les espaces 1306

SECONDE PARTIE. lo3

lienes et 1 344 dettes, parcourus par les deux conriers, exprimant respecii- ▼ement les distances des points de départ au point de rencontre, lenr différence doit 4tre égale à la distance des points de départ ; et en efièt^ cette différence est 1 38 lieues.

i85. Deux couriers vont dans le même sens ; le premier a une avance de aoo lieues , fait 3 lieues en 4 heures et part ^o*heures avant le second , qui fait 6 lieues en 7 heures. Après combien d'heures de marche le second courier ne serait-il plus en arrière du premier que de 6a lieues ? Si Ton répète les calculs du problème précédent , on trouvera que le

premier courier parcourt -% de lieue par heure et a fait, avant le départ du

deuxième courier , 3o lieues, qui, jointes aux 100 lieues que x^elui-Ik avait

d'avance, forment une avance totale de vâo lieues. Par conséquent, poar

que les deux couriers ne soient plus dis tans que de Ga lieues , le second

doit se rapprocher du premier de, a3o — 6a , ou 168 lieues. Ce rapproche*

ment aura donc lieu en i568 heures de marche (n« 184 )•

Dans les deux problèmes précédens , les espaces parcourus par cliaqne

courier étant proportionnas aux temps employés à les parcourir, on dit que

le mouvement est uniforme et dans ce cas , Fespacc parcouru pendant Tu'

oité de temps se nomme vi£e«5e. Ainsi , dans le n^ 184 , la vitesse du premier

q fi

Courier est -r lieue et celle du second est - lîeue.

186. Deux couriers partent en même temps des deux pieds opposés d'une montagne f et atteignent le sommet au même instant ; les difficultés des chemins , sont comme 4 ^st à 3 , et les espaces parcourus , sont comme g est à 10. Quel est le rapport des vitesses absolues des couriers ? Ce rapport étant le même que celui des espaces que les couriers parcourraient s'ils marchaient pendant le même temps sur la même route ; il suffit de calculer ce dernier rapport. Les difficultés des chemins sont comme 4 est à 3 ^ les espaces parcourue par un même courier , sont en raison inverse , c'est-à-dire , comme 3 est à 4 (n** 170) > ou comme 9 est à la. Par conséquent , si le premier courier met une minute à faire 9 mètres sur le premier côté de la montagne , il parcourrait de l'autre côté la mètres dans le même temps. Mais, le rapport des espaces parcourus par les couriers, sur les deux côtés de la montagne, étant celui de 9 à 10, pendant que le premier courier parcourt 9™ sur le premier côté de la montagne , le second parcourt 10™ sur le a« côté j les vitesses absolues des couriers sont donc telles , qu'en une minute , et sur le a« côté de la montagne , le premier courier parcourrait la^ et le' second io>Q. La vitesse absolue du premier courier est donc à celle du second, comme 1 a est à 10 , ou comme 6 est à 5.

187. Un lévrier poursuit un lièvre , qui a 8a sauts de lièvre ^apance. Pendant que le lièvre fait i3 sauts , le lévrier n*en fait que 9 ; mais 3 sauts du lévrier , en valent 5 du lièvre. En combien de s^uis le lévrier attrapera-t-il le lièvre ?

Si tont était exprimé eo sauts de lièvre, il n^y aurait pas de difficulté ;

mais 3 sauts de lénrier en valant 5 de lièvre , 9 sauts de lévrier eu valent i5

de lièvre. Donc, si en une minute le lièvre fait 1 3 sauts, dans le mémo

temps le lévrier fait 9 sauts, ^i valent i5 sauts de lièvrer De sorte qu^en

une minute, le lévrier se rapproche du lièvre de a s^uts de lièvre ; pour

s^en rapprocher des 8a sauts de lièvre, dont il était en brrière, il lui faudri^

donc 4i minutes ] pendant ce temps, le lévrier aura fait ^i fois 9 sauts ,

ou 369 sauts, et le lièvre aura fait 4' fois i3 sauts , ou 533 sauts. Ainsi,

le lét^rier attrapera le lièvre , en 369 sauts. Et en effet ; 3 sauts de lévrier

en valent 5 de lièvre , un saut de lévrier vaut x de saut de lièvre i les 369

sauts de lévrier , valent donc 369 fois x de saut de lièvre, ou 6i5 sauts do

lièvre; or le lièvre n'a fait, dans le même temps, que 533 9auts, c^est>à-dire, 8a sauts de moins que le lévrier j le lévrier a donc effectivement gagné sur le lièvre, les 83 sauts de lièvre, dont il était en arrière j il a donc attrape le lièvre.

