TROISIÈME PARTIE

«l îrredttc^e ( a» 953) { d^ailleurs y^y' e§t moindre ^e C\ la fractiom

irrëduotibl« ~ «evait donc ^gak à une fraotion C[iii gurait dea termes moindres ^

et <» qui est absurde ( n<* 5a ). On ne peut donc pas trouver deux restes ëgauz. Ce qui démontre le principe énoncé. Par exemple , 5 et 7 étant premiers «ntr^eux , si on divise ,5, 5xa, '5x3, 5x4)5x5, 5x6, 5x7, par 7 , les restes seront, 5, 3, 1,6, 4' ^'^i^'^ trouve donc effectivement les restes , o , x , a , 3 , 4 > 5 , 6. Si Ton divisait les nombres, 7,7.3, 7.3 , 7.4, 7*5, par 5, on obtiendrait ks restes inégaux, a, 4» '» ^> <>•

aSg. Comme en avançant sHoocmvement d'un rang vcn la droite d'un nomhre écrit dttns U sy»tèmB dont la bafe ûH b, U$ unités det^iennent de b en h fois plus petites , le premier diiffire, à droiie de la virgule {*),

exprime des imités dont la valeur est 7 ; chaque unité du chiffre suivant ,

\aut j- \ et ainsi de suite. Par exemple ,

Si Ton fntroéuxt des ezposans négacifs , 6b aura

a6o. Lorsqu'on at^ance la virgule de a rangs vers la droite ou vers ia gauche d'un nombre écrit dans le système dont la base est b , on

multiplie ou on dèuise ce nombre par b , car les chiffres , avançait d«

« rangs vers la gauche ou vers la droite , expriment des unités b fois plus |[randes ou plus petites.

a6i. Quand le chiffre des unités d'un nombre N , est suiui de et chiffres sur la droite , ce nombre est exprimé par une fraction ordinaire , dont le numérateur est le nombre donné dans lequel on a fait abstraction de la virgule , et dont le dénominateur est V unité suiuie de a zéros

ou b , oar «a ««ppr^mant la viijgule , on multiple le p^bfe Si- , -par b

(qo 060); le résultat .divisé par b , expripie donc la valeur de N.

a6a. Réciproquemeut , lorsque le dénominateur d'une fraction , est

Vanité suivie de a téree , vers ia droite y odif , ou pput mettre .cette

fraction sous la forme d'un nombre .entier , il suffit pour cela d'éerirê

le numérateur et de placer la virgule sur la gauche des a premiers

chiffres à droite , car la valeur du dénominateur, étant b , si on supprt-

O On di&ûnp;ue le okiïïrt 4es unités par vfk$ yijr^;uj^ j placée »^f a^ ^oite (a« 65).

Ia8 NOTES,

ttiait le denominatenr , le rémltat sersût b fois trop grand; ofi doit donè

diviser ce résultat par h j ce qui revient à séparer par la vitale , « chiflEres «ur la droite du numérateur (n^ a6o). Ainsi,

36a. Quand le dénominateur «, d*une fraction -, n'est pas l'unité 5ui-

i^ie <2e plusieuri zéros sur la droite ; pour mettre cette fraction sous la forme d'un nombre entier, divisez Cpar « ; pan^enu au chiffre des unités , Mettez une virgule sur sa droite et convertissez les restés successifs en unités de b en b fois plus petites , ( ce qui revient a multiplier chaque reste par la base b ), Divisez ces dividendes, par le dénominateur ; les quotiens successifs , seront les chiffres qui doivent suivre la virgule dans le quotient total. En effet; lorsquVn est parvenu au cbifire des uni' tés du quotient , le reste est moindre qae le diviseur «t ; multipliant ce reste', par b , le dividende partiel qui en résulte exprime des unités b fois plus petites que les unités simples ; le quotient exprime donc des unités h fois plus petites que les unités simples , c'est-À-dire des unit^ du premier ordre à droite de la virgule. Pour obtenir le second cbifire à droite de la firgnle , il suiBc de convertir le dernier reste , en unités b fois plus petites , ce qui revient à niultiplier ce reste par b. Divisant le produit par et, on trouvera un quotient et un reste moindres que b ; ce quotient sera le second cbifire, k droite de la virgule; le reste, multiplié par b et divisé par a, donnera le troisième cbifire à droite de la virgule ; et ainsi de suite. Ce qui démontre ia règle énoncée. On d^it observer que pour convertir les restes «ucéessifs e unit^ de 5 en ^ fois plus petites, il suffit^ lorsque ces restes sont écrits dans le système dont la base est b , de mettre un zéro sur la droite de cbaque reste. Mais, afin d^exécuter les divisions avec plus de facilité , on écrir a tous les nombres , dans le système décimal (p? ai3)« En ap' pliquant cette règle, on trouvera

X Jj.= 0,0,4 > (^).. = (oM).. ; (2f),,.= (a,38 38 38.«.)

^^ -^ = ( of ooa 38 38 38 etc. )

064* ^'^ règle précédante , pouvant conduire h un quotient qui se termin* ou qui ne se termine pas , nons allons faire Toir que pour découvrir si , A et B n'ajrant aucuns facteurs communs, la division de B par A.- donnera un quotient exact ou indéfini , il suffit de décomposer A en ses facteurs premiers. JLorsque A ne renferme que les facteurs de la base b , le quotient est exact ( n° a65 ) ; lorsque A contient d*autres facteurs premiers, le quotient est indéfini (n^ :ilS6) etpériùdique (n^' 267 et 268 J, Démontrons ces propriétés.

ÏRÔISléME FARtlËi i2Û

ilOS. Qiiànâ le dénominateur d'une fraction irréductiile -^ , ne ren-»

Jèmte que les facteurs premiers de la hase b, la division de B par A> donne u,n quotient exact i c^est'h-dire que la règle du no a63| conduit aU reste zéro. Cela se réduit à démontrer qu^il existe loujours un facteurs, telqocf

•^ est de la forme T^ , Net c daignant des nombres entiers positifs |

( n^ a63 ). Pour déterminer le facteur e , on décomposera & et A en leuri facteurs premiers p, q (*} , ce qtii donnera ^

, ft C > m n

bzizp q , A=zp^ q^

Or, quel que soit x, on a

Dp q ^ OPÇ .—52 9 — ^ Ç 9

Ap q p q p q {p ^ ) h

Maïs, il eiiste une infinité de Taleurs entières positives de x, qui rendent/ Ax-^m et Cr-^/i, positifs. Désignant Tune de ces valeurs par c^ le nu-*

mérateur, Bp q , sera un nombre entier positif Nj on aura^