II. Piles db projectiles sphériques
i® Piles triangulaires, — Prenons d'abord une pile triangulaire. Cette pile est formée de tranches horizontales représentant des triangles équilatéraux, comme les tranches verticales que nous venons de considérer (282). La tranche qui repose sur le soi a un côté renfermant m boulets; la suivante, un côté renfermant m — i boulets; et ainsi de suite, jusqu'à ce
ALGÈBRE SUPÉAIEUHE. 287
qu'on parvienne à un seul boulet. Chaque boulet, à partir de la deuxième tranche, repose ain^^i sur trois boulets, et la pile complète offre Taspect d'une pyramide triangulaire ou, plus exactement, d'un tétraèdre régulier; car toutes les arêtes latérales sont égales comme contenant m boulets.
11 résulte de ce qui précède (282) que le nombre total de boulets renfermés dans la pile, somme des nombres de boulets des différentes tranches, est la somme des m premiers nombres figurés du deuxième ordre ou le m»*"* nombre figuré du troisième ordre (272, 274-, 2"), c'est-à-dire
Ce rapprochement explique pourquoi les nombres figurés du troisième ordre sont appelés aussi nombres pyramidaux (271).
a'» Piles à base carrée ou piles quadr angulaires, — Une pareille pile est formée de tranches carrées dont les côtés contiennent successivement un boulet de moins, jusqu'à ce qu'on arrive à un seul boulet. Ici, chaque boulet repose sur quatre boulets, et la pile complète a l'aspect d'une pyramide quadrangulaire à base carrée.
Si m est le nombre de boulets contenu dans le côté de la première tranche reposant sur le sol, cette tranche renferme m} boulets. La tranche suivante, dont le côté contient m — i boulets, en renferme (/n — i)'; et ainsi de suite. On a donc à calculer la somme des carrés des m premiers nombres
et le résultat cherché est (27^, 20, 278)
wi ( 7w -h » ) ( 2 /?î -f- 1 )
3° Piles rectangulaires, — Ce sont les plus usitées. On les construit en formant sur le sol un rectangle dont les deux côtés renferment respectivement n et w boulets (/i</n) : on a ainsi n files de m boulets en contact. Posons
La première tranche horizontale est, comme on vient de le dire, un rectangle comprenant n files de m boulets. La
mA]
deuxième Iraiiche horizontale, dont chaque boulet repose sur quatre boulets de la première tranche, est un rectangle qui comprend évidemment n — i files de m — i boulets; la troisième tranche est un rectangle qui comprend n — 2 files de m — 2 boulets; et ainsi de suite. La /i*«"« tranche, qui est la dernière, comprend n — {n — i) ou i file de m — (/i — i) ou de m — /^ -H 1 boulets, c'est-à-dire de p -^i boulets.
Ainsi, la pile rectangulaire a Taspect d'un prisme triangulaire reposant sur une de ses faces latérales et tronqué régulièrement à ses deux extrémités {Géom,, 504) ou, si Ton aime mieux, d'un comble à quatre pentes. £n partant de sa partie supérieure, on peut dire qu'elle est composée de i file de p -h I boulets, reposant sur 2 files de /? -h 2 boulets, reposant sur 3 files de /? n- 3 boulets, ..., reposant sur n files de p -r- n boulets.
Le nombre total des boulets renfermés dans la pile, ou le nombre à calculer, est donc égal à
/? -hi 4- 2(/;4- 2) -r-3(/? -f-3) -f-. . .-H /^(/>-f- /i):
cette somme revient à
el, par suite (277, 278), à
En effectuant et en simplifiant, la formule cherchée est donc finalement
/i ( /i 4- I U 3 /? 4- 2 /? 4- I ) n{n -hi) (3m — /t 4- i ) 6 ^ 6
Si Ton fait w = m, on retombe sur la formule applicable aux piles à base carrée (2**).
Les deux expressions dont nous avons dû faire la somme pour arriver au résultat définitif montrent que la pile rectangulaire peut être considérée comme l'ensemble d'une pile à base carrée (2°) dont le côté renfermerait n boulets et d'un prisme triangulaire analogue à celui des piles cylindroconiques (282), sauf l'obliquité; ce qui est évident au poiat de vue géométrique.
ALGÈBRE supéhieuhk. 289
284. Les piles que nous avons considérées successivement peuvent être tronquées. On les calcule alors en les regardant comme la dijférence de deux piles complètes, faciles à restituer.