188. Une montre marque midi. Il faut trouver combien de fois les aiguilles se rencontreront depuis midi jusqu'à minuit ^ et a quelle beura se fera chaque rencontre-

En une heure , Taiguille des minutes parcourt les 60 division^ du cadran , et Faiguille des heures parcourt les 5 divisions qui séparent deux heures consécutives; le^ aiguilles se rapproche^it donc de 55 divisions par heure,

ou d'une division en r? d'heure. Cela posé ; si Taiguille des heures restait

sur midi , celle des minutes ne la joindrait qu'après avoir parcouru les 60 divisions du cadran; l'aiguille des minutes, pour joindre celle des heures, doit donc parcourir 60 divisions de plus , cVst-à-dire s'en rapprocher de 60

divisions ; mais pour si^en rapprocher d'une division , il lui^ faut n d'heure ;

pour se rapprochei^ des 60 divisions, il lui faudra donc -rp , ou 1I& 5^ — . Les

époques des autres rencontres , sVn déduisent avec facilité, caria vitesse des aiguilles, étant uniforme, le temps écoulé depuis la séparation des aiguilles,

jusqu'à leur rencontre , est toujours le même , c'est-à-dire « . L^ instant

r \\ d'une rencontre, augmenté de -n , donne donc Pheure de la rencontre

suivante. On trouve ainsi' que la onzième rencontre a lieu à 13 heures, c'està-dire , sur le point de départ des aiguilles.

189. Dans les questions précédentes, le senls principes de l'Arithmétique, ont fourni le résultat , sans aucun tâtonnement ; mais il existe des problèmes qui échappent aux méthodes directes. Si Ton essayait alors des nombres pris au hasard , on pourrait faire beaucoup de tentatives inutiles ; dans ce caSf on assure la marche du raisonnement, à Vaide d'hypothèses

SECONDE PARTIE' lo5

gui sont aMteaires ^ et qui donnent quelquefois le moyen de détruira les erreurs. En voici des exemples :

190. Un père de famille laisse 1 1 000 francs a partager entre sa veut^e, deux fils et trois filles. Le testament porte que la part de la mère sera double de celle d'un fils , et qu'un fils recèlera le ^doublet d'une fille. On propose d'effectuer ce partage. D'après les rapports établis entre les parts , si une, fille prenait 1 franc , un fils prendrait a francs et la mère 4 francs ; les 3 filles prendraient donc 3 francs , les a fils 4 francs et |a mère 4 francs j ce qui fait 1 1 francs en tout. Pour en déduire chaquo part , on dira ;

Sur iif^, la mère prendrait. .. 4^ ^^^ ^ ^^ ¥i ^^ ^ ^'^^ ^^^ Sur iiooo^, la mère prendra donc 4ooof, les a fils 4000^, et les 3 filles 3ooof.

191. ylvec des pièces de fi*'^ et de i5«^, faire 180»^, en ï8 pièces.

Si lés 18 pièces étaient de i5«^, elles formeraient 270*^, au1îeudei8o«^. Ufaut donc diminuer de 90*^, la ya^eur de ces 18 pièces, et cela sans en changer la nombre; ce qu'on obtiendra, en remplaçant des pièces de i5«^, par de« pièces de 6«^. Mais, chaque pièce de GJ', snbstitue'e h une pièce de i5«^, diminue de 9»^, la valeur de? 18 pièces. Pour la diminuer de 90*^, il faut donc substituer 10 pièces de 6>^ à 10 pièces de i5^. On formera donc 100*'*, en 18 pièces, avec 10 pièces de 6«^, et 8 pièces de i5A

