TROISIÈME PARTIE. l

Si l'on négligeait la fraction -;- , on aurait une troisième valeur approchée ,

qui aérait moindre que 5 , car q*" étant trop petit , le dénominateur q'+ ^

serait trop grand. En continuant de la même manière, on voit que l'on obtiendrai des fractions, qui seraient alternativement plus grandes et plus

petites que ?. Or, ces calculs sont les mêmes que si l'on cherchait le plus

grand commun diviseur entre B et A; ^, 9', q", etc., sont \t& qiwtiens ' successifs et, r, r', r", etc., sont les restes correspondans j mais B et A sont premiers entr'eux , leur plus grand commun diviseur est donc l'unite ; on parviendra donc toujours à un reste égal à l'unité. Soit r"=3ii le quotient 47^, de r^ par r", sera ^^=/j de sorte que,

Cette valeur de -? est ce qu'on nomme une fraction continue ;

p 7 + 7. 7 + 7 + 2,, etc.,

sont les réduites successives, et les quotierts incomplets ^ qui répondent k ces réduites, sotUq,q% ^*, etc. Les fractions continues , jouissent d'un grand nombre de pn^étà , nous nous bornerons à faire connaître comment on peut déterminer la valeur d'une fraction continue , at^eo une apprortnation dmnée. La solution de ce problème, repose sur des principes que noua ali ns d"* abord établir.

375. Les calculs précédens (no 274 ), conduisent à cette règle générale:

B Pour convertir une fraction irréducttble 3- , en fraction continue p

opérez comme si vous cherchiez le plus grand commun dit^iseur entre

B et A; vous obtiendrez des quotiens entiers successifs y qy tf^q , etc, ;

( q exprime le quotient entier de la diviUon de B par A ) 5 /e nombre

de ces quotiens sera toujours moindre que A -f- i. La valeur af

TZf f* fraction continue , sera donnée par la formule ,

^ ^ ^^"4- etc.

276. La conversion des fractions continués f en fractions ordinairts ^ X^qWxç aucune difficulté. En e£fer3 on aj

t38 notes;

y -f — = ^^f — . Changeant q' ,tn <f 4- -7; , îl vteat

Changeant, dans cette dernière , q", en 9" + -«1 , «t multipKant les denx

termes du résultat par t/', on trouverait la valeur delà fraction continue (1} f en fraction ordinaire. ,^^

277. Les calculs précëdcns, donnent le moyen d^ évaluer les réduites, successives, en fractions ordinaires , mais on peut abr^er ces calculs. En effet î la comparaison desquotiens^ g, 9', q*% (f^ etc., avec les réduites correspondantes ,

fait voir que la 3« réduite, se déduit des deux précédentes, en multipliant les deux termes de la a^, par q" et ajoutant aux produits les deux termes <7 et I de la i'^ réduite. La 4^ réduite, se déduit des deux précédentes ^ d'après la ;méme loi , c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur peuvent s'obtenir, en multipliant les deux termes de la 3« réduite , par q" et ajoutant aux produits les deux termes de la a« réduite. \a analogie conduit donc à cette règle:

378. Pour transformer en fractions ordinaires, tes réduites succès^

siuesy qui correspondent h la fraction continue {Tt) ; éê rivez les quotiens

q' , q" , q"^ y etc., par ordre et sur une même ligne horizontale j calculez

€t ail ^^ I les deux premières réduites y - , i-~ — ; posez ces réduites sousq' et q".