Prenons, par exemple, pour fixer les idées, le cas d'une pile rectangulaire tronquée ayant à la base m et n boulets et, à la tranche supérieure, m' -^ i et /l'-h 1 boulets. Il lui manque évidemment, pour être complète, tous les boulets renfermés dans la pile rectangulaire complète qui aurait à sa base m' et n' boulets. Le nombre de boulets de la pile tronquée sera donc
285, Remarque générale. — Nous terminerons, en observant que les calculs précédents dépendent d'une seule formule qu'on peut trouver directement, sans s'appuyer sur le triangle arithmétique ou la sommation générale des puissances semblables des termes d'un progression arithmétique.
Toutes les relations démontrées aux n^" 282 et 283 n'exigent, en effet, que la connaissance de la somme des m premiers nombres naturels et celle de la somme de leurs carrés qu'on appelle aussi nombres carrés. C'est ce qui a été mis en lumière pour les piles cylindroconiques, les piles à base carrée et les piles rectangulaires. Nous allons le prouver pour les piles triangulaires (283, i<>).
Les tranches d'une pareille pile, à partir de celle qui repose sur le sol, contiennent successivement (282), en changeant m en m — i, m — 2, . . .,
boulets ou -m^H — m,
» )) -(/n — 2)* H — ini — 2),
m(fn -h
240 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Par suite, le nombre total de boulets est égal à
tn
la notation employée signifiant que les deux sommes doivent être appliquées aux valeurs entières de m, comprises entre I et m,
La sommation des piles de projectiles exige donc simplement que Ton connaisse, en dehors de la somme des m premiers nombres, la somme de leurs carrés, et on l'obtient immédiatement par le calcul suivant, qui n'est, d'ailleurs, qu'un cas particulier de la sommation générale des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique.
Posons
2»=(I -k-lY =:l»-f-3.1*-f-3.I -f-I,
m^=:{m — \-\-iY^=z {m — i)*H- 3(m — i)*-i- 3(m — i) -î- i, {m -\- lY — {m -^ \f -m m^-\- 3m*-h 3//i -i- i.
Si nous ajoutons toutes ces égalités membre à membre, en simplifiant et en représentant par S©, Si, S, les sommes des puissances zéro, des premières puissances et des carrés des m premiers nombres, il vient évidemment
(m 4-1)^= I -i- 3S,4- 3Si -f- So ;
c'est la formule obtenue au w 278, et nous en déduirons de
môme
On en conclura, pour le nombre total des boulets contenus dans la pile triangulaire,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 24 1
c*esl-à-dire
m {m -hi)(2m-i-i-h3) m(m-f-i)(m-h2'l — — izz )
comme précédemment (283, j°).
De la probabilité mathématique dans les épreuves répétées.
286. On entend par épreuves repétées celles qu'on renouvelle successivement dans des circonstances identiques : ce sera, par exemple, la recherche des jets successifs d'un même point avec un dé à jouer, ou bien la recherche des tirages des mêmes cartes prises dans un jeu déterminé et remises chaque fois pour ne pas altérer les conditions du tirage.
Quand il s*agit dépreuves répétées, la solution dépend du principe des probabilités composées (249, i°, 251) et devient une application de la formule du binôme.
287. Pour aider à comprendre ce qui va suivre, prenons d'abord un cas particulier.
Soit révénement simple A dont la probabilité est /?, et l'événement contraire B dont la probabilité est q* Si l'on répète deux fois l'épreuve d'amener A ou B, on forme un événement composé, possible de quatre manières différentes, figurées, si l'on veut, par les notations AA, AB, BA, BB.
La probabilité simple d'amener A une fois étant />, celle de l'amener deux fois de suite ou de produire l'événement composé AA sera p x p oup«(249, I*).
La probabilité d'amener l'événement composé AB sera, de même, pq, et celle d'amener l'événement composé BA sera qp.
Enfin la probabilité d'amener l'événement composé BB sera q^.
Si l'on convient de ne pas tenir compte de l'ordre de succession des événements simples formant l'événement composé, l'événement AB sera identique à l'événement BA, et, par suite, la probabilité d'amener cet événement AB sera (^i) pq -^ qp = ipq.
En résumé, les probabilités des événements composés AA, AB, BB, sont exprimées par
/?«, ipq, q\
c'est-à-dire par les termes du développement (/?-+- ^)*.
Si les épreuves sont répétées trois fois, on forme un événement composé, possible de huit manières différentes, figurées par les notations
AAA, AAB, ABB, BBB.
ÂBA, BAP,
BAA, BBA.
Db C. — Cours, in. i6
â42 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si Ton no tient pas compte de Tordre de succession des événements simples formant l'événement composé, il n'y a plus que quatre événements composés différents :
AAA, AAB, ABB, BBB, dont les probabilités sont exprimées par
c'est-à-dire par les termes du développement (p -+- </)'.
On pourrait continuer ainsi do proche en procho; mais il vaut mieux passer immédiatement à la démonstration générale,
288. On peut toujours assimiler les épreuves répétées relatives aux mêmes chances à des tirages successifs de boules de diverses couleurs contenues dans une urne, la boule extraite étant rejetée dans l'urne après chaque tirage, afin que tous soient effectués dans des conditions identiques.
Supposons donc, par exemple, une urne renfermant k boules blanches
et / boules noires. La chance d'extraire une boule blanche sera p — -, — -, : la chance contraire, c'est-à-dire celle d'extraire une boule noire, sera q = 7 — 9 et l'on aura p-i- q = i (244).
Admettons qu'on fasse m tirages successifs ou m épreuves répétées.
D'après la règle des probabilités composées (249, i**), la chance d'extraire d'abord m — n boules blanches, puis ensuite n boules noires, sera le produit de (m — n) facteurs égaux à la probabilité simple/) et de n facteurs égaux à la probabilité simple g, c'est-à-dire/?'»-'»^'».
Mais, si Ton ne doit tenir aucun compte de l'ordre de succession des boules blanches et des boules noires, et si l'on demande seulement la probabilité d'extraire en m tirages successifs m — n boules blanches et n boules noires dans n'importe quel ordre, il est clair (251, 287) que cette probabilité sera représentée par le produit/?'»-'»^", répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons avec m objets pris m — n h m — /i ou /i à /î (226).
Il résulte immédiatement de là que, si Ton forme la m^"^ puissance du binôme (/?-+-?) (256),
le premier terme p'" exprime la probabilité d'amener m boules blanches en m tirages; le deuxième terme C}np'"~^q, la probabilité d'amener
m — I boules blanches et i boule noire; le troisième terme CJ, /?"»-' ç', la probabilittf d'amener m — 2 boules blanches et 2 boules noires; et ainsi de suite.
Le terme général CJip'""'*^'' répond à la question posée et exprime la probabilité' d'amener m — n boules blanches et n boules noires, en m tirages successifs.
Le dernier terme C^ Ç"* exprime la probabilité d'amener m boules noires.
Remarquons que la somme de toutes ces probabilités est égale à i, puisqu'on a /? -+-7 = i. Et, en effet, cette somme représente une certitude (244), en ce sens que m tirages successifs ne peuvent donner que Tun quelconque des résultats que nous venons d'énumérer.
289. En définitive, en laissant de côté l'urne que nous venons de considérer et les boules qu'elle renferme, si nous appelons p la probabilité d'un éve'nement simple k et q la probabilité de l'tfve'nement contraire ^^ la probabilité de répéter, dans m épreuves successives et identiques, m — n fois l'événement A et n fois l'événement B, est représentée par le terme général du développement (p -^- ^)'».
290. Nous avons vu que, si un événement composé peut arriver dans plusieurs hypothèses dont les probabilités sont inégales, sa probabilité est la somme des probabilités composées favorables à l'événement dans chaque hypothèse (251).
Par suite^ si Ton veut savoir quelle est la probabilité que, dans m épreuves répétées, Tévénement B, dont la probabilité est </, n'arrive pas plus de n fois (il pourra arriver moins de n fois), il suffit de faire la somme des termes du développement de (/> -h g)"» (288), depuis le premier terme/?'" jusqu'au terme général CJ}, /?"*-'» 9''», qui contient q^. Celte même somme exprime quelle est la probabilité que, dans les m épreuves répétées, l'événement A, dont la probabilité est /?, n'arrive p€is moins de m — n fois (il pourra arriver plus de m — n fois).
291. Exemples, i* D'un jeu de Sa cartes, on tire successivement S cartes, qu'on remet chaque fois pour l'épreuve suivante. Quelle est la probabilité d'amener 3 cœurs?
