TROISIÈME Partie; i^S

la eirconfiérence au diamètre , dont on fait le plus d'asage , sont — , <t

— ;r i Ces rapports onf 4té donne's par Archimède et par Adrien Métius,

a86. Réciproquement, toute fraction continue ^ composée d'un nombre fini de quotiens , est équivalente a une fraction ordinaire (no 276).

287. // existe des quantités incommensurables , dont les valeurs sont exprimées par des fractions continues ; ces fractions continues se pro» longent nécessairement a P infini ^ et dans ce cas , on ne parvient jamais

à la valeur exacte de la fraction continue totale x » mais il est tou^

jours possible de trouver une réduite - , qui diffère de x, d'une quan^

tité moindre qu^une quantité donnée ~. En effet } Terreur commise en prenant - , au lieu de x> étant moindre que — , il suffit de satisfaire à la

condition ^ ^ ~~i cette inégalité donne ; « ^ \/ Tf et les dénominateurs

des réduites, croissant très-rapidement, la règle du n' 278, conduira tou^i

jours à une réduite - , dont le dénominateur a jouira de la proptieté deman-

dee. Si y désigne la plus petite valeur entière approchée de \/ T9 on

continuera les calculs du n^ 278 , jusqu'à ce qu'on trouve une réduite

- , dont le dénominateur « , soit plus grand que y. Pour appliquer cette

théorie géne'rale à des exemples , nous considérerons les fractions continues , I î

19 + cic. ^ 4 -I- - ,

"** B + etc.

Les plus petites Taleurs entières approchées de x et y , étant zéro , 1« premier quotient est 05 la première réduite est donc -. Si l'on forme l«s valeurs approchées de x^ on trouvera,

Quotiens, a , 2 , i , 19 , etc.

Réduites, ï, I, ?, 5 iS.. etc.

Eu prenant pour x, la valeur approchée -^ , on aura

lia * "" i3i5 ^ 014275 etc. j rcrreiir stra «oindre ^ / ^ * ou que. . .*

i44 ïîotEs;

otooooS etc. La Talcar de x est donc 0|4a75, à moins dW dit-mîlliéttté d^unit^ près. On trouvera de nàéme qae les valeurs approchées de^, sodI

G I 3 lo 4^ 53 36t

Si Ton vent obtenir la valeardejr, à moins d'un cent-millième d'unité près, on aura

^ = loo ooo, A^V^ioooooj V^iooooo =s 3i6f2 mc,i yss3i^ «^3i6« o

La réduite demandée est donc j^ = 0^76808 etc. La yaleur de j^, est

donc O176808, à moins d'un cent-millième d'unité près.

*■ a88. Liorsipi'à partir d'un certain terme, les que liens se reproduisent dans le même ordre et à Tinfîni , on dit que la fraction continue eat jveriodique» Ainsi,

(i).... ar = j y

«+''^' ^ + ï + eic.,

•ont des fractions continues périodiques. Dons la première , la pârîode n'a qu'un tenue , a ; dans les deux autres , la période a denx termes^ a , ^.

* 289. La valeur d'une fraction continue périodique ^ est toujourf^exprimée par la racine .réelle positive d^une équation du second degré* "Èik efièt; les équations (i) donnent,

X = — T- — , r s= ^— J Z :=:: -^-7 5 d'ott

(a).. x*'hax — i ■= o, (3).»jr« 4, &jr «-. -= o,(4)..'2 =

Dans chacune des équations (3) et (3), les racines étant réelles et de signes contraires, la racine positive de l'équation (i), exprimera la fraction continue x et dans l'équation (3), la valeur positive de y, donnera la frac'tion continue jr, La substitution de cette valeur de^, dans l'équation (4)f déterminera z. La démonstration serait la même si la période et la partie non périodique ; étaient composées d'un plus grand nombre de termes. Ce qui vérifie l'exactitude du principe énoncé.