QUATRIÈME PARTIE. l

1*. Si l'on veut qne le log. soit entièrement négatif , on cherchera le log. de ^56, qai est 2165896 f4e nombre propose contenant 6 décimales , on.retratichera de 6 , le log. 3r658g6| le reste , affe^.té du signe — • > donnerA^— 3t34io4> pour lé log. demandé. £n Toici la preuve ...

.i.{oiooo456)==:/.(^-^~J==:/.456--/.ioooooo==2t65896--6==--3|34io4.

a<^. Si l'on Test que In caractéristique seule sott-Bégatire, on cherchera le log. du nombre entier 4^6, qui résulte de la suppression de la virgule dans le nombre proposé otooo456; le log.. de 4^6 est !i|658g6 ; la partie décimale de. ce log; , affectée d'une caractéristique négative égale au nombre 4* des zéros jqui précèdent le premier chiffre décimal significatif du nombi» proposé

OfOOQ456, donne 4^|658g6 pour le log. demandé. Ce procédé trouvera démons^ tration dans les égalités suivantes. . .

/.0|00o456 = /,-J^5— = /.456— /.|ooo ooo = a|658g6 — 6

^^ lOOOOOO ^ ,

993. n« Problème. tTn log. étant donnée trouver le nombre auquel il appartient.

!«' Cas. Si le log, est dans la table ( la caractéristique est alors ^Op I, a OU 3 ) , on le trouve dans Pune des colonnes intitulées Log. « et le nombre entier ^ moindre que loooo, auquel il appartient ^ est sur sa gauche, dans la <jolonne intitulée N* On trouve , de cette manière ,. que le log. 3|56573 , appartient an nombre 3679.

II® Cas. Si la caractéristique du log, proposé étant 3, la partie dé" cimale né se trouve pas dans la table ; prenez 9 dans la colonne D , /a différence entre les deux log. qui comprennent le log. donné ; calcule» la différence entre votre log. et celui de la table qui est immédiatement ■ plus petit ; considérant ces différences comme des unités simples , divisez la seconde par la première ; calculez deux décimales au quotient ; le nombre de quatre chiffres , auquel appartient le plus petit des deux log* tabulaires, suivi des deux décimales , fournies par la division , donnera , à moins d*un centième d^unité près, la valeur du nombre décimal auquel appartient le log. proposé. Dans quelques cas , assez rares., les deux, décimales sont fausses; mais on peut toujours compter sur l'exactitude^ ^^ des quatre premiers chiffres h gauche du résultat.

Eicemple.. Pour trouver à quelfiombre appartient le log 3/^344' > ^^ cherchera dans la colonne des log. , les deux log. tabulaires entre lesquels tombe Te log. proposé j on trouvera que ces deux log. sont 3 f 334^5 et 3 f 33445 ; on prendra dans la colonne D, la différence no cent-millièmes, entre ces deux log^y on calculera ensuite la^différence i6cent'minièmes, entr^ le log. donné 3f3344i et le log. tabulaire immédiatement plus petit 3|33435; divisant la seconde difi^érence, par la première, le quotient sera 0|8o| lé nombre ai59, auquel appartient le plus petit log. tabulaire 3|334a5 , suivi des deux décimales OfSo » Ibumiea par la division, donnera ai 59f8o,ponr le nombre décimal auquel appartient le log. proposé 3 f 3344 1* Voici la raison de ce procédé; le log. donné 3|S344' 9 tombant entre les log. de ix59 et de ai6o, qui sont 3|334a5 et

l5o ' NOTES 9

3|3344^ ; le nombre cherche tombe entre aiSg et 9160; ce nombre est donc 31 59, pins nne frartion; ponr trouver cette fraction, je prends la différence Qfoooao, entre les loç. de aiSget de 3160; je cherche la difféience OfOO0i$ entre le log. donne et le log. tabulaire immédiatement plus petit , et je'dis : Si pour 0|Ooo3o de différence, entre les log. de ai59 et de 3160, il faut ajouter I à 3159; combien, pour 0)00016 de différence , entre mon log. et celui de 9 159 y doit-on ajouter à 3169 ? Lies trois premiers termes sont donc

0|Qoo3o : I :t Of 00016 :

Le quatrième terme de cette proportion est — on O|8o ^ le nombre cherché est

donc 3i59t8o. On TOit que le raisonnement conduit au même calcul que k règle abrégée. *

III* Cas. Si la caractéristique du log. proposé est plus grande que 3; iiiminuez-'la d'assez d'unités pour qu'elle devienne 3. Cherchez , dans la table, k quel nombre appartient ce nouveau log. Si ce nombre est entier ^ mettez autant de zéros sur sa droite que vous avez retranché d'unités de la caractéristique ; et s'il est décimal ^ avancer la virgule d'autant de rangs vers sa droite, que vous avez retranché d'unités de la caracté'ristique* Dans ces deux cas^ le résultat sera le nombre auquel appartient le log. proposé. Cette règle est fondée sur cette propriété , que le nombre auquel correspond un log. , est divisé autant de fois par lo , qu'on retranche d'unités de la caractéristique ( tfi 338).