19a. On voudrait jUt^eç de la poudre à 04*^ '<» ^'*'''* t ** ^* '** poudra à 14*^» composer un mélange de loft, qui revint a ao-^ la liure^

Lie mélange, de lolb à ao»^, coûte aoo*^; or loib à a4*^ coûteraient a4o*^5 il faut donc diminuer ce dernier prix , de 40*^ , en remplaçant de la poudro àa4^, par de la poudre à 14A Mais, j/^'^ est au-dessous de 34*^» de 10*^^ conséquemmeot , pour chaque livre de pondre à a4^> remplacée par unei livre à 14*^, le prix a4o<^, des dix livres., diminue de io<^; il diminuera donc de 40^, en remplaçant 4% ^ ^"^y par 4^ ^ i4^' Le mélange doit donc être composé de 4^ ^ i4*^> ^^ ^^ ^^ ^ ^i"^r

Si Von demande dans quelle proportion , on doit mêler de la poudre^

a a4*^ la Hure auec de la poudre à 14*^; pour que la lit^ne du mélanga

retfiennea ao>^; on fixera arbitrairement le npmbre des livres du mélange i

a3'ant choisi lotb par exemple , on trouvera que ce mélange est composé

de 6tb à a4^) et de ^% à 14*^ j de sortç que le rapport demandé est celui

de 6 a ^, ou de Z à a. Puisque. 51b du méUnge doivent contenir^ 3ib \

34"^ et aîb à i4-^; la poudre à n^^. forme les -^du mélange.Vnmélanfj^e.

de a5ib à ao*^ la livre, dpit donc ê\Te çoQiposé de i5& à ^^/ et de 10&

^" ' " ■ Il ■ I I II. I I. I I II I >i. I <

(*) L*a Méthodb indiquée dans les n^i 190, 191 et 19a, a reçu le nom de règle d'aune fausse position ; parce quVUe conduit au résultat , h Taide d^une fausse supposition» ' •

ïo6

KOTES

igS. Un jqueur, interrogé sur ce qiûil a dans sa bourse , répond

que V excès du quintuple de ses louis sur So, est égal à Percés du

liouble de ces mêmes louis sur 6. Combien le joueur auait'U de louis ?

Pour résoudre ce problème , on donnera une TsJeur arbitraire au nombre des louis ^ si ce nombre ne jouit pas des propriétés énoncées , il produira une certaine erreur , que Ton détruira à l'aide dVne seconde hypothèse. Voici le détail du calcul :

i'^* hypothèse ao louis.

L'excès de 5 fois 30, sur 3o, est. . 70.

L'excès de a fois ao, sur 6, est. . 34* lu erreur correspondante est donc 36.

a« hypothèse 19 louis.

L'excès de 5 fois 19, sur 3o, est. . 65.

L'excès de a fois 19, sur 6^ est. . 3a.

1j erreur correspondante est donc 33,

Pour diminuer l'erreur 36, de 3, il faut diminuer d'un, le nombre ao des louis. Pour diminuer l'erreur 36, de 36, il faut diminuer de la, le nombre ao des louis. Le nombre des louis cherché est donc ao moins la, ou 8.

Le joueur avait 4onc 8 louis. El en effet; l'excès du quintuple dé 8, sur 3o, est 10, et l'excès du double de 8, sur 6, est également 10, comme l'exige 1 énonce.

I94> Une dévote entre dans une église auec une certaine som^e d'argent; Dieu double cette somme et en sortant de l'église, la dévote donne 10 francs aux pauvres. Elle entre dans une seconde église ; Dieu double son argent; elle sort de cette église et donne ao francs aux pauvres. Le double de l'argent qui lui reste après cette ilernière au" mène , esï autant au-dessous de qoo francs , que le triple de cet argent est au-dessus de 200 francs. Il faut déterminer combien la dévote avait d'argent en entrant dans la première église ? Calculons d'abord l'argent qui restait à la dévote, après sa dernière aumône j nous en déduirons ce qu'elle avait à son entrée dans la première église. *

Le double de l'argent qui reste à la dévote , après sa dernière aumône , «st autant au-dessous de aoo francs, que le triple de cet argent est au-dessus .4ie aoo francs ; le reste que l'on obtient, en ôtant de aoo francs le double de l'argent qu'avait la dévote, après sa dernière aumône, doit donc être égal au triple de cet argent , diminué de aoo francs. Faisons deux hypothèses sur l'argent qui reste à la dévote après sa dernière aumône.

