TROISIÈME PARTIE. II

939. Le produit de deux nombres pairs est di$fisible par 4 $ car ce prO"* âuit est de la forme, ^mx%n' ou i^n' ( n tl nf sont des nombres entiers ). aoQv Le produit d'un nombre pair , par un nombre impair ^estua

nombre pair^ car

an X ( an' -f. 1 ) = ( ann' + » ) X a.

a3o. Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair, «ar

(a/i-f-i) X (a/i' + i) = a( an/»' -f- n' + n ) + i.

a3i. Lorsque tous les facteurs d*un produit sont des nombros impairs , ee produit est un nombre impair ( n* a3o ).

a3a. Quand un des facteurs dfun produis, est un- nombre pair^ le produit est un nombre pair^ car ce prodoit est de la forme n' X a/i.

a33. Pour qu'un produit soit un nombre impair, U faut que tous ses facteurs soient des nombres impairs , ear l'nn des facteurs ^laat un nombre pair, le produit serait un nombre pair ( no a3a ).

334. Pour qu^un produit soit un nombre pair^ ihfaut qu^un desfac^ leurs soit un nombre pair, car le produit de plusieurs nombres impairs, •st un nombre impair ( qo a3i ).

a35. Le reste d*une division ne change pas, lorsque le dividende augmente ou diminue d'un multiple du diviseur, Eti effet fsf la division de a par by donne le quotient q etle reste r j on aura

d = ^7 -f. r; '*<*> ( « ± m& )z=:(qztm)b-hr.

La comparaison de ces deux étpiations démontre le principe énonce'^ car on voit que la division de a par b, donnant le quotient q et le veste r, la division de ( a db mb ) , par b , donne le quotient {qdtim) avec le même reste r.

a36. Les recherches relatives à la divisibilité des nombres, conduisent à ce problème giine'ral : connaissant un nombre entier "N, dans le système dont la base est b, déterminer le reste de la division de N, par le nombre entier d, sans effectuer la division. Le diviseur d pouvant être plus grand ou plus petit que la base, nous examinerons successivement ces deux cas. Si en partant de la droite du nombre N, les chiffires 80d( c, Cl, Czf Ci, etc. i on aura

337. i^r CAS, Quand le diviseur d, sera moindre que la base Ir^ en d«^ •Tgnant la différence (b-^d) par i', on aura

(b'^d)=: ^, d'oîi *—/ = <£> et Ton pourra mettre le nombre H, sous cette forme,

,W î5= ( c + c,<r4- c»^ H- etc. J-f., c, ( fc — iT) + c« ( /i« — J^ ) -f- etc. l^bmoi!Ms,{b'>-mi ), (4a^/a),(^}^/))y CIO. , étant dHsibles par

12e NOTE*;

(b-i-i) ou. par d, le nombre donné est un mnhiple (De d\ angmenttfd^ ( c + Ci^+ Ct^* -^ elc. ). Le reste de la division de N par d, sera don* le même que celui de la division du nombre ( c-f>CiJ^.+ Cs^+ etc. ) par d(n.^ a35 }. On en déduit cette règle générale.:

a33. Pour trouver le reste de la elii^ision d'un nombre entier 79 ». par un diuiseur d , moindre que la base b, prenez la différence ^, mntre, b et d; multipliez le premier chiffre à droite du nombre donné N ^ par ï, le deuxième par ^, le troisième par i^, et ainsi de suite jusques au dernier chiffre; calculez la somme N' de ces produits; le reste de la division de N par d, sera le même que celui de "S^' par^d. Opérant donc sur'N', comme on a opéré sur "N , et continuant le calcul jusqu'à ce^ qu'on obtienne une somme moindre que b , cette dernière somme, diminuée du plus grand multiple de b qu'elle pourra contenir ,, exprimera le reste de la ditfision de N par d.

aSg. Exemple. La base étant dix , pour trouver le rè&te. de la division d'un nombre par 9 , on fera 6 = 10 et / := i ; alors IV' deviendra la somme des chiffres du. nombre donné. On en déduit cette règle générale» relative ^vk, système décimal.:

Pour troutfer le reste de la division, d'un nombre entier, par 9/ additionnez les chiffres du nombre proposé , comme des unités simples^ Quand la somme des chiffres sera moindre que g, elle exprimera le reste cherché : lorsqu'elle sera égale à g, le reste sera zéro : quand' elle surpassera 9, on opérera sur 'elle comme sur le nombre proposé^ en additionnant les chiffres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on par* vienne à une somme qui n*excède pas 9 ; si cette dernière somme est moindre que g, elle exprimera le reste de la division du nombre pro" posé par g ; si elle est égale, à g, le reste sera zéro , et le nombre proposé sera divisible par 9. Dans les additions successives, on peut omettre tous les 9. Ainsi , pour obtenir le reste de la division de 35096009 y par 9, on dira: 3 et 5 font 8 et 6 font ifj i et 4 font 5; le reste demandé est donc 5.

a4o. a* CAS. Lorsque le diviseur d sera plus grand que la base b, en désignant la différence <i— b par «T, on aura d = J'-f- b , et l'on pourra mettre le nombre donné N sous cette forme ....

N==<C--^,<^f^,J^-^C3/i34.etC.)4*,(^+H^)4■Ca(&»--«^»)+C3(*»+

Les binômes, (6+/), (fr*-r/')» (^' + ^)> «te., étant divisibles par (6 + /}, c'est-à-dire par d, le nombre ^ est de la forme

N =i ( c 4" CacT» -f- C4^ + etc. ) — ( c, J^rf C3«r? -f- CsJ'i -f..etc. )f+. md*^

m étant un nombre entier positif qui désigne le quotient exact de la division, de, c, ( i -f. *) H- ca ( ^» — /• ) H-. cî ( i3 -h /î ) + etc., par 4*