Pour en déduire la 3^ réduite y multipliez les deux termes delà ^^ réduite, par le quotient q'\ placé au-dessus ; les produits , augmentés respectif vement des deux termes de la i»"» réduite ^ donneront le numérateur et le dénominateur de la 3* réduite. Posez la 3» réduite , sous 9*. La 4* ré* duite se déduira de même des deux précédentes , en prenant pour multiplicateur le quotient q". Et ainsi de suite. L'exactitude de cette loi étant vérifiée pour les trois premières réduites , il suffit de prouver que si la loi

énoûcéè a lieu pour trois réduites soccessives^ ~ > ""^ > ~ir ^ ^ réduite suivante

te A A

.■»>** déduira des deux précédentes , d'après la même loi. Soient, >' et y" les quotiens incemplets correspondans aux réduites » -7 7 -jy î il s^agi^ ^^ pToaver quesiTona, (a) -,= -Z.,

TROISliME partie: ^Sj

on peat en eonclarc , (3) . . . . , -iû=^ irirt — / ^*)*

ce fty -n* ( »

Or , d'après la définition 4çs réduites saccessives > -5 se dédait de y, en «bangeant d^ns celte dernière^ y* en y' 4- -7,. La fonnute (2) donnera donc^..

La formule (3) n'est donc qu'une conséquence de la formnie (a). Ce qui démontre le principe énoncé. De sorte que ,- , -7, -j?, -m, désignant de» réduites consécutives d'un rang quelconque , on a

379. Ces formules générales démontrent que tes termes des réduites suc^ ees^iues sont d'autant plus grands , que ces réduites sont plus éloignées 4e la preijfUère , car et, C,. tt' , Cf, y' et y, étant des nombres entiers positifs/

a8a Les réduites successives sont alternatiifement plus petites <f plus.

{*) D'après la notation adoptée , si l'on désigne la fraction continue tp-t taie par x , on aura ^

Le» points placés entre 9* et-^;, indiquent qu'il y a un nombre quelw

conque de qnoiiens , entre ^" et y\ Si dans la valcw de -^ , on chapge y' ca

y^ -f- —T., le résultat sera -a.

C et et" désignent les deux termes de la réduite pour laquelle on suppose la loi démontrée 5 de sorte que , pat hypothèse, C = C v' H- ^> *" =^ *'>' + * •>•

grandes que la fraction continue totale (^) ; maU elles s*en approtheni

lie plus en plus. Ces propriétés se de'daisent de la relation qui existe entre

deux re'duices consecntiyes , - , — . , etla fraction continue totale x. En effet ;

et ûL

diaprés la notation adoptée ( note du n« 378 ) , pour déduire la fraction con* tinue totale jr , de la réduite -5 , il suffit dans la valeur ,\, t de celte

• A (L'y ~T"Ct

réduite, de remplacer le qaotient incomplet y' y par le quotient complet

>'+ //, ' — • Nommant donc j^ , ce quotient' complet, on aura. ^.

j^ "^" ©ce

(i). . . X = \ et X ^ ' » *^*' y' y y" t ^^^9 ^^^ positifs.

Cette équation exprime la relation qui existe entre la fraction continne

C C totale j:, et les termes de deux réduites consécutives quelconques, — , —7. Pour

comparer les grandeurs de ces fractions, il faut tâcher de mettre en évidence. Ire

différences entre x et chacune des réduites, -, •?< Or, Téquation (i) donne ,

C C Mais, âL^jr et et sont positifs ; les différences, ar — -7 , - — a: , sont donc ton-

jours de mêmes signes ^ la valeur de x est donc comprise entre - et ~7.Par

exemple , si — est plus grand que x , la réduite suivante «-^ sera moindre que jr«

Or, on a

«'>«>r>n donc, «>•>«.

La formule (3) démontre donc que , x — -7- est. moindre que - — x. La ré^'

duitê -7* approche donc plus de x, que la réduite précédente -. Ce qui dé-

montre les propriétés énoncées.

a8i. Remarque» La i^^^ réduite ^ est évidemment moindre que la fraction

continue totale x. Par conséquent ; les réduites de rang impair sont trop petites et les réduites de rang pair sont trop grandes» Mais, ce& truites , approchent de plus en plus de x ; les réduites de rang impair vont donc en augmentant , tandis que celles de rang pair diminuent,.

(*) Cette propriété avait été démontr/ée , par analogie, dans le v9 974*