Première hypothèse 70^

De aoof, ôtant a fois 70^, reste 6of.

De 3 fois 7of, ôtant aoof, reste lof.

Première erreur •. 5of.

Seconde hypothèse. 71^.

De aoof, ôtant a fois 71^, reste 58^.

De 3 fois'7if, ôtant aoof, reste i3** Seconde erreur 4^^«

Pour dim. l'erreur 5of, de 5^, il faut aug. de if la i^e hypothèse 70^. Pour dim. l'erreur 5of, de 5of, il faut aug. de lof la z^e hypothèse 70^, L^argent cherché est donc , 70 francs plus 10 francs ; ou 80 francs.

Après 59 dernière aumône, la dëvote avait donc 80 francs. Pour en délîuire ce qu'elle avait, à son entrée dans la première église, on dira : la de'vote , après avoir fait sa dernière aumône , de ao francs , avait encore 80 francs j elle avait donc 100 francs, en sortant de la seconde église, et 5o francs en y entrant; mais avant d'y entrer, elle avait donné 10 francs aux pauvres; avant cette première aumône, c'est-à-dire, en sortant de la première église, elle avait donc 60 francs, et par conséquent 3o francs ea y entrant. Ce nombre satisfait à toutes les conditions du problème ; car la dévole, entre dans la première église avec 3o francs, elle en sort avec le double 60 francs ; elle donne 10 francs ; il lui reste 5o francs , en entrant dans la seconde église; elle en sort avec 100 francs; elle donne ao francs; il Ini reste 80 francs ; le double de cette dernière somme , est au-dessous de aoO francs, de 4^ francs; et le triple de cet argent, est de 4^ franc» au-dessus de aoo francs, comme l'exige l'énoncée

195. Remarque. La méthode des deux hypothèses (^), suppose <fue les erreurs diminuent proportionnellement aux hypothèses faites sur les valeurs des inconnues. Mais cette condition n^est pas toujours rem» plie; le calcul en avertit alors y en conduisant à un nombre qui ne satisfait pas aux conditions du problème. Dans ee cas , la question proposée est du ressort de l'algèbre. Pour en donner un exemple, pro^' posons'nous d^e trouffer par quel nombre en doit diviser la, pour que le quotient exact , soit égal au diviseur ' augmenté d'un. Le nombre cbercbé devant diviser la, nous essayerons deux diviseurs de la, tels que a et 4; 'si le nombre cherché était a, le quotient de la par ce nombre serait 6; or ce quotient doit être égal au diviseur a, augmenté d'un, ou à 3 ; il y a donc 3 d'erreur. On uouvera de même , que l'erreur correspondante à l'hypothèse 4 > est a ; mais l'hypothèse a , a donné 3 d'erreur. Ou dira donc : pour diminuer l'erreur 3 , de i , il faut augiqenter l'hypothèse a , de a ; pour diminuer l'erreur 3 , de 3 , il faut donc augmenter l'hypothèse a, de 3 fois a; ce qui donne 8. Or, ce nombre ne satisfait pas jmx conditions du problème, car le quotient de la par 8, n'est pas égal au diviseur 8, augmenté d'un. L'Arithmétique ne peut fournir aucune solution directe , des problèmes de cette espèce. On verra , dans V Algèbre ^ que le nombre cherché est 3.

196. Les Tieuf Muses ^ portant chacune le même nombre de couronnes defleurs^ rencontrèrent les trois Grâces, et leur offrirent des couronnes, La distribution faite , les Grâces et les Muses avaient chacune , le même nombre i£e couronnes. On demande combien les Muses porttUent de couronnes y et combien elles en donnèrent,

C^) Cette méthode est connue isons le nom de règle de double fausse position, parce qn'elk conduit an résultat, à l'aid« de deux fausser sup^ positioni.

