TROISIÈME PARTIE. I
(•;... (a' rf iT) {b' + r) == (y + O (i^ -¥ i)^r.
Effecenant les nmltiplications indiquées et observant <jae t^Vzzh'ot (fto 318), on trouverait
(3). . .(^' — &V),H- (aV— /^a') 4- (Z/' — /'cT) = r.
Les quantités, J", /^, étant aussi petites que Ton Teut et les signes de ces quantités étant arbitraires, on pourrait toujours rendre le premier membre de Tequation (3) positif et plus petit que le second. L^équation (^} ne peut donc pas subsister quand r n'est pas nul \ il est donc absurde de supposer les produits, a&, 6a, inégaux j ces produits sont donc égaux. La même démonstration s'applique à un nombre quelconque de facteurs , en observant que le produit des facteurs commensurabies, 0', b* ^ c\ etc. , ne change pas dans quelque ordre qu'on effectue la multiplication (n<»ai8}.
2ao. Les principes des n^* ai8 et aig démontrent que le produit dû plusieurs facteurs y commensurabies ou incommensurables, ne change pas, dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications,
aai. Remarque, En f^énétal, les propriétés qui sont démontrées pour des quantités commensurabies, conviennent aux quantités incommensurables, car il existe toujours des quantités commensurabies qui approchent autant que Ton vent des quantités incommensurables.
933. Pour multiplier un nombre par un produit, il suffit de mul" Uplier successivement ce nombre par les facteurs du produit. Et réci^ proquement, multiplier un nombre successivement par les facteurs (Tan produit, revient à multiplier ce nombre par le produit. En effet j dési' ^nez le nombre donné par it , et le produit donné par p j si les facteurs de p sont, a, b,c,,..l, m, vous aurez (n0 33o),
nx p^=ip X nrzza xbxc ,,, x Ixm xn=n xax b X c, x i x m nxaxbxc ,,, xl Xm=:ax bXc, x Ix m xns=.p x n:=in xp.
Ce qui démontre le principe énoncé,
333. Un produit ne peut jamais contenir plus de chères qu'il n'f en a dans tous ses facteurs réunis. Le nombre des chiffres de ce produit ne peut être moindre que le nombre total des chiffres des facteurs, diminué du nombre des facteurs et augmenté d'un. En effet j si l'on désigne le produit par p , le« factenrs par y ai, a», aj , . . . ^ a* , les nombre^ de chiffres contemjis di^ns ces facteurs par , 4^1 yS»; >>• ^ •» «, le nombre total des chi£Eres contenu^ dans les n facteurs par s et la base du système de numération par b, il s'agira de prouver que Ton a toujoun
p<y et ;>>&*—»,
ear^' exprknaat Tnnité smyie de s zéros , les nombres moindres que ^ né pourront contenir que s chiffiws an plus,^ et M'^'* étant égal à V^nmU
Il8 NOTES 9
•amc de (* — h) térok, tdm nombre plus grand «pie **^^, renfçtmert au moins ( * — » + i ) chifires. Cela po«é } le facteur a, , contenaut a AifiFres, sera plus petit que Uunitë suivie de et zéros sur la droiic, ou «pic
h* , et plus grand que Tunité suivie de (« — i ) zéros, on que à i
on aura donc
Multipliant ces inégalités membre à membre, et observant que. ... .^. •; «I X a* X 03 X ... X As =J9 ,, on en déduira
p<h*xb^xh'^x xi*, on K*"^^^^" ■■■*"»»'<*
/»i*-* X 6^' Xt*-' X ... X 6—', ou p>**+^-^^-'^<»P< *^
ce qui démontre le principe énoncé.
224 La PDISSÂWCE /i, ff'ttn nombre entîérl^ composéde m chiffres, ne peut, jamais contenir plus 4emxn chiffres; elle contient au moins (mn--/i-4-i) chiffres. En effet j la puissance n du nombre N, étant le produit de n facteurs égaux à N, le nombre total de chiffres contenua dans les n facteurs est mn j le prodnit ne pçut donc jamais contenir, plus de mn cbiffires; il contient au moine mn — . « -f- i. chiffires ( n° 223 ).
225. PaoBLiME^ Connaissant la puissance n d'un nombre entier, de» terminer combien ce nombre contient de chiffres, La solution de ce problème se dédoit du piincipe précédeini, car les expressions, mn, mn — n+i , étant équivalentes à ih fois n et à (;fe— i) fois /i, plus i ^ on voit que la puissance n d'un nombre de m chiffres , ne peut jamais contenir plus de m tranches de H chiflSres , et qu'en partageant le nombre qui. exprime cette puissance en ( )te— ï ) tit^Uches de n chiffrés , il restera au moins un chiffie. Par conséquent, si la puissance n d'un nombre de m chiffres, est W , en partageant N en tranches de n chiffres, à partir de la droite, h nombre des tranches sera m; la première tranche à gauche pourra ne contenir qu'un seul chiffre.
226. En général 5 pour déterminer combien la racine du degré n , d'un nàrhbre entier N , contient de chiffres , il suffit de dioiSer N , en tranches de h chiffres, h partir de la droite ( la dernière tranche à gauche peut ne contenir qu'un seul chiffre); le nombre des tranches, exprime le kombre des chiffres de la racine. Ainsi,par exemple, la racine citiqnième de 70 1 5833 714*24, contiendra trois chiffres. Cette racine est 234-
227. Lorsque n est un nombre entier, tous les nombres pairs sont représentés par 2/1, et 2/1 -f-i désigne un nombre impair quelconque, Eàr fen donnant Mc«;«s«ivenient à n , les vmlenrs, o , i , 2 , 3 , etc.> l'expreaiott ^n détermine les nombres pairs -, o, a, 4,6, «cj et ai»+i donne lc«. nombres impairs, i , 3, 5, 7, eic^
