ZZ
M r^ -+- 1 r</ -h 2 r<7 -+- 3 rq -^ k p^'
OU, en décomposant le dernier terme fractionnaire du second meoibre
de manière à multiplier par - chacune des k fractions qui précèdent ce dernier terme,
K rpq rpq — q rpq — iq rpq — {k — \)q
M rqp -hp rqp -r- 'ip rqp -\- 3/7 rqp -h kp
On voit alors que les fractions du second membre vont en diminuant de la première à la dernière, puisque leurs numérateurs vont en décroissant et leurs dénominateurs en croissant. Il en résulte que, si ou les rem-
ALGEBRE SUPÉRIEURK. 2^']
place toutes par la plus grande d'entre elles qui est la première, on a, leur nombre étant Ar,
M \ rrjp -H /? /
Comme la quantité élevée à la puissance k dans le second membre de cette inégalité est moindre que l'unité, on peut, en faisant croître suffisamment k < m, rendre cette puissance moindre qu'une quantité donnée S (Jlg. elcm.^ 336). Il en résulte qu'en prenant k assez grand, on
peut a fortiori rendre r= moindre que o.
La môme propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme K' situé k rangs avant le terme M.
Les probabilités exprimées par les termes qui s'éloignent indéfiniment du terme maximum AI dans un sens ou dans l'autre sont donc de plus en plus petites par rapport à ce terme.
En rapprochant ce résultat du n°29i, on voit que les termes du développement qui ont, après le terme maximum M, les plus grandes valeurs, s'agglomèrent pour ainsi dire dans son voisinage, et que leur somme constitue la plus grosse partie du développement total.
296. Tout ce qui précède conduit à une proposition fondamentale qu'on doit a Jacques Bernoulli, qui l'a démontrée dans son Ars conjectofidi publié après sa mort, en 1718, et qui ajustement conservé sou nom. £lle peut s'énoncer comme il suit :
TuÉORÈME DÉ Jacques Bernoulli. — A mesure qu'on multiplie les épreuves concernant un événement simple X et l 'événement contraire B, on a une probabilité toujours croissante que le rapport du nombre des événements A à celui des événements B ne s'écartera pas, en plus ou en moins, du rapport de leurs probabilités respectives p et q, dUwe quantité supérieure à une limite donnée; quelque resserrée que soit la limite uidiquée, cette probabilité croissante peut, d'ailleurs, tendre indéfiniment vers l'unité, poun'u que le nombre des épreuves augmente suffisamment.
En effet, représentons par Ti, Tj, T3, . . ., T^, les termes du développement de (p -h ^)'« qui sont distants du terme maximum M, de i, 2, 3, . . . , k rangs, comptés après ce terme. Les termes qui suivent Tk seront T^^j, T^t+t, Tj^^-3, . . ., Tia-,
A mesure qu'on s'éloigne du terme maximum M, le rapport de chaque terme à celui qui le précède va en diminuant (295); le rapport inverse va, par conséquent, en augmentant. On peut donc écrire
AI ^ Tx- Ti Ta-h
Ti ^ Ta-h-, T/wi ^ Ttk-i
Tj Ta-^z I'a- Tjit
!248 ALGÈBBE SUPÉRIEURE.
On en conclut évidemment
,., M ^ T, ^ T, T, . ^ Ta
1* 1*-Hi 1am-j 1*-»-3 IjA
On a aussi, identiquement,
^' T ^^^T ^ ^^ T ^ a- '^' T M T~ *'^* "*" tT- 1 k-hi -+- «r- 1 A-j-3 -'-••• -^- j~ * îA-
Ta Ta+-i -+- Ta-4-1 -+- Ta-hs -+-... -h Tja
mf
Si l'on remplace alors, dans le second membre de cette identité, ^
Ta
par les rapports successifs, tous plus grands, indiqués dans les inégalités (i), il vient, en simplifiant,
, , M ^ T,-f-Tî-hT3-+-...-^TA
Ta- Ta^-1 •+- Ta-hî -h Ta-4.3 h- . . . -»- Tja
La valeur de k qui rend 7fr plus grand qu'une quantité donnée s (295)
lA* Ô
rond donc a fortiori le second membre de l'inégalité (2) plus grand que cette quantité.
