TROISIÈME PARTIE. Iâ
Remarque. La ftohitîon prëcëdente donne lé moyen de trouver toutes Mes solutions en nombres entiers positifs , de P équation indéterminée , icjr = ?î ; dans laquelle N est un nombre entier positif connu.
a5i . Lorsqu'une fraction -r, est égale à unefrae^an irréductible - ; les
deux termes de la première fraction , sont respectivement égaux aux
deux termes de la seconde , multipliés par un mime nombre entier n.
De sorte que Ton a, B=:6ra et A:=: an. En efiet;
IVcpatioii ,-=:-, donnant -7 = — ,
y suffit de prouver que b divise exactement B. Cela pos^ ; si B n'était pas €xactement dit^isible par b , la division de B par &, fournirait un quotient
entier q , avec un reste r, et — «tant ^gal à 7- » la division de A par a ,
•enduirait au même quotient entier q , avec un reste r'. On aurait donc
Or, r = — ; donc t = — • D'où - s: — r o a ' b a a r
Mais, les restes, r, /, sont respectivement moindres que les diviseurs b et a»
Isa fraction irréductible — serait donc exprimée par une fraction --7 , dont les
termes seraient moindres; ce qui est absurde, (n* 5a). Or, cette absnrditit résulte de Thypothèse que b ne divise pas exactement Bj on doit donc en conclure que B est exactement divisible par b. Désignant le quotient dt cette dtviûon par n , on aura
•7 = n s: — ; d^où B = &/» et A := an.
Ce qui démontre le principe énoncé.
1l52. Les seules opérations qui n'altèrent pas la valeur d'une fraction, sont donc la multiplication et la dit^ision de ses deux termes, par un même nombre (ïk^ ^5i).
b53. Une fractipn est irréductible , quand ses deux termes n'ont au^ 4tun facteur commun* En effet ; si A et B étant premiers entr'eux , la frac*
tien -r n'était pas irréductible , il existerait une fractbn irréductible - , qui ■evait égale & ~ ; les termes beta, seraient respectivement moindres que B
«t A* Mais, le principe du no a5i , donnerait B = &/x , A ±= an ; it désignant
«n nombre entier positif. Les quantités, B, A, auraient donc un facteur.
B «ommun 1»; ce qui cs| contre Thypotbisc. L« fraction T-«it àonc furé*
4miUc.
taÇ NOTES,
a54- L9 produit a X C étant dii^Uible par y et y n'ajrant aucun fire^ teur commun avec C; on peut en conclure que y divise exactement « • £n effet ; si )e ^uotMiit de la division d« «C par y\ est ^ , on aura «C=s >9 ;
d'oii - 7= ^. Or, Cet ^ ^unt prenuery entr'eiix , la fraction -estirrëductibic y A y
{ no a53 ). On a donc , ^ r=s Oi et 41 3= y^ (no «Si } ; y dlTÎse donc exactement al. Ce qui démontre le principe énonce.
a55. Lorsqu'un nombre premier çt , divise Ç» , on e^t certain que 4 divise C. En effet j si « ne divisait pas C, «e et C seraient premiers entr'eux. Or, 0^ est le produit de C"~' par C} et « diyise ce produit j a diviserait donc C"~' (no a54 )• On en déduirait suooessivement que « diWserait C*""' » C"-' ,. . ., C* et C. Ce qui est çpntre l^hypothèse. 11 est donc absurde de supposer que « divisant C" , ne divise pas C. Par conséquent , a, divise C. Ce quî^ démontre le principe énonce.
!i56. Quand la fraction ^ est irréductible , la fraction — est égale'
ment irréductible. En effet \ si la fraction — n'*ctait pas irréductible , ses deux termes seraient divisibles par un^nomjbre premier « ( n^ a5a )\ a diviserait donc b ex a ( no aSS ) ; la fraction - se serait donc pas iiréductible) ce qui s^
contre rhypoJkbuè$jç. |^ frficti99 ^ ^ <^iu: ixç^dvctib^.
aSy. Toutes U^f puissances d'une fraction irréduçti^lp^^ ^qnt ^frfiefions irréductibles (n® a56).
* a58. Lorsque 4, et ,Csont des nombres entiers , prep^iers entr'eux , les ^isiQnsdes n^Utiples, i«, ^« , 3k; • • • , (C— i) ft, jCft, parÇ^ donr^nt nécessairement, i,a,3,...,C — 1,0, pour restes. Les fes^ P^HKiM se présenter dans un autre ordre j jntiis on- est sûr d^obtenir tous ces restes (*)» Le principe sera démontré, si les C restes sont différens. Or, on ne peut trouver deux restes égaux; en effet ^ si ^ et ^' désirant dçs nombres entiers , moindres que C, les divisions de y^ et de y* , par C, donnaient deu|L ,re?t^s égaux ^ rj ejx représen^nt les quotiens par q etq', on
aurait, ' ^
yA^sÇq 'i^r et y'a = Çq' •+- r j d'oîi '
(On suppose 7 > >' ). Or , «t et C étant premiers entr'eux , la frac^pn -
(*) C et et étant premiers entr'^eux , C ne peut diviser exactement aucuns des multiples , «, a« , 34 ,...,( C— i }«. La division de Cst par C, donnera le
