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^ =: *«. Ce qui démontre le principe énoncé.

B Bp*'^''*<7^'^"^ Remarque. L^éqnation -r s= ' • ' > «jant lien qnelqne soltx^

Uk règle 4tt tkO 762, fait voir , qoe si • désigne la plus petite des valeurs

entières positives de x, qui rendent, êtx-^m etCx-^n, positifs (^*)i

le quotient de la division deli, par A, renfermera t chiffres adroite

de la virgule. En effet; soitx = t;le numérateur , B/» xq ,

sera lin nombre entier positif P; on aura^

-= — , P=sBp q , hussp q .

(*) Potir fixer les iciées, on supposera (n** à65, 366, 367 et 370), qnela b(ise &, ne renferme que deuk facteurs premiers, Pf ^; les démonstrations seràieiiît les mêmes , si le nombre des facteurs était différent.

(**) Cette valeur de x est facile à déterminsr , car les binolnes , «m>-4ii ^

Cr-— ra y étant respectivement égaut k, «Tx — -~- J et 2i^C^ x -^ -^ J , on voit

que si * désigne la plus grande des firactions, — , ^, la division de ^ par

/, donnera un quotient entier Q , avec un reste R , et selon que R sera nul ou ne sera pas nul , la valeur de s sera Q ou Q«^ i. Cette valetir n^esl jamais moindre que Tunité*

Notes, Ariihnu ^

^3a 170TES ,

lies fractions, 7| — » ^tant égales, le quotient de la divlsioa àe B

|»r-A, est le même que celai de P par h * Or^ ce dernier quotient renfermera f chiffres k droite de la virgule, si le premier chiffre à droite de P n'est pas zéro ( n^ a6a ). La question est donc réduite à prouver que ie premier chiffre a droite de P, n'est jamais un zéro»

Si le premier chiffre à droite dé P était zéro , P serait exactement divisible par b\\e quotient serait an nombre entier £. On aurait.

Or , par hypothèse, A et B sont premiers entr'euz \ les deux nombres , «if— m, Cf — n, sont entiers positifs, Tun des deux nombres, ec(t^^i)— m, CCf— i)— -n,«st nécessairement négatif y et t — i n'est jamais négatif. Par conséquent :

1^. Lorsque A renferme lel d^ux facteurs , ^ , ^ ^ B ne contient aucua de ces facteurs j les exposans, a(f-r-i}— m, C(f— i)— n, seraient donc positifs ; ce qui n'est pas possible ;

là?. Lorsque A ne renferme qu'un seul des facteurs pét g , p par exemple , l'exposant /t=o^ A=p^f B ne contient pas le facteur p, mais B peut tenfermer le facteur </ ; on a donc,

B = bV, E = B/(— >-" X /(—')+».

( S désignant un nombre entier positif, qui peut être nul , et B' ne rei>fermant aucun des facteurs p et g de b)» Les exposans, «t(f— >i) — m, C(f — 1)+*, seraient donc positifs j «(•— i)— m, C(t — i}— », seraient donc positifs, (car n=o et • — i n'est pas n^atif). Ce qui est contre l'hypothèse.

Le premier chiffre à droite de P , n'est donc jamais zéro. Ce qui démontre le principe énoncé. On en dédoit cette règle générale :

a66» Quand le dénominateur ^une fraction irréductible rr, ne renferme

gue les facteurs premiers, Pj q^ de la base b; la division deB par A (no 263) , donne un quotient exact. Pour déterminer combien ce quo* tient contiendra de chiffres a droite de la virgule; décomposez b et

A, en leurs facteurs premiers; vous trouverez, b = p q ,A = p q *

Soit j^, la plus grande des fractions ^ — , s; la division de y par i",

donnera un quotient entier Q et un reste R. Alors, selon que R sera nul ou ne sera pas nul , le nombre t des chiffres placés à droite de la virgule^ dans le quotient de la division de B par A, sera Q

«67. lorsque le dénominateur d'unefraetion irréductible — , contient