PUISSANCES ET RACINES D'UN POLYNOME
Puissances d'an polynôme.
302. On peut présenter de deux manières la recherche de la puissance m»*»« d'un polynôme quelconque, m étant entier et positif.
Dans la première méthode, on s'appuie sur la formule du binôme; dans la seconde méthode, dont l'exposition est beaucoup plus simple et plus rapide, on opère directement en ayant recours à la théorie des permutations avec groupes d'objets identiques et des combinaisons avec répétition des objets.
303. Première méthode, — En considérant deux termes d'un trinôme comme n'en formant qu'un seul, on peut ramener à la formule du binôme les puissances de ce trinôme; et, en appliquant de proche en proche le même procédé, on peut ramener à la formule du binôme les puissances d'un polynôme quelconque.
Soit d'abord le trinôme (a -h 6 -i- c) à élever à la puissance m. En regardant a -f- 6 comme un seul terme, il vient (255)
Il reste à développer dans le second membre les différentes puissances du binôme (a -h 6).
On obtiendra ainsi évidemment une série de termes dans
lesquels la somme des exposants des lettres a, 6, c, sera constamment égale à m.
Par exemple, les termes provenant du terme général
ni (m — i) {ni — 2). . .(m — /^ -h » )
(rtf H- by* -PcP
contiendront tous le produit de cp par des puissances de a et de b dont la somme des exposants sera toujours m —p.
Réciproquement, si a, (3, y désignent trois nombres entiers satisfaisant à la condition
le développement renfermera nécessairement un terme en
En effet, le développement renferme un terme en cïqui est (.) /»(m-.)(»»-.)...(.m-y + n ^^ ^ ^^„.^^^^
et (a ~\- by~y renferme un terme dans lequel a et 6 ont des
exposants a et (3 tels que la condition a-h|3 = /;i— y ou
a -f- 13 -h y — m soit satisfaite.
Cherclions Texpression du coefficient du terme en a^b^c^. Par une transformation connue (223), on peut mettre ce
terme représenté par Texpression (i) sous la forme
ml
(a-i-by"-ycy.
Dans le développement de {a-h by-y^ le terme en a*6P ou en a«A'"-T-« a d'ailleurs pour coefficient, d'après la même
transformation,
{fn — y)\
al {m — y — a ) ! Le coefficient du terme en a^b^c^ est donc
ml
ml
y! (m — y)! al {m — y — a)l ylal(m — y — a)!
et ce terme lui-même a pour expression, en tenant compte de la relation a 4- P -f- y = /w,
af^^lyl
a^b^cy.
Pour avoir maintenant tous les termes du développement de (a -h b -h c)"*, il suffit de substituer dans l'expression précédente toutes les valeurs de a, j3, y, qui, en restant comprises entre o et m, satisfont à la condition ol-^P -\- -/=. m,
304. 11 faut seulement faire cette restriction que, pour !x:^Oy par exemple, la suite correspondante a! doit être remplacée par run ité.
En effet, le terme considéré répond alors au dernier terme du développement auxiliaire de (a -+- b)^-^^ ou de (a h- ô)'«-t, qui se réduit à ^P ou à 6'"-r affecté du coefficient i. Il faut donc que le coefficient
ol\ {m — y — a)! '
qui devient —y dans le cas de (x=io, représente lui-môme
l'unité dans cette hypothèse; ce qui conduit à la convention indiquée.
305. Le même raisonnement est applicable à la recherche du terme général de la puissance m»**"* d'un polynôme quelconque
Posons, en effet,
La puissance cherchée deviendra et son terme général sera
Posons alors
nous aurons
et le terme générai de ce nouveau développement sera
:î56 algèbre supérieure.
Le terme général du développement (a 4- j?)'" ou du développement cherché deviendra donc
wl (m — a)! ^,0 « û
al(/w--a)! pl(m — a — j3}!
ou, en simplifiant,
Posons encore
et nous aurons
Le terme général de ce dernier développement étant
(„t-«-j3)l ^.,^.„.,p, yl(m — a — p — y)I
le terme général du développement cherché deviendra, après simplification,
ce
l^\yl(m — (x — ^ — y)\
La loi est évidente et, en continuant, on trouvera, pour terme général du développement de
{a-\'b-i-c-\-d-^.. .)'", Texpression
oc!|3!y!ÔI...