Le nombre des Mmes étant triple de telui de« Grâces , U totalité des conronncs qui restent aux Muses après la distribution, est le triple de ce qu^eUes ont donné aux Grâces j les Muses, portaient donc, le quadruple de ce qu>Ue9 ont donné aux Grâces. Par conséquent, le nombre total des couronnm , e^t divisible par 4 ; << ^^s Mu&es ont donné le quart de c9 qu'elles portaient. Or, cbacune des neuf Muses, avait d'abord un même nombre de couronnes j le nombre total des couronnes , est donc exactement divisible par 9; nous avons prouvé qu'il était aussi divisible par 4i ^ ^^^ donc être divisible par 4 ^oi» 9 , ou par 36. Ainsi ^ le nombre des couronnes que portaient les 9 Muses, peut être 36, ou l'un quelconque des mul" tiples de 36. En effet \ 36 et cbacun de ses multiples , satisfont à toutea les conditions du problème, Par exemple, si les neuf Muses, portant 36 couronnes , en donnent le quart aux Grâces ; il restera V) couronnes aux neuf Muçes, et les trois Grâces en auront 9^ cbaque Muie et chaque Grâce , portera donc 3 couronnes, après la distribution.

197. Partager huit litres de vin , en deux parties égales , aifee trois vases inégaux f dont le premier contient 8 litres ^ le second 5 litres, et le troisième 3 litres. Les vases sont vides. Pour abréger , désignez le vase de 8 litres par A , celui de 5 litres par B , et celui de 3 litres par C. Mettez les 8 litres de vin dans A ; versez de A en C , de C en B , de A en C , de G en B , de B en A , de G en B et de A en € jil restera 4 litres dans A.

198. Trois joueurs conviennent que celui qui perdra , doublera l*^r^ 0ent des deux autres. Après trois parties, le premier joueur a %^ francs , le second a8 francs et le troisième 14 francs. On demande ce que chaque joueur auait en se mettant au jeu. Le premier joueur a perdu la première partie , le second joueur la deuxième, et le troisième joueur la troisième. D'après cet énoncé ,

A la fin de la troisième partie, le i^v joueur a 34 fi^^cs, le a^ %Z francs , le 3® \^ francs.

Le troisième jbueur ayant doublé l'argent des deux autres , ceux-ci n'a« vaient à la fin de la seconde partie que la moitié de ce qu'ils ont , et celui-là avait de plus, ce que les deux autres avaient de moins. Ainsi: A la fin de là deuxième partie, le i^^ joueur avait m francs ^ le 2^ i^ francs, le 3« ^o francs.

Des raisonnemens analc^ues , conduiront aux résultat$ suivans :

Fin de la i^^ partie . . 1^^ joueur 6 francs, ^* êfi francs, ^^ ^o francs.. f!ntrée au jeu 1^^ joueur 36 francs ^ a* uo francs, 5« 10 francs^

19g. Quatre joueurs conviennent , que le perdant doublera Pargent des trois autres. Le i^* joueur perd la if« partie; lé a*, la a«; le 3^, la 3^5 et le 4*, la 4*» ^^ sortent du jeu avec, if^ franc^, 90 francs y 10 francs et 5 francs. Combien chaque joueur avait-îl d'argent, en se mettant au jeu ? Si IW raisonne conune dans 1^ n« 198 , on trouvera , en remontant de la 4® partie h la ix», que Targent de cbaque joueur Cit.

SECONDE PARTlËi ibg

Fin de la 4* partie; i*»^ joueur 4of, a«...2of, 3«i..iof, 4^..» 5^. Fin de la 3« partie; !«' joueur aof, a«4..iof, 3«... 5^, 4*'*«4*>^» Fin de la a« partie; i**" joueur lof, a«... 5^, 3«i..4of, ^••••aof. Fin de la i»« partie; i«f joueur 5^, a«....4o^ 3«...aof, 4*.-.iof* Entrée au jeu y i«r joueur 4o^ a«...aof, 3^..«iof, 4®.., 5^*

De sorte qu'à la fin de la 4^ partie > chaque joueur a autant d'argent y qu'il en avait en se mettant au jeu.

