APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME
Somme des puissances semblables des termes d'une progression
arithmétique.
^75. La formule générale à laquelle nous allons parvenir permet de trouver d'une autre manière les sommes des puissances semblables des m premiers nombres (274).
Soient a^byC^d^ ,..^ /i, A:, / les m-\-i premiers termes d'une progression par différence, de raison r. Nous aurons {Aig, élém., 322)
b-=:a-\' ry c =z b~h r.
Irzzk-i-r.
Élevons à la puissance n -+- 1 toutes ces égalités. Nous aurons, d'après la formule du binôme (255),
c^+i r= M-^' H rb"
{!L±l)JLr'bn^i
/..t ^ ;t.n.. ^ ^Lti rkn 4- ^^^^'^^ r« A^» 4- . . .
Représentons par S|, Sj S^-,, S^ les sommes des premières, deuxièmes, ..., (/i — i )'*«>*•, w»*»«» puissances des m premiers termes a, b, c, d, . . . , A, A- de la progression considérée.
En ajoutant alors toutes les égalités précédentes membre à membre et en supprimant les termes communs, nous aurons
évidemment
/"Si -h mr'»-^*.
Cette formule générale permet d*exprimer Tune quelconque des sommes Si, Sj, ..., S„-i, S^ en fonction de toutes les autres et des quantités données, et, par conséquent, d'obtenir ces sommes successivement de proche en proche dès qu'on en connaît une.
11 n'est pas inutile de se rappeler (256) que le nombre des termes du second membre est /i -h 2.
276. Supposons maintenant qu'on prenne pour progression arithmétique la suite
des m + 1 premiers nombres entiers.
On aura alors
a nrl , l r=z m -h l, /' =: I ,
et les sommes Si, Sj, . . ., S;,-!, S^ se rapporteront aujc m premiers nombres entiers. La formule générale (i) deviendra d'ailleurs
Nous allons l'appliquer à la recherche des sommes Sj, Sj, S3, 84, en remarquant qu'on a {Alg, élém,, 42)
80 = i^-+- 2<^4- 3<>-h . . . -f- mO:= /?î.
277. Pour calculer S| ou la somme des m premiers nombres. nous ferons n = i dans la formule (2), dont le second membn* contiendra alors (275) /i -h 2 ou 3 termes. 11 viendra donc
(/n-f- l)'=rl -h 28, 4-So.
Si34 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Il en résulte, en remplaçant So par m,
comme nous venons de le retrouver (274.).
278. Pour calculer St ou la somme des carrés des m premiers nombres f nous ferons n rr-. 2 dans la formule (2), dont le second membre contiendra 4 termes. Il viendra donc
(m 4- 1)'=-- 1 -f- 3S,-f- 3Si -f- So.
Il en résulte, en substituant à So et à Si leurs valeurs,
3S, — (m H- iy—'{m -+-1^ — 3 »
et Ton en déduit facilement, comme précédemment (274),
fn{m -h i)(2m -hi)
279. Pour calculer S| ou la somme des cubes des m premiers nombres, nous ferons w == 3 dans la formule (2) dont le second membre contiendra 5 termes. Nous aurons donc
(m -1-1)^—1 -i-4Sj-i-6Ss-i- 4 Si -hSo.
Il en résulte, en substituant à So, S,, Sx leurs valeurs,
4S3r=(w -h i)^ — (m -h i)— a/zi {m -h i) — m{m 4- i){im 4- 1),
et Ton en déduit facilement, comme précédemment (274),
«(//î-hi)- [m{m-\-i)y
280. Pour calculer enfin S4 ou la somme des quatrièmes puissances des m premiers nombres, nous ferons /i = 4 dans la formule (a), dont le second membre contiendra six termes. Il viendra donc
(m -^ i)'~ I -hoSi-h loSj-i- loSj-H 5 Si -h So,
Il en résulte, en remplaçant So, Si, Sj, S, par leurs valeurs,
oS4=:(/n 4-1)* — (/n-f-i)— o —
m(m -h ï)(2m -h i) m'{ni -+- i)*
lO :; lO
On en déduit facilement
3oSi=: m {m 4- i)(6/;i^-i- 9m* — m — i).
Le dernier facteur du second membre s'annulant pour
m — , il est exactement divisible par m 4- - (13), et Ton
obtient le quotient 6/71' 4- 6m — 2. Ce dernier facteur peut donc être remplacé par le produit
On a» par conséquent,
Sommation des piles de boulets.
281, Aujourd'hui, on emploie deux espèces de projectiles : les projectiles cylindroconiques, destinés aux pièces rayées, et les projectiles sphériques, destinés aux pièces à âme lisse.
Les premiers se rangent d'une seule manière dans les arsenaux; pour les seconds, on peut adopter plusieurs dispositions.
Nous nous proposons de trouver des formules simples permettant de calculer rapidement le nojnbre de projectiles de même calibre contenus dans une pile déterminée.
