TROISIÈME PARTIE. l3l,i
d'autres fadeurs premiers que ceux de la base , ia diuision de B paf
A , ne peut jamais conduire à un quotient exact, Eq effei j si le guo*
P li«kit était elact, il serait Suivaient à une fraction ^, dont le dénomî<^
nateur Q, serait Tunité suivie de plusieurs séros vers Ja droite (n^ a6i ) ; on aurait, Q«=/iA (n» a5i), et cette égalité est impossible, car A, », Q, sont des nombres entiers > Q ne renferme que les facttrurs premiers, p^q, de la base 5, et A contient d^autres facteurs premiers. Le quotient n« peut donc être exact Ce qui démontre le princi^)e énoncé. ISou» «dlont p^nver ( n«« a68 et 270 ) , que ce. quotient est périodique.
a68. Quand le dénominateur A , tPune fraction irréductible -^ ^ ne
contient aucun des facteurs premiers de la base b , la diuision da B pdr A, conduit a un quotient périodique, dont la période commence au preràier chiffre a droite de la virgule. En efièt; la division de B par A, donilcra un quotient entier Q, et Un reste A mcûndre que A$ on aora^
B=:AQ-1-R,| = QH-5.
La fractiott -r est irréductible , car si elle ne Tétait pas , A et H anraient nn facteur commun ^^ ce facteur diviserait AQ -f> R ; ^ diviserait dontf
A et B ; -r ^^ serait donb pas une fraction irréductibJe ; ce qui est contre
rhypothèsej la fraction -tr est donc irréductible et ïttoindre que rnnî'té.
La question est donc ramenée à démontrer que la division de R par A ^
donnera un quotient périodique , dont la période commencera au premiet
vhiffre à droite de la Yit^le. Gela se réduit à prouvei*, que lr>rsqu\m par**
YÎendra , pour la première fois , à uû reste S , égal à Tun des prccédens ,
«e reste sera nécessairement R. Cela posé; pour obtenir le quotient de la
division de R par A, on divisera ( n« ^3/j, R par A; o exprimera les
unités dii quotient et le i»*' rrste sera R; on divisera hR. par* A, ce qui
donnera un quotient Q' et un a« reste Wy la division de hW par A»
donnera un quotient Q^ et un àe reste R^ ; divisnnt ^R" par A , on trou*-
yera un quotient Q* et un 4* l'esté K"; et ainsi de suite. Enfin, soient
r, f', r"; etc., des restes consécutifs d^^à rang quelconque ; si ^'désigna
le quotient entier de la division de br par A , q" celui de br' par A , etc* \
Ctk aura ( n* 3o )
R' = *R - AQ', R" =t bK — AQ", R" d± bVi" — AQ», etc., l' =i: 5l- — A^, i*^ = Ar^ - Kq\ i^ =z bi^ ^ A^^ etc.
Les restes étant des nombres entiers positifs , moindres que le diviseur A ^ on parviendra nécessairement à un reste déjà obtenu. Soit, r'' :±: R*; on aura
bR!' — AQ» a= br" — Aq''; d'oii, Q* -- ly* « LiKp!ll,
l3â • NOTES,
Or, Q^ — ç* est un nombre entier ^ A divise donc exactement le pro* dnit 6 X (A'' — r*}. Mais, par hypothèse, A et 6 u^ont aacan facteur oommop ; A divise donc R'' — i^ ; or R" •>* r' est moindre qne A , car R'' et f f sont moindres qne K\ il faut donc que R^— /' soit nul. De sorte qae Thypothèse r'^ssR*, donne /'srR''. Cette dernière ëquaûon donnerait R' = / ; et ainsi de suite , en remontant. On en de'dult aisément queS=R* En effet j supposons que les quatre premiers restes, R,'R% R", R'i étant inégaux , le 5* reste R''" soit égal à l'an des précédens ; je dis que A^ sera nécessairement égal à R, car, par exemple, si R*' était égal à R*, le reste R** serait égal à R'; les restes qui précèdent R*' ne seraient donc pas difiRIrans; ce qui est contre l'hypodièse. II fant donc qae R*''=R« Ce qni démontie le principe énoncé.
RxiiAaQUE. Lorsque le premier chiffre à droite de B , n*est pas zéro , le quotient entier Q , ne peut jamais être terminé vers la droite , par la période que donne la division de B par A. En effet ; désignons , la période par P, et le nombre des chiffres de P, par p. Si Q était tenniné par P, on aurait,
? = DP,PPP etc. (♦).
Di'yisant les deux membres de cette équation ^ par If ^ il viendrait
— = DiPPP etc.
Retranchant cet égalités membre à membre , et observant qne la diffi> repce DP— >D, entre les seconds membres, est un nombre entier £^ o* aurait,
B B —, ■%% \, B Eo^ -T — = E^ d'on, -T = .
^ AhP ^ {bP-D
Or^ h et &— I, n'ont jamaîs de facteurs communs ; B contiendrait donc le facteur h \ le premier chiffre & droite de B serait donc un zéro. Ce qui est contre Phypothèsc. Le principe énoncé est donc démontré. On en déduit cette autre propriété :
369. Quand une fraction irréductible -r ^est telle ^ que son dénomi-
nateur A ne renferme aucun des facteurs premiers de la base &, et (*) Par exemple^ si -■ ss 8371^7 $7 37 87 etc*j on aara , D== 8, P as 37,
|i = a, Q = DP 7=887, — = DfPP etc. = 8,37 37 etc. On fera usage de la même notation , dans les n*< 271 et 373«