/"* Exemple, Soit le log. 7)56573 ; je diminue la caractéristique 7 , de 4 , unités, ce qui donne 3)56573^ cherchant ce dernier log* dans la table , je trouve qu'il appartient an nombre entier 3^79 { mettant 4 zéros suc la droite de ce nombre, à cause de8*4 unités ôtées de la caractéristique 7 , le résultat 36 790 ôoo, exprime le nombre auquel appartient le log. 7|56573.La raison de ce procédé est facile à /^percevoir. En effet j quand on ôte 4 unités, de la caractéristique 7 , le log. 3|56573 que Ton obtient, appartient à un nombre 3679, qui est loooo fois trop petit \ le nombre cherché s'obtiendra donc eu multipliant 3679, par loooo \ ce qui revient h mettre 4 zéroç sur la droite de 3^79.

' II* Exemple. Pour trouver à quel nombre appartient le log. 5f3344i i ^^ diminuera la caractéristique 5> de 3 unités , ce qui donnera 3|3344i > cherchant à quel nombre appartient ce dernier log. (n<> 393, 3Ccas), on trouvera 3i59|8o; avançant la virgule de deux places vers la droite, à cause des deux unités ôtées de la caractéristique, le résultat 3 15980, exprimera le nombre auquel appartient le log^ donné 5)3344 î* Cela est évident» carie log. 3)3344i) app^'^^^'^^ ^^ nombre aiSgiSof le log. donné 5)334)1 , qui contient 3 unités de plus, appartient au nombre 100 fois pins grand 315980,

III* Exemple, Si le log. proposé était 4l7977^ 9 '^^ dimtuuerait sa caractéristique d'une unité, ce qui donnerait 3)79773 j cherchant à quel nombre appartient oe dernier log. ( n" 393, 3® cas), on trouverait 63;6{57 ; avançant la. virgule d^un rang vers la droite , è cause de l'unité retranchée de la caracté- ^ristique , le résultat 6276517 serait le nombre auquel appartient le log. proposa.

IV^ Cas- Si le log. proposé ne se trouvant, pas dans la table ,' la «a<^ ractéristiqiie est moindre que 3; ajoutez, assez d'unités à la car^ctén. ristique, pour qu'elle devienne. 5; cherchez dans là table à t^uel noj^i^CQ

III Mil

QU A TRrèMJE PARTIE. l5i

liécimal appartient ce noïit^au log» ^ et avancez la virgule tCautant de rangs vers la gauche du/tombre décimal, que vous avez ajouté d'unités à la caractéristique. Le résultat sera le nombre auquel appartient l& log» proposé. Cette règle se démontre comme la prédédente. Pour trouver à quel nombre appartient le log. it79773 ; on ajoutera deux unités à la caractéristique I , ce qui donnera 3 179772 ; cherchant à quel nombre appartient ce ' dernier log. (n® agS, a® cas), on trouvera 6276157; arançant la virgule de deux rangs vers la gauche , à cause des deux unités ajoutées |i la caractéristique , le T^ultat 6317657 exprimera le nombre auquel appartient le log. 1 179772. Cela est ^'dent , car en ajoutant 2 unit^ à la caractéristique, on ajoute le log. de 100 ; Je nombre 6376157, que l'on obtient , est donc 100 fois trop grand; il faut donc le diviser par 100; ce qui s'exécute en avançant la virgule de deux places vers la gauche , comme le prescrit la règle. On trouverait de la même manière que le log. 0| 56573, appartient an nombre décimal 31679.

y» Cas. Pour trouver a quelle fraction appartient un log, négatif , •distinguez deux cas. 1^. Si le log, donné est entièrement négatif f rc" tranchez-le du nombre des imités de la caractéristique y augmenté del^f le reste sera un log. positif, affecté de la caractéristique 3 ; cherchez à quel nombre appartient ce nouveau log,; placez ^ensuite autant de zéros plus un j sur la gauche de ce nombre , qu^il y a d'unités dans la caractéristique du log. proposé ; mettez alors la Virgule sur la droite du premier zéro; le résultat sera la fraction décimale à laquelle appartient le log, négatif proposé. 2**. Si là caractéristique seule est négative , sup' posez'la positive et égale à 3 ; cherchez h quel nombre appartient ce nouveau log. ; placez ensuite autant de zéros sur la gauche de ce nombre, qiûily a d'unités dans la caractéristique négative ; transportant alors la virgule sur la droite du premier zéro , le résultat sera la fraction déci- 'maie h laquelle appartient le log, demandé. Cette règle n'est qu'une conséquence de cielle du no ^192 , (4® cas).

