TROISIÈME PARTIE. Il

tm pasie du nombre n an nombre « -#- i , en ajontant Timiteà Pan des chiffres da nombre n. Lorsque le nombre n est composé de a, chiffres égaux à & — I y le nombre n •+ i est évidemment égal à Punité suivie de a, zéros ,

ou h b , car la collection de b unités d'un ordre quelconque , yaut una unité de l'ordre immédiatement supérieur. On pourra donc toujours passer du nombre n, au nombre n -f- t.

207. Remarque. Dans le système dont ta base est b, la valeur du

plus grand nombre de jt. chiffres , est donc b — i.

2o8« Lorsqu'un noràbre est écrit dans le système dont la base est b , pour écrire ce noinbte dans le système décimal; il suffit de multipfkry le premier chiffre h droite par i , le deuxième par b^ le troisième par b* , et ainsi de suite , jusqu'au premier chiffre à gauche ; la somme de ces produits est le nombre demandé» Gela résulte de ce qu'en avançant successivement d'un rang vers la gauche du nombre proposé , les chifires expriment des unités de 6 en 6 fois plus grandes ( n^ ao4 )• Ainsi, le nombre (375)8 9 étant écrit dans le système dont la base est huit, sa valeur est,

209. Réc^roquement , un nombre étant donné dans le système décimal, pour écrire ce nombre dans le système dont la hase estb ; il suffit de diwiser le nombre} donné par h ; le reste exprime le premier chiffre à. ■droite du nombre demafidé , et le quotient désigne les unités du deuxième ùrdre; dit^isant ce premier quotient par 6 , le reste t.-Z' le deuxième \tihiffre du nombre cherché et îe nout^au quotient expAme' des unités du troisième ordre. Continuant à opérer de la même manière , on par-vient à un quotient moindre que b; ce quotient est le dernier chiffre du nombre demandé. Cela résulte de ce qu'il faut b unités d'un ordre -quelconque , pour <:omposer une unité -de l'ordre immédiatement supérieur.

Par exemple , si l'on veut écrire le nombre 189 , dans le système dont la base est 8 \ on divisera 189 par 8; ce qui donnera le reste 5 et le quotient 33 ; divisant 23 par 8 , le reste sera 7 et le quotient sera 2. De sorte qu'ea allant de gauche à droite , les chiffres du nombre demandé sont , 2 ^ 7 et 5 ^ le nonibre 189, écrit dans le système dont la base est 8, a donc pour valeur ( 275)8»

210. Uti nombre étant éerit dans un système de numération , pour écrire ce nombre dans un autre système , il suffit , après avoir exprimé le nombre dans le système décimal , d'écrire ce nombre décimal 'dans le nouveau système.

211. Connaissant les expressions d'un même nombre^, dans deux systèmes différens ; trouver les bases de ces systèmes. On désignera les hases inconnues par x et y. Si les chiffres du nombre inconnu N , écrit 4ans le premier système , sont a, C^ y, etc. ; et si les «kiffres du mémû

NoteSi Arlihm. 8

Il4 KOTEI^

nombre y ^crit dans le lecond système, sont A, fi^ C, etc.; on aiuA ( »« 208 )

lî == A -f. Cr -f. 7x* -+- etc. 5 N = A + By -f. Cx* -h etc.

Ces deox eqaations exprimant toutes les conditions da problème , Pune des trois inconnues, x,jr , "N , est arbitraire ; H fant seulement observer, que les chiffres d*an nombre devant être mioindces que la bas€ , on ne doit admettre pour X , que des nombres entiers positifs , plus grands que le phi» grand àts ehifies doanés , « , C, y, etc. ; et jr doit être on nombre entier poâttif , plus grand que le plus grand des chiffres. A, B, C , etc. Ces vft* Jenrs de xeiy, dépendent de . Tëquation ,

(i). ...«•+• Car + ^'X* + etc. s= A ■+■ B/ 4- C^» + etc.

Par exemple , lorsque les expressions d^nn nonthre inconnu N , dans deux systèmes inconnus, sont (78} et (67)$ en désignant les bases de ces systèmes^ par x etjr , on a

N = 8 + 7x } N= 7 + 6;-. D'où, 6r — 7x = i.

Les valeurs entières de x etjr, qui satisfont à cette dernière équation , •ont, « = 6e— I, jr=7c— I.

e représente un nombre entier arbitraire. iLes hâtes x et y devant êtrt respectivemenr^lus grandes que 8 et 7, on trouvera les solutipns du problème en donnant à l'indéterminée e , des valeurs entières plus ^andes que r unité.

e = 3 , .donnera a: = 1 1 , jr ::=: ï3 - N = 85.

Et en effet \ dans les systèmes dont les 6ases sont 11 et i3 , les expressions du nombre 85, sont (78)11 et (67), 3.

a 13. Connaissant la valeur d'un nombre j ainsi que les chiffrés de <e nombre , il faut déeouurir dans quel système de numération cm nombre est écrit. On désignera, le nonabre donné par C , les chiffres de ce non^re par , a , ai , ai , «s,. . . ., An , et.la!bMe du systèine demandé pàc X. On aura ( vfi ao8 )

(i j. . . . a •4- «iX H" iïa** H- «^** rf- . . , •+. tf»x» s=: C.

Lj[MW<}ive h» qudntiités, a, ai, aa, as,..., a* et C, seront données en nombres, «n déduira Pinconnue x, de l'équation (i) et Ton ne devra prendre que les valeurs entières positives de x, plus grandes que le plus grand des chiffre»^ a y ai, a» y as,...., a«.

L'équation {i) y a toujours une racine réelle positiwe. Cette équation n'admet pas d'autres racines réelles positives. En effet , on «a déliais

^). . . . aix ^ aax" *f* a^x* -f». . . *f< a»x* as C — «*

TROISIÈME fARTIE. Il5

Les nombres donnas; ai , a* , as , . * . , a» , G — a > tétant positifii , si Ton conçoit que x augmente d^une manière continue » depuis x^rgi, juiiqu^à rinfini positif , le premier membre de Tëquation (a) augmentera de même , d^une manière continue, depuis zéro jusqu'à l'infini; il existera donc uno feule valeur rëelle positive de x , qui rendi'a ce premier membre égal à G — a« Ce qui dénQLontre le principe ëuoncé.

Ifi problème proposé ^ ne peut donc jamais admettre qu'une seule solutionn Par exemple , pour trouver dans quel système , le nombre dont les cLiffres ( à partir de la gauche ) sont 3 , 7 , 5 , vaut i8g , on désignerai la base de ce système par x , et l'on aura

( 375)* = î8g j ou 5 -h 7x '«4- !^^ = 189.

Là racine rëelle posi^ve de cette équation , étant 8 , la base du svstèi^f demandé est égale à 8. Et en efièt ,

( 275)8 = 5 + 7.8 -f* a.8» 5P= 5 +.56 + laS = 189.

ai 3. Les méthodes que ^ous aidons données, pour opérer sur le^ nombres écrits dans le système décimal j peuvet^t s'appliqy^r à vn .sys^ ième quelconque ; il suffit de ^e rappeler que daxu (^ système dont ht hase est b, il faut h unités d'un ordre quelcongi^e ^ pour enfa\rç mi« de Vordre suit^ant. Les preuves des quatre règles et le calcul des frac-tions j s'exécutent comme dans le système décimal. On trouvera d^ cette manière que dans le système dont la base est sept , Iq somme des

nombres (354 )? ?* C^^)? ^' (4'^)? » ^^'^ ^^^^ différence est (325)y et que leur produit est (i3563)7. Enfin , si l'on divise (i3563^7 par (26)7 , 1^ quotient sera ( 354 )?* Pour faciliter cette division , on écrira tous les nombres dans le syst^e décima) et le quotient 186 , écrit dans le systètt^ dont la base est sept, donnera le quotient demandé f 354)7*

âi4< Lorsqu'un nombre est écrit dans le système dont la i^ase est b«

pour multiplier ce nombre par h ^-ç'est-'k-dir» par Punité suivie dé n zéros vers la droite, il suffit de mettra n zéros sur la droite du nombre dQi}n4 , car chaque chiffre avançant de n rangs vers la gauche , expime des |U)ités b* fçif plus grandes.

ai 5. Le produit de plusieurs nombres entiers ne change pas, dans quelqu'ordre Qu'on effectue les multiplications, La démonstration générale de cette propriété , repose sur les deux principes suivans : '* ai6. Premier PRiirciPE. Un produit ne change pas de valeur f lors^ €/u'on transpose les deux derniers facteurs h droite. En effet j ^o^ 1q produit pa^> dans lequel p désigne le produit d'un nombre quelconque dç, facteurs, a étant un nombre entier , on aura ,

, pa =: p -^ p ^ p *i^ p 'h etc.

ht (ècond membre contiendr* a foi* p, 'Multipliant le* denx membre* pu?

Il6 KOÏE^i

h, on atm

pab ss p* + f^ft -#- p5 + pi -t- etc. =E a' foti ph = pi«-

Ce qni démontre le principe énoncé.

217. Second principe. Si le produit de m facteurs ne change pa$ dans quelque ordre qiCon effectue les multiplications , le produit dm m H" I facteurs , jouira de la même propriété , car ponr former toutes les permutations d'un produit de m+ i facteurs, il suffit de changer succès* sivement Tordre des m premiers facteurs et Tordre des deux derniers; ce qui ne change pas la valeur du produit. Or, le produit de deux facteur* ne change pas dans quelque ordre qu'on efièctuc les multiplications (n°%i) ^ le produit de trois facteurs jouit donc de la même proprie'të. Et ainsi d« suite, en introduisant successivement un nouveau facteur. Le principe da n* ai5 est donc de'montré.

ai8. Le produit de plusieurs facteurs commensurahles {*) ne change pas y dans quelque ordre qu'on .effectue les multiplications. En effet; les facteurs commensurahles sont des nombres entiers ou des fractions. Dans le premier cas, le principe est démontré ( n» ai5); dans le second ras, on est toujours conduit à diviser le produit des numérateurs des fractions proposées , par le produit des dénominateurs , et ces produits ne changent pas dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications ( no ai5 ).

219. Le produit de plusieurs facteurs incommensurables ne change pas y dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications. En effet; il existe toujours des quantités commensurahles, a^, l/, c', etc., qui approchent autant que Ton veut des valeurs des facteurs incommensurables, a , 6, c , etc. ^ Élisant donc

(i)...a = a' -f. 4r, fc =i y + Z', c ss </ -+. <r, etc.,

^, i^f /", etc., seront des quantités incommensurables, que Ton pourm supposer aussi petites que Ton voudra, et l'on sera maître de prendre ces quantités avec le signe -f- ou avec le signe -— .

Gela posé *, les produits axh^ bx a sont égaux ; car si cela n'était pas , on aurait > iri = 6a 4p r, ou baszab-i- r^ r désignant une quantité positive. La démonstration étant la même dans ces deux cas, soit ab=^ba'-j^rn On en déduirait ,

{*) Une quantité commensurable est celle qui a une commune mesuMK «vec l'unité. Une quantité incommensurable , est celJe qui n^a aucuno commune mesure avec l'onité ; de sorte qu'en divisant l'unité en un nombre quelconque de parties égales , une de ces parties ne peut jamais être contenue un nombre exact de fois , dans la quantité incommensurable. Les

fractions, les nombres «ntiers «t décimaux y sont fiOBuncBiaxabUsj V^ însommtQsiuabls.