TROISIÈME PARTIE. ia
fr + ^-f^* +... 4-i8*), etc., renferme (m -f'ï)(ii + l) etc., terme» différens. En effet j le premier facteur contenant ( m -+- i ) termes , la mnl^^ tiplication du premier facteur, pa^r chaque terme du second facteur, fournit (w-f-i) termes au produit; ma?s le second facteur contient (n + i) fferines j le prôdfiit des deux premiers facteurs sera donc composa de {tn'^t) (n-f-i) termes. Ce produit^ multiplie' par le troisième facteur» renferttièr^k donc {in-^i){h^*i){r ^i) termes ; et ainsi de suite. On ea de'duit cette règle générale :
a4^. Poiif dëterjfiinet combien un nombre entier a de diviseurs ; dé-* €omposez ee nombre en ses facteurs premiers ; ajoute* l'unité a chacun des exposàns de ces faàtenrs ; le ptoduit des sommes tjui en résulte^, font y exprimera te nombre cherché {no* :ï\^,^^5). Ainsi, par exempk, 1^ liombre 36o étaôt c'gaU, 4' X 3» x 5* ; le nombre des ditisenrà de 36o, sera {3+ ï) (a-f't) ( î + î), ou a4. Et en effet; si l'on fotmé U produit,
pa Terra ^ae les divisenrs de 36o , sdnt les 34 nombres »
I, a, 3, 4, 5, 6, è, 9, 10, la, i5, 18, ao, a4» 3o, 36, ^o, 45, 60, 7a, 90, 120, i8ô, 36o.
On reconnaîtra de même, qne tes i5 diviseurs de 144? 9ont
I, a, 3, 4, 6, 8, 9, ia, 16, 18, a4, 36, 48, :7a, i44-
* 247. On propose de composer un nombre quif admette S' diviseurs^ Ce problème est .indeierminë , car en désignant par , a , ji, y, etc. , les fac* teurs premiers du nombre demandé , ce nombre sera de la forme, *''• ^" y*" etc. ^ les facteurs premiers , a, $, y etc. , seront arbitraires , et les exposans inconnus , m, n, r, etc. , ne seront assujëtis qxCk la condition
(ï). .. (m-f- i)(yi -f- i)(r4- i)etc. =r JT, (n« 34^)*
Si les facteurs premiers du nombre demandé , doivent être les plus petin. possible , ce nombre sera delà forme a" x 3* x 5*" etc. ; par exemple , pour composer un nombre qui admette i5 diviseurs, on pourra prendre a^ x 3^ ,,
ou i44 9 car le nombre des divisenrs de i44 ^^^ (4 "^ ' ) ^ ( ^ + ^ ) * ou i5. Il est facile de prouver que i44 ^^ h plus petit des nombres qui admettent a 5 divisenrs.
* 348. Lorsque ^e$t un nombre premier y le nombre N^ (jui a i" diui*-^ tfiurs , est égal à la puissance 4" *^ i, d'iin nombre premier quelconque è.f ear{/»4-i)(n'+.i) (r+i) etc. , étant un nombre premier , les exposans.
», r, etc. , doivent être nuls. La pins petite vaknr de N sera a***™'. Ainsi, le plus petit des nombres qui. admettent 7 diviseurs, est a^, ou 64.
349* Hé qumrré d'un nombre entier admet toujours un nombre impair.^ de diviseurs. Un nombre qui n'est pas un quarré a un nombre pair de ifiyiseurs. La réciproque est vraie. Eu effet j. le QpQibx^ donné N, ^tapt
*^ norts;
tmené à la forme, ** ^ >r etc. j le nombre /J det divùem éeN.eit ciétenmne par la formnle
/=(iii-f.i) (ii-l-,) (r+i)etc.
Lorsque N est un qoarre', les ezposans, m, «, r , etc. , sont des nombre» pairs; /est donc impair (no a3i). Qoand N, a'est pas un quarré, l'un des exposans, m, /i , r, etc. , est impair; / est donc un nombre pair, car on des facteurs est pair ( n© a3a ).
Réciproquement. Lorsque / est un nombre impair, ( m 4- i ) ( » -f- i ) etc. > est impair ; m , « , etc. , sont donc pairs ( no 333 ) j *« C etc. , est donc un quarr^. QuandiTest un nombre pair, (m + (/i 4- i; etc., est pair j l'un des exposans, m , n, r, etc. , est donc impair fn» 234) 5 ^^ «>rte que le nombre donné n'est pas un quarré. Ainsi , lequarré 144 a i5 diviseurs, et le nombro iKw, ayant a4 diviseurs, on peut en conclure que 36o n'est pas un quarré.
♦25o. Déterminer de combien de manière* différentes, on peut dé^ composer un nombre entier positif IS , en deux fucteurs ; ces facteurs dowent être des nombres entiers positifs. Désignez Tincotinue dn problème par a: , et le nombre des diviseuis de TV, par l.
Lorsque cT sera un nombre pair 2/1 , le nombre N ne sera pas uq
quarré (n'* 249) ; la division de N, par un nombre quelconque, donnera
donc un quotient qui ne sera pas égal au diviseur ; prenant n diviseurs
1 erens , </i ,</,, rfj ,.,.,«?,, et divisant N par chacun de ces diviseuw, on
obtiendra n quoûens différeus, q. , q., q^, ..„q.; ce qui donnent
N = ^, rf, — ^, </. = ^3 ^j rs:: . . , -, ^^ ^^^
On trouvera donc , n produits qui seront égaux à N ; donc x =: » =: £ /,
Quand / sera un nombre impair, 2 n H- 1 ; N sera un quarré p* ; divi- «nt JN, par « diviseurs, rf., rf., d^, dn, moindres que^, on obtiendra /• qwotiens, qi,q»,qi, .,,q»j plus grands que p ; on aura donc
N = p xp=:q,d,:=sq^d»=t:qidi=:.,,z^q^d»
Ce qui donnera n + i produits égaux à N. Donc, x ==n + i = ' ( Af-i>.
Ainsi, 36o ayant 24 diviseurs ( n* 246) , on peut décomposer 36o, en denx
facteurs, de 12 manières différentes j 144 ayant i5 diviseurs (n** 246) , on
peut décomposer 144, en deux facteurs^ de 8 manières différentes.. EÀ en efietj
36o= IX 360 = 2 X 180= 3 X i2o=x 4x90=5x72= 6^6.
~-8x 45 = 9 X 4o=ïox36 = i2x 3o=i5x 24=18x20. I44=ix,44 = ax 72= 3x48« 4X 36=. 6x34=8x1.0.