On en déduira tous les termes du développement en substituant à a, (3, y, ô, . . ., toutes les valeurs qui, en restant comprises entre o et m, satisfont à la condition
pourvu que Ton convienne de remplacer par Tunité les suites a!, (31, y!, àl, ..., pour les valeurs particulières a = o, (3 = 0, yz=o, 3 = 0, ... (304).
306. Seconde méthode. — Élever un polynôme quelconque à la puissance m, c'est multiplier entre eux m polynômes
ALGÈBHE SUPÉRIEURE. 20']
égaux au polynôme donné. Chaque terme du produit comprendra donc un terme de chacun de ces m polynômes {Al^, élém,, 29).
D'ailleurs, comme ces m polynômes sont égaux, la lettre a pourra se présenter a fois comme facteur; la lettre 6, j3 fois; la lettre c, y fois, etc. Le terme général qu'il s'agit de former contiendra donc le produit a^b^c^cfi. . . et il aura un coefficient égal au nombre de permutations qu'on peut faire avec m objets, en en supposant a égaux à a, (3 égaux à 6, y égaux à c, etc. Ce coefficient sera donc (238).
PaPpPyl^ô ... a!?Iy!d!...
Le développement cherché pourra donc être représenté par la formule
(a-hb-^c-hd-^, . ,y" = \ — r-s^ — i-^Ti a^b^c^cfi
.iW a! pi yl ol. . .
Pour avoir tous ses termes, il suffira de donner à a, (3, y, d, . . . , toutes les valeurs compatibles avec la condition
en acceptant toujours la convention al — i pour a = o ou, d'une manière générale, la convention Po= i.
307. On peut demander quel est le nombre des termes du développement, le polynôme donné (a-+- 6 -f-c-+-ûf-f-. . .) comprenant n termes.
Il est clair que ce nombre est celui des combinaisons qu'on obtient en prenant n objets m h m, avec permission de répétition et n pouvant être moindre que m. En effet, chaque terme du développement doit renfermer comme facteurs, avec permission de répétition, un des n termes de chacun des m polynômes égaux au polynôme donné, qu'on multiplie entre eux. Le résultat cherché est donc ( 235)
C'est aussi, comme on l'a déjà remarqué, le nombre de combinaisons sans répétition de («H- m — i) objets pris m h m,
Dk c. — Cours, m. 17
Comme on a (226)
on peut encore, en remplaçant m par /i — i et, par conséquent, n par m -f- 1, prendre pour résultat
/ \ /riîx/// (w -h i)(m 4- 2)(//î -h 3). . .(/« H-/Î — i) (2) (LU)„ — -.
On emploiera la formule (i) ou la formule (2), suivant que/w sera plus petit ou plus grand que n — i.
Applications.
308. I ° Carre d'un polynôme. — Soi t le polynôme (a-i-b-^c-\-d-i-...) à élever au carré.
On devra faire m — 1 dans la formule générale du n" 306 et, par conséquent, il n'entrera que deux lettres dans chaque terme du développement. On aura ainsi
^^ P '^ ^i\ Pp
avec la condition a -h p = w = 2.
Si l'on suppose a = 2, on a p = o.
Par suite, P2= 2, Pa= 2, Pp= i (d'après la convention du n° 304), et l'on déduit du terme général des termes de la forme a*.
Si l'on suppose a = i , on a p = i .
Par suite, P2 = 2, Pa— i, Pp = i, et l'on déduit du terme général des termes de la forme ^ab.
Si l'on suppose a = o, on a p = 2, et l'on retombe sur le premier résultat.
On a donc finalement
C'est la loi connue {^ig. élém.^ 22 i) qu'on énonce en disant que le ccLrré d'un polynôme renferme les carrés de tous ses termes et les doubles produits de tous ses termes pris deux à deux,
309. 2** Cube d'un polynôme. — Soit le polynôme {a-^ b-i-c-i- d-i- ...) à élever au cube.
On devra faire m = 3 dans la formule générale du n** 306 et, par conséquent, il n'entrera que trois lettres dans chaