serait un nombre entiec£ 5 on aurait, ^£?=:Mp ^ q
. Quand A renfermerait les facteurs , p , q y\e nombre M ne serait divisible par aucun de ces fatvteurs; <•— -i) — m et O— ')*-"«> seraient donc positifs i ce ^i est contre Tbypothèse. Lors^e A ne renfermerait qsCua
l34 NOTES,
âe$ laotenn, p, q, le ûictear p par exemple; on aoraît,
« de'sigoan( un nctmbre en^çr positif, et A' ^e çon^nant ancun desfac^ tenrs, p, ^ Les exposans, At — i) — /w , C(% — i)-f"*, seraient donc positiCs) «(•--^ï) — TO et ff^i— i)-f-/i , seraient donc positifs. Ce qui est encore contre rbjpothèse. Le prenuer c^iifre à droite 4^ P o'e^t doQC javiais zéro. Or,
la fraction -^ est irréductible et A ne contient aucun des; facteurs pce%
fniers , p, g , âe Ifi base b. La division de P par Ab , donnera donc pouB
-jr, nn quotient qaî renfermera t cbiffîes entre k virgule et (a première {i ■ . • ' . • • •
période fn© 269^. Mais, la valeur de l'est Q pn Q-f-.i, (note du n» a65)- Le principe énoncç' ^t donc «zact.
371. La djvibiçn <}u numérateur d'une fraction , par son dénominateur, conduisant toujours à nn quotient e^act ou pcrioaique , nous allons rétondre k problème inverse. Quand le quotient est exact, la règle du n« o6t , détermine la fraction ordinaire équivalente, ^oas aHons démonlrtr qua tout quotient périodique , est égala, une fraction ordinaire. Pour sim« plifîer les calculs , nous désignerons , la base an système de Bumèration par b , le quotient total par. x , le nombre placé ik gauche, dé la virgulo par E, la partie non pérÎQdique, placée entre la virgule et la première période, paiç N, le nombre des cbiffîes. de N, par. n , la périoile par P et le nombre des chiffres de P , par p. Si le quotiçnt périodique était. .... «agi 34 587 587 etc., on aurait,
. a: = lag, 34 587 5»7 eic. j Bœiag, 1^ = 34, n5?=a, Vxx:5Sj, pt=3. Et en généiral , on écrira la valeur de x, de cette maniè|;e j^
(i)... X r?: E|TNPPP etc.
Pour obtenir une valeui^ de «, qui ne ^enferme pas nne infinité de ebiffres „ çn observera que si Ton pouvait déduire de IVfqoation (i), deux expressions en X , qui contin&sei^t la m^me partie périodique , leur différence ne renfermerait plus la partie périodique.' De sorte qu^on en déduir.^it une yaieur de or, qui ne se prolongerait pln^ à Tinfini. Le. problème serait donc résoin. La manière la plus simple de parvenir à ces deux exprelsions , est ^e transporter 9ocçe!:si^çp)ent la virgule ^ droite et à. gauche, de la première période, cç qui donne ElSPfPPP etc., ENfPPP etc. (*;. Or, en avançant ainsi la virgule, âe n^hp et de n rangs à. droite, on multîpKe le quotient ■ ■ »" ■■ 11. •<• < . . ' — ■ ■ . ■ ■*
(*) (iorsqne ir= 1291 34 5^7 587 etc. ; on a, d'après la notation, adoptée ^ ENPiPP'etc. = 1393458:, 587 587 etc. ; EN,PP etc. == 12934, 587 5^j çtc,
ÇNP|PP «te. -:- EN,PP cii. ==JBNP-EN= i:^4587 - ^^i-
TROISièMC PARTIE-: \S^
ac^ par B'-^f^ et par h* ( n<) a6o ). On a donc ,
xx^'+z» = ENPf PPP etc., et xxè» = EN| PPP etc*
Pour trowrer or, on retranchera ces e'quations membre à membres y., c» <ini donnera,
x6»+F-xi»=^ENP-ENî d*oii {a)...x = ^^~^. .