On a ici
0 faut développer {p + q)^ et prendre le terme du développement qui contient />> (288, 289), c'est-à-dire le terme
iop3ûr«=io 7; -^ = ^ = --^i = r—'
La probabilité d'amener trois cœurs sur cinq cartes tirées est donc la fraction 4— comprise entre — et — •
2' On Jette un de' 4 fois de suite, et l'on demande quelle est la probahiUté d'cuTiener l'as au moins deux fois»
On a ici
Il faut développer ( p -+-</)* et faire la somme des termes du développement jusques et y compris celui qui contient p^ (190), c'est-à-dire la somme des termes
La probabilité d'amener Tas au moins deux fois dans quatre jets
sifs est donc la fraction -^ comprise entre - et 7: •
succes-
292. La somme de tous les termes du développement de (/? -h q)'" est égale à T uni té (288). D'autre part, le nombre des termes du développement ou le nombre des hypothèses relatives à la manière doni l'événement direct et Tévénement contraire peuvent se produire dans les m épreuves répétées est égal à /?/ -f- 1. Par conséquent, à mesure que m ou le nombre des épreuves devient pUis grand^ les différents termes du développement ou les différentes probabilités doivent décroître, en conservant de certains rapports.
293. Cherchons quel est le plus grand terme du développement de (/^-hç)"'.
On a (259) pour le terme général T^, comparé à celui qui le précède et à celui qui le suit immédiatement,
m—n-^jq
Pour que le terme T» soit le plus grand terme du développement, il faut qu'on ait à la fois (262) -
Il en résulte
et
7i li n
et
On satisfait évidemment à ces deux dernières inégalités en posant
On voit alors que, si l'on fait croître indéfiniment les deux nombres
m — n et n sans changer leur rapport, les termes - et - — tendent
vers zéro autant qu'on veut. On ne peut donc satisfaire aux inégalités (2) que par l'égalité (3).
On arrive ainsi à ce résultat remarquable :
En général, quand il s'agit d'un grand nombre d'épreuves répétées, l'événement composé dont la probabilité est la plus grande est celui dans lequel les nombres d'événements simples composants sont dans le même rapport que les probabilités de ces événements.
Par exemple, si Ton tire un très grand nombre de cartes d'un jeu de
32 cartes, en remettant chaque fois la carte tirée, la probabilité d'amener
un cœur est r- ou -7? et celle d'amener une carte d'une autre couleur 32 4 est -• On a donc une probabilité plus grande que toutes les autres que
le nombre des cœurs sera à celui des autres cartes tirées dans le rapport de - à - ou de ï à 3.
294. Nous allons chercher à comparer le terme maximum que nous venons de déterminer avec les termes qui le suivent ou qui le précèdent.
Désignons par M le terme maximum et par K un terme placé k rangs après le terme maximum.
Nous aurons
„ rn{m — \){m ~ 2).. ,{ni — n ->r \)
—ipm-'nqn^
avec la condition
et
L m{m — i)(m — 2). . .(/w — // -hi)(m — //).. .(/n — n—k-^i)
1= ■ — — — — 1 b i nm- n-k Qn+k
Leur rapport sera
K {m -^ n) {m — n -- p.. .(m--n — k-hi) q* M"" (//f.,). (/!! 2)... (//H- A:) ^
246 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
On peut poser évidemment (Arù/tm., 188, 190)
y'' m — n — rp et n = rq.
^-2 En divisant alors par M les deux termes de l'expression (4), ce qui
11; se fera en divisant par r chacun des facteurs du coefficient fractionnaire,
» (]ui sont en nombre égal à k au numérateur et au dénominateur, il
viendra
/,/., K ^y^ r] y r] Y r ) yA
Si Ton fait maintenant croître indéfiniment le nombre des épreuves, m — n et n croîtront indéfiniment, et il en sera de môme de /•. L'expression (4 hls) tendra donc elle-même indéfiniment vers la valeur
c'est-à-dire vers l'iuiité.
Lorsqu'on multiplie suffisamment le nombre des épreuves, la probabilité exprimée par un terme K du développement de {p -\- 7)"», situe k rangs APRÈS le terme maximum M, tend donc à da^enir égale à la probabilité maximum exprimée par ce terme. La même propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme K' situé A- rangs avant le terme M.
En résumé, quand on fait croître le nombre des épreuves, les probabilités exprimées par les termes qui se succèdent de K' à K> R étant d'ailleurs quelconque, mais fixe, vont toutes en se rapprochant autant qu'on veut de la probabilité maximum exprimée par le terme M.
295. Reprenons l'expression (4) à un autre point de vue. Laissons m et n très grands, mais fixes, et faisons croître k. L'expression (4) peut s'écrire
K rp rp — i rp — z rp — (k — i ) <7*