200. Deuiner la somme de plusieurs /lom&re^.'* Faites poser trois nombres de quatre chiffres; mettez dessous trois autres nombres, en complétant chaque chiffre, pour aller à 9; les six nombres qui en résulteront, pris deux à deux, formeront 9999. La somme de ces six nombres, sera donc 3 fois 9 999 bu 39 997. Par exemple , si les nombres posés arbitrairement sont y

aaa^ , ia34 y ^678 ,

on mettra dessous leurs complémens à 9999 ; ces complémens sont ,

7777 > 8765 , 43ai.

La somnle de ces nombres , sera 39 997. On pouvait donc écrire cette somme, avant de faire poser les trois premiers nomlnres.

aoi. On jette trois dés sur la tabld Artoike, parie que Its trois dés seront différens, Ahore , parie qUCily aura un double ('*') , et LovTSy parie pour un tripla. On demande combien , Antoine , André et Louis doivent mettre pour que le jeu soit égal.

Avec un peu d'attention, on voit qu'il y a ai6 coups difi^érens, savoir: lao 0oups simples , 90 doublés et 6 triplés C^^}. Las mises iP Antoine f d'^An»

(*) Lorsqu'en jetant trois dés, les trois faces supérieures portent des points dificrens, le coup^est simple; quand deux points sont semblables, on dit qu'il y a un doublé ; enfin , trois points semblables forment un triplée Ainsi, 3, I9 5, est un coup simple , 3, 3, 5, est un doublées 5, 5, 5^ est un triplé,

(**) En effet; chaque numéro d'un dé, peut se combiner avec les six numéros d'un autre dé; les deux premiers dc's donnent donc 36 coups passibles. Chaque numéro du troisième dé, pouvant se combiner avec ces 36 coups, le nombre total des coups possibles, de trois dés, est 6 fois 36 » ou ai6 ou 6 X 6 X 6.

Chaque numéro , donnant un triplé , les six numéros , donneront six triplés, savoir : triple i , triple a, etc.

Pour trouver combien il y a de doublés , noQs chercheront 'd'abord combien il jr a de doublés , dans lesquels le premier dé n'entre pas. Le n? t, du premier dé, peut se combiner avec les cinq doublés, double a, double 3, double 4» double 5, double 6, des antres dés; chacun des six

dté et de Louis f doivent donc être proportionnelles aux nonthfts isio/ 90 er 6, c'est-à-dire aux nombres ao, i5 et i , car pour qu'un jeu de hasard soit établi d^une manière juste , il suffit et il faut, que les mises soient proportionnelles au nombre de ^chances favorables , parce qu'alors si tous les coups possibles arrivaient successiv^nent une seule fois , chaque joueur sortirait arec autant d'^argent qu'il en avait en se mettant au jea. Ce qui est de toute justice. D'après ce principe, la mise de Louis restant arbitraire, celle d'André doit être égale à i5 fois la mise de Louis, et la mise d'Antoine doit être égale à 30 fois celle de Louis. Par exemple, si les mises d'Antoine, d'André et de Louis sont 30"^, i5^ ^^ /^"^f 1^ mise totale sera 36'^^ si tous les coups possibles arrivent une fois; après ai6 coups, Antoine aura mis a 16 fois ao"^, ou 4330"^; il aura gagné lao fois 36''!^, ou 4330*'^'; Antoine aura donc autant d'argent, qu'en se mettant au jeu. U en serait de même des autres joueurs. Les rapports des mises sont donc établis de manière à rendre le jeu égal pour tous les joueurs.

aoa. On pose trois bijoux sur une table; trois personnes en prennent chacune un. Il faut deviner l'objet pris par chaque personne ? Si les trois bijoux sont un anneau , un étui et une bague ; on les désignera par

.les lettres initiales, a,^e, b; on donnera, un jeton à la iv^ personne, et 3 à la a^; on mettra 8 jetons sur la table; chaque personne choisira ensuite un des bijoux ( à votre insçu ). Pour deviner l'objet pris par chaque personne, vous direz: que la personne qui a l'anneau, prenne sur la table

.(à votre inscu) , autant de jetons qu'elle en a dans la main, et que celle qui a l'étui, prenne le double des jetons qu'elle a. Demandez ensuite combien il reste de jetons ^ ce reste ne pourra être que l'un des six nombres

I, a, 3, 5, 6, 7 qui répondent aux six combinaisons , possibles

ae j be f ea , ba , eb , ah.

numéros du premier dé , donnant 5 doublés, il j a 3o doublés, dans lesquels le premier dé n'entre pas. Chaque dé fournissant 3o doublés , dans lesquds ce dé n'entre pas , les trois dés donneront 90 doublés.