Or, bP — I est nn nombre composa de p chiffres égaux à ^ — i , ( n» 307) ^ et Ton multiplie ce nombre par &*, en plaçant n zéros sur sa droite. La comparaison des formules (i) et (3), conduit donc à cette règle générale:
272. La base étant b; pour convertir un quotient périodique , en frac-', tion ordinaire; transportez successit^ement la virgule, à droite et ht gauche de lu première- période^; la différenee entre ces deux derniers nombres , sera le numérateur de la fraction demandée (*). Pour formée, son dénominateur , il' suffit de prendre un nombre , composé d'autant de chiffres égaux à b-y^i , qu'il y a de chiffres dans la période eê de mettre autant de zéros sur la droite de ce nombre , qi^il y a de ëhiffres entre la virgule et la première période. Cette règle, dëmontr* génëralement les proprie'te's des n^* 88 et 86.
273. Remarque. Qnand le qiiotîent périodique x , étant moind^ qne Tunité, la période cpmmence au premier chiffre à droite de la yirgiile, lu*
règle donne, x = , De sorte que, tout quotient périodique, moindre
que Vanité y dont la période commence au premien chiffre à droits ile la virgule, est égal à une fraction ordinaire, qui a pour numé-' tuteur la période et pour dénominateur un nombre composé d^ autant^ de chiffres égaux à b-^i, qu'ity a de chiffres dans ta période» Sil'i>n ■veut parvenir directement à. ce résultat , on posera x = 0|PPP etc. Avan-, çant la virgule de p rangs à droite , la valeur de x sera multipliée par bP ; de sorte que, xxbP =:PfPPP etc. j retranchant cet équations, memhre ài membre , il viendra ,
xxbP —• X ^zzV: d'oU * =3 7— .. On en déduit^
bP ~- i
0,37 ,7 a, etc. = g = i, (0,37 a? »7 ««. ), é= g)^ = (-1)^ = -^
{*) On peut simplifier le calcul en supprimant successivement dans 1& quotient x , tous lea^iiffires placés à droite de la première période et ensuitetontes les périodes ; ce qui, donne £|NP et EfNf on fait abstraction d^ la virgule dans ces deux derniers nombres; la différence entre les d«ax nombres entiers , ENP , EN: , qui en résultent , exprime le numérateur; demandé.
Fractions continues^
374* Qnftnd les deux teimef d'une fraction irréductible -^ » *ont d««
nommes un pen grands , il est difficile de prendre nne idée de la grandeur
de cçtte, fraction f on cherche alon de^ fractions plus simples (*) , qui ap«-
prochent le plus possible de cette fraction. Nous allons faire voir comment
on peut calculer ces fractions.
B Pour obtenir la valeur entière approchée de la fraction -r , on diviseni
B par A; ce qui donnera un quotient entier q et un reste r; on aura.»
T 5* 4^ -4- rr ; de sorte que la valeur de la fraction -r , sera comprise
entre les deux nombre? entiers ; q^ 9+ 1 î chacun de ces nombres, est uno
B valeur entière approchée de ^ et 9 est ce qu'on nomme la plus petite
Valeur entière approchée de la fraction t. Pour trouver une Talenr
plus approchée^ on divisera les deux termes de <* , par r^ nommant (f 1« gno^ent entier de la division de A par r, et r' le reste , il viendra ,
ç "f- -7 sera une nouvelle ▼d.eur approchée de -r ^ cette deuxième valeur
approchée, sera trop grande, car en prenant q% au lieu de ^'4- —, le dcnomina*
tcur ^ est trop petit. Opérant sur — , comme on à opéré sur jr , on di-r
visera les deux termes r' et r, par r'; la division de r par r', donnera un quotient entier q" et un reste r^i on aura.
^; d'oi,, 1=,+ I^
l' + p' «* + Jf
(*) On dit qu*nne AracUon est pltis simple qu'une antre , lorsque les deux lentes de la piemière , sont respectivement moindres que ceux de la second^'
j/iinsi, - est plus âimpU quç ^— et ^ est plas simple que g.
