TROISIÈME partie; Idl
Faisant donc ms:p-f*7» on pourra regarder p tl q eomiifte des norabref entiers positifs, p sera une indéterminée moindre que m qhk égale à ii»^ et q sera égal à m-f-^p. On aura
N = ( <? + ca^ -+• c4/< 4- etc.) -f- P^-^i c,l-h cii""^ 4- cgJ^ -f- etc. ) 4- q^"
et le nombre IS étant positif, Qn pourra toujours donner à rindéteminé* p , une valeur entière positive telle que. . . « .
( c -h c»^ -+• ciJt* 4* etc. ) + pd -^ ( c,/ 4- cj^» 4. cU^ 4- etc. ) ,
soit un nombre entier positif. Désignant ce nombre par W , on aura "N ^zJH^^qd. De sorte que le reste de la division de N par d, sera 1« même que celui de !N' par d (u^ a35). On en déduit cette règle générale:
341. Pour trouver le reste de la division d'un nombre entier "N , par un diviseur d, plus grand que la base b ; prenez la différence ^ entre d et b; multipliez h premier chiffre à droite de N par i , le troisième par ^ , le cinquième par ^^ et ainsi de suite; de la somme de ces produits y augmentée s'U le faut d'Un multiple de d, retranche» la somme des chiffres de rang pair multipliés respectivement par ^f par /3 y par ^ , etc. ; si IS' désigne le résuHat de cette soustraction , le reste de la division de N par d, sera le même que celui de K par d* Opérait donc sur N', comme vous avez opéré sur N, et çon* tinuant les calculs jusqu'à ce que vous obteniez un nombre r , moindre que dy le nombre r sera le reste de la division de N par d. Ainsi, I4 base étant dix, pour trouver le reste de la division dVn nombre N, par ;i y on fera &= 10, cfs 11 , et <r= i \ la valeur de Pi' deviendra
N' s ( c 4- c. 4- 04 4- etc. ) 4^ p<} — ( Ci 4> es 4- es 4- etc. ).,
Ce qui démontre cette règle générale : Pour trouver , dans le système décimal , le reste de la division d'un nombre entier 1^ , par 11; calculez deux sommes ^ Vune des chiffres de rang impair ^ à. partir de la droite de T^^ l'autre des chiffres de rang pair; de la première somme y augmentée quand cela est nécessaire ttun multiple de 11 , retranchez la seconde somme. Opérez sur le reste N' de cette souS" traction , comme sur "Hf , et ainsi de suite , jusqu'à ce que vous par» pfini^z à un reste moindre que lit; ce dernier reste exprimera le reste demandé. Par exemple , le reste de. la division de 5678 par 1 1 , serar ( 8 4- 6 ) -rr ( 7 4- 5 ) I on 3. Le reste de la division de 4^81 par 11 ^ scia
(ï 4- 7 4- 4) 4- II — (8 4- 6), ou 9.
^a. Pour déterminer tous les diviseurs premiers d*un nombre donner K, on essaiera la division de ce nombre par les nombres premiers , a|3,5,7, ^^^ » si le plos petit des nombres premiers qui divisent N, est et, on diviser» N par « , ce qui donnera un quotient "Si' ; on divisera JH' par « , et Ton f f il^tinaeiça à diTÛer les quotiou suecesiîj^ pai: «^ josqq'lt ce que la divisioii,
ne rëassfsxe pin*. Si à^rh» m division» par a, le quotient P n'est plos dî« ▼îisible pat a, on aura 1H=sPûl'», et N n'étant divisible par aucun nombie prefuier moindre que n, les nombres premiers qui pourront diviser P, seront plus grands que a. Essayant la division du nombre P, par les nombres premiers plus grands que «; si C désigne le plus petit âes nombre» premiers qui divisent Py on trouvera, comme pour le nombre N, que... P = C«Q; d'où N = P«» = efc*C*Q. Le nombre Q ne sera divisible que par des nombres premiers plus grands que ce et 0,^ Continuant à opérer de la même manière, on troovera ^
N = «» /8» y** J^ etc. j on aura )8>*, >>/8, J'>>, etc.
* 9 fil y 9 ^9 etc. , seront les facteurs on diuùeurs premiers àvL nomlxre N. On en déduira
36o=:a>.3*.5< ; i44=xa4.3i; 67600=: a>.3^54; 77175 = 3^». 5». 7».
343* Lorsifu'après avoir essayé la ditdsion du nombre entief N, par
tous les nombres premiers moindres que ( i + (/N* ) , aucun de ces nombres ne divise N; on est certain que N est un nombre premier^ En effet ; si N , ponvak être divisiUe par un nombre premier p, plus granci que V^N, en désignant le quotient par q , on aurait
N=p7etp> Î/N; d'oii^7>^ V'"5*, N>9 V/Nct V/ïf>^.
N serait donc divisible par un nombre q , moindre q^^ie V^^ ; ce qni est coiltre l'hypothèse. Le principe est donc démontré. Par exemple, îi3 n'c-» tant divisible par aucun des notiibres premiers a, 3, 5^ 7, fi, moindres
que I -f- K X t3 , on peut en conclBre que 1 13 est un nombre premier. On trouvera de cette manière , que les nombres premiers sont
1,9,3,5,7, "> »3, I7»i9'^»^> 3i,37, 41 , 43, 47, etc.
a44« Le nombre entier fi étaht ramené h la forme, tt^ fi^ y'' etc, et les mombres premiers , 4, )S, y, étant inégaux , pour obtenir tous leS divi^ seurs e/e N, il suffît de former le produit
loHj les termes deee produit seront les diviseurs dà nombre!^. L'unité et le nombre N se trouveront parmi ees diviseurs. Gela est évident , car le nombre N étant de la forme, «"■ /S* y^ etc. , on obtient fous lés diviseurs d» K, en mîettant successivement pour les exposans, m, n, r, etc., les noml^res entiers, i, 2, 3 , etc. , qui pe surpassent pas , m, u ^ r, etc. , et toutes ces valeurs du produit , «* /S" y etc. , sont exprimées par les termes du pro^ 4uit que nous avons indiqué. Tons ces produits sont différens. ^5. Le j^rod^it def fact^u^s ( i.+^+^'-Ht'-H^^+A* '+'*®+ . . . -f- **),^