Les a 16 coups que peuvent présenter les trois dés, contenant 6 triples et go doublés; le nombre des coups simples est lao. Et en e£Pet ; prenons le n^ I du premier dé, et le n^ a dn second dé; pour les coups simples, ces deax numéros ne peuvent se combiner qu'avec les n°* 3, 4> ^9 6, du troisième dé; ce qui détermine, quatre coups simples. Le n^ x du premier dé restant fixe, les n*** a, 3, 4» 5, 6, da second dé, combinés conve» nablement avec ceux du troisième dé, donneront donc chacun 4 coups simples^ ce qui fera ao coups simples en tout. Chaque numéro du premier dé, donnant ao coups simples , les six numétos foumiro.nt lao coups aimples. Par conséquent , si tous les coups possibles arrivaient une fois , sur a 16 coups y il y aurait, 6 triplés , go doublés et lao coups simples^

Seconde partie. m

La l^c et la 2^ lettre indiquent respectivement l'objet pris par chaque perBonùe. Par exemple, lorsqu'il reste 5 jetons, sur la table ^ la combinaison boy placée sons le reste 5, exprime que la ire personne a la bague b et que la a® a Pannean a.

Remarque. L^exactitude de cette règle est facile à vérifier, car trois objets ne peuvent se combiner que de six manières différentes , et en appliquant la règle, on trouve que les six restes correspondans sont, i > a, 3, 5^6, 7. On peut exécuter ce tour de plusieurs manières, en changeant le nombre de jetons, tout se réduit à choisir des nombres de jetons tels y que chaque combinaison donne un reste différent. ISous avons choisi les plus petits nombres possibles. Ces reiflBques s'appliquent à la question suivante :

ao3. On place quatre bijoux sur une tabU; un anneau , un, étui , une bague et une montre. Quatre personnes prennent chacune un de ces bijoux. Il faut deuiner l'objet pris 4>ar chaque personne. Voici la règle : donnez , un jeton à la i^^^ personne , 4 ^ la 3^ , i4 à la 3« , et posez 5a jetons sur la table. Chaque personne ayant pris un des bijoux, ordonnez : que la personne qui a l'anneau prenne autant de jetons sur la table qu'elle en a dans la main , que celle qui a l'étui prenne le double de ce qu'elle a , et que celle qui a la bague prenne le triple de ce qu'elle a. Deman^z combien il reste de jetons sur la table, et consultez ensuite ce tableau :

I». 2, 4> 6» 8, 9, II, n, 17, 20, ai, a3, aeby meby eab, mab, emb, amb, abe, mbe, bae, mae^ 6me, ame,

a4, a6, a7, 3o , 35, 36, 38, 39, 4i , 43, 45, 46. eba, mbay bea, mea, bma, ema, ebm, abm, bem, aem, baniy eam.

Levnombre des jetons qui restera sur la table ne pourra jamais être que l'un des ^4 nombres compris dans le tableau , et ces nombres correspondront aux a4 combinaisons des lettres initiales a, e, & , m ; la i>^«, la a«, et la 3« lettre de chaque combinaison , indiqueront respectivement l'objet pris par la ire personne, par la a« et par la 3«. Par exemple, quand il reste la jetons sur la table , la combinaison mbe , placée sous ce reste , exprime que la i^e personne a la montre, la a« la bague et la 3« l'étui.

IVoTÀ. M. C. J. firianchon, Capitaine d'ArtiUerie, a donné une solution générale, très-ingénieuse, des problèmes des n<** aoa et ao3. On trouve cette solution , dans la Correspondance de V Ecole Polytechnique,