/«»• Exemple. Pour trouver à quel nombre appartient le log. entièrement négatif— 5f34to4 ; on soustraira 5f34io4y de 9, qui exprime le nombre 5 des nnités de la caractéristique, augmenté de 4 ; le reste sera 3|65896; cherchant à quel nombre appartient ce dernier log. , on trouvera 456o; plaçant sur la gauche de ce nombre, autant de zéros, plus un, qu'il y a d'unités dans la caractéristique négative 5 , oïl' écrira o 000 004 56o ; ^i l'on met la virgule sur la droite du premier zéro , le résultat OfOoo 004 56o' sera la fraction décimale ft laquelle appartient le log. négatif — 5|34io4> Cela est évident, car le iog. ^-* 5^34104 appartenant à un certain nombre ; si l'on ajoute 9 unités; le résultat, 9 — 5t34io4 on 3|658g6, sera le log. d'ua nombre 456o , qui sera

I ^ooo 000 000 fois trop grand: le nombre cherché est donc . .. ■ f

^ ou OfOoo 004 56o ; ee qui vérifie l'exactitude de la règle générale. ' H* Exemple, Pour trouver à quelle fraction appartient lé log. 4fi58çlS , dont la caractéristique seule est négative^ on la supposera positive et égale ^ 3 ^ ce qui donnera 3 16^1896 ; cherchant à quel nombre appartient ce nouveau log., on trouvera 456o; la caractéristique du lôg. proposé, contenait 4 unités, on

^iDettra 4 z^ros sur la gaucfSo de 456o , et l'on écrira 00004560 : plaçant alors la

iBs NOTES ,

virgale, snr la* droite da premier se'ro, le résultat 0|Ooô456o exprimera le nombre auquel appartient le log. négatif 4i^^^6* ^ ^^ici la raison ^ le log. 3t658g6j appartenant au nombre /^SGo; si Ton retranche 7 unîtes de la caraetéristiqae 3 , le résultat 4|6589|6, appartiendra à ftn nombre 10 000 000 fois plus

petit que à56oi ce nombre est donc i , ou oiooo456o.

■ ^ ^ ^ ' , looooooo r

394* Les règles précédentes, fournissent la solution de ce problème général ; Un nombre étant donné, trouver son log,; Un log, étant donné, trouver le nonibre auquel il appartient. INous aTons toujours ramené les log. à la caractéristique 3 , parce qu'elle correspond aux nombres de quatre chiffres, qui sont les plus grands nombres contenus dans nos tables, et que les erreurs sont d'autant plus petites y'qne les nombres sont plus grands. Pour en. convaincre, nous chercherons le produit de ^^'j^^'par aO|Oi. Le log, d*un produit étant égal à la somme des log, de ses facteurs {d9 226), si l'on cherche les log» des facteurs, on trouvera que le log. du produit demaiidé est 1 1^3979. Si, d'après la règle du n** 393, 4® cas, on cherche à quel nombre appartient le log. 1^73979, on trouvera 54f9275o; mais le produit exact est 54^92746; l'erreur due à l'emploi des log. , est donc 5 cent-millièmes. Ou trouverait une erreur beaucoup plus forte, en cherchant directement è quel nombre appartient le log. 1173979; car ce log. tombant entre ceux de 54 et 55, qui sont ir73a3^ et i|74o36, on dirait , la différence 0100797, entre les log. de 54 et de 55, est à la différence i, entre ces nombres, comme Is^ différence 0100740, entre mon log. et celui de 54» est à la différence entre 54 et le nombre cherché. Le quatrième terme de cette proportion est 0^92848 etc. ^ le nombre cherché est donc 54193848; mais le vrai prodoit chl 54i93745 j Terreur est donc de io3 cent-millièmes, quand on prend la caractéristique i ; tandis que cette erreur n'est- que de 5 cejDt-milliëme? , quand on prend la caractéristique 3. Cette Eemacque est de la; plus grande importance. En comparant le produit exact 54193745, avec le produit 54i9375o, donpé.par les log., on voit que les cinq premiers chiffres h gnuche du résultat sont, exacts ; l'erreur ne commence qu'au sixième chiffre. En général, lorsqu'on opère avec nos log. à cinq déci- • maies, et d'après les règles que nous avons données, on obtient la plu* grande approximation dont les tables sont susceptibles; elle est telle qu'on peut toujours compter sur Inexactitude des quatre premiers chiffres à gauche du résultat. Quand cette approximation n'est pas suffisante, on doit abandonner Pemploi des log. , ou opérer avee des tables plus étendues,,

395. Les logarithmes des nombres, 10, 100, 1000, etc. , étant x, a, 3^ etc. > {ii9 3ig). Ou voit que le logarithme d'Une quantité est V exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base xo , pour obtenir cette quantité» Ainsi , la troisième puissance de 10 étant 1000, le log. de 1000 est 3.

396. Les logarithmes des nombres entiers,^, 3, 4> ^tc. , compris entre I, 10, 100, etç,,,sont incommensurables» Gda se réduit à prouver que la log. d^un nombre entier ne peut pas étns une fraction. Si le log. d'ua

nombre entieif e, pouvait être une fraction - , on aurait (n« agS). . .

^ 10*» = e; d'oîi (i)....io*s=c'».

Le premier membre de Téquatioa (1} ne contenant que les factenn 2 et 5*j»