TROISIÈME PARTIE
De sorte qae ces réduites forment ileox stîries^ dont les tonnes se rapprochent de plus en plus de la valeur de la fraction continue totale.
28a. La difi*<^rence —^ entre les deux premières rëduites, g, q^i ;i a pour
numérateur Funitë. I^ons allons démontrer ^e cette propriété convient à
deux réduites consécutives d'un rang quelconque. Si - est de rang pair y on
aura^
La formule (a), du n* 378^ donnera
Les fractions, qui expriment les différences entre les réduites consécutives^ ont donc des numérateurs égaux. Mais, le numérateur de la première différence est l'unité \ les numérateurs des fractions , qui expriment les différences entre les réduites consécutives , sont donc égaux à l*unité.
* a83. Remarque, L'^alité^ «fC — «C= i, démontre que, /e«<2eiijr<enne< de chaque réduite, sont premiers entr'eux y car, d'après cette égalité, tout nombre qui divise exactement «t et C, devant diviser l'unité, « et C n'ont pas d'autre facteur commun que l'unité. Les réduites, formées d'après la règle du ik9 378, ne peuvent donc pas être exprimées par des fractioi|s plus simples.
384. La fraction continue totale x , étant toujours comprise entre deux
C C réduiter consécutives quelconques , - > -r > l'erreur E que l'on commet, en
prenant une de ces réduites , pour la valeur de x, est moindre que la difféf
rence entre - et -7. Or ,
7= 7— = — ,* car«'C— «r = i.
L'erreur E est donc moindre que — ^. Mais, «' étant momdre que «^ — «st plus grand que — > ; l'erreur E, est donc moindre que — • Par eonséqnent % lorsqu'on prend une réduite -, au lieu de la fraction continue totale, Verreur que Von commet est moindre que ~ (^}.
(^) On peut aussi déduire cette propriété de l'équation (i) du n» a8o. En
fi , C
effet; l'erreur E que l'on commet, en prenant - , au lieu ôêx, est -— x»
\4^ KôtÈà ;
a85i Lofsgu^on irahsforme une fraction irréductible — , en fractioh
<sontinue.(n^ ^'jS), le nombre des quotiens qui entrent dans la frac^^ tion continue , ne peut jamais su f passer A; il jr a autant de réduites
que de quotiens; elles approchent de plus en plus de la fraction -r y mais
leurs termes vont en augmentant; la dernière réduite est la fraction dott"
née j ; toutes les autres réduites sont donc plus simples que -r. Ces
réduites doiineiit le moyen ô^ exprimer une fraction irréductible -r y par des fractions plus simples et qui approchent de plus en plus de la
valeur de •^. Dans Ce cas, Terrenr que Ton comikiety en prenant line
réduite - , au lien de -r , a pour valeur exacte la différence entre - et
tL A *
•r ^ cette erreur est moindre que -^. Par exemple, soit la fraction.. 4 «^
3i^ iSq
—' — — , qui exprime la Valeur du rapport de la citcohférencè au dia'
mètre, à moins d'un cent-millième d'unité près; la recherche du plus grand commun diviseur, entre 3 14 iSg et 100000; donnera les quotiens successifs , 3, 7, i5, I9 d5> i> 7, 4» ^^ '^ '^^Q ^1^ ^^ 37^9 conduira aux Calculs suivans :
Quotiens, 7» «5, i, aS, t, ^, 4»
B^x . 3 M 333 355 9108 9563 76149 3i4 iSg
' 1*7* 106' ii3' 3931' 3o44' 24^39' 100 000"
La première réduite est - j la deuxième est , 3 + - ou — ; pour en d^
duire les autres réduites , on a écrit les deux premières , sous les quotîetu
7 et i5. On a multiplié les deux termes, aa, 7 , de la seconde réduite ^ par le quotient i5, placé au-dessus; les produits 33o,io5, augmentés de« deux termes, 3, i , de la première réduite, ont donné les termes 333, a 06, de la troisième réduite. Et ainsi de suite. Les rapports approchés d«
Or, Féqaation indiquée donne.
On a donc , E < -—- , ou E < -^.
- ttcty ' «tflt'
Donc , E < ~ , car *' étant plus grand que « , on a — > — ;.