Le terme M, qui renferme />'«-» et ^"j a m — // termes après lui; le terme Ta, situé A- rangs après M, en aura donc m — ;/ — • A- après lui.
Si l'on désigne par a l'entier immédiatement supérieur à 7 ,
on pourra partager ces /;i — /i — k termes en a — i groupes de A termes chacun, plus un dernier groupe contenant moins de A termes. Gomme les termes considérés à partir de Ti vont en diminuant de Fun à l'autre (295), la somme des termes de chaque groupe sera nécessairement inférieure à la somme des termes allant de Ti à Ta. Or, si Ton représente la
quantité donnée 79 aussi grande qu'on veut pour A assez grand, par Na,
N sera lui-môme aussi grand qu'on voudra et, puisqu'on a, par h}^-
M I thèse, rr- > ^) on aura aussi, d'après l'inégalité (2),
T,-h T,-H T,-+-. . H- Ta> Na(TA^i -f- T*-Ht-H TA-hs-^-. . .-^ T,a).
Le premier groupe de A termes après le terme maximum M peut donc être rendu plus grand que N oc fois le groupe de A termes qui vient après Ta et, a fortiori, plus grand que N fois la somme de tous les termes qui viennent après Ta-, puisque les (a — i) groupes de A termes qui suivent Ta et le dernier groupe contenant moins de A termes et terminant le développement diminuent de l'un à l'autre.
On démontrera, d'une manière analogue, que la somme des A termes qui précèdent immédiatement le terme maximum M, et qu'on peut dési-
gner, en remontant, par T',, Ti, T,, ..., T^., peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les termes qui précèdent T^^..
11 en résulte que la somme des termes qui vont de T/^ à Tjt, en laissant même de côté le terme maximum M, peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les autres termes du développement de
Si l'on désigne par Sk la somme des termes allant inclusivement de Ti a T* et, par R, le reste du développement de (/?-i-^)'", avant et après, on peut donc toujours prendre k assez grand pour avoir, en dési- $;nant par p une quantité unie,
S;fr=NR-+-p;
ce qui donne, pour le développement entier, Texpression
NR-hp-4- R.
Mais les probabilités exprimées par T'^, ..., T',, T'j, T',, et par Ti, Ti, T|, . . . , Ta, sont, pour m assez grand, aussi proches qu*on veut de
la probabilité maximum M (294) qui répond à la condition — — ^ = -
(293), c'est-à-dire qui représente la probabilité p que l'événement A se produira m — « fois sur m épreuves répétées.
U s'ensuit que, si la répartition des événements A et B a lieu conformément aux exposants qui affectent p ei q dans l'un des termes de S;t; cette répartition différera aussi peu qu'on voudra, pour m assez grand, de celle qui donneraft m — n fois l'événement A sur m épreuves,
étant égal à la probabilité/? de l'événement simple A.
Or la probabilité que la répartition des événements A et B répondra à l'un des termes de Sjt étant désignée par P, on a évidemment
NR
P NR
NR-+-
^-^NR
Comme, en multipliant sufGsamment le nombre m des épreuves, on peut augmenter k<Cm et, par suite, NR et N autant qu'on veut, la probabilité P, toujours croissante, tend indéfiniment vers l'unité. C'est précisément ce qu'on voulait démontrer.
Cherchons, comme application, quelle est la probabilité d'extraire
une figure d'un jeu de 52 cartes, lorsqu'on multiplie les tirages dans
les mêmes conditions. Comme il y a 12 figures, la probabilité pour l'évé-
12 3 nement simple est 77 = ~ • D'après le théorème de Jacques Bernoulli,
la probabilité que, pour un très grand nombre de tirages, le rapport du
jç?r^;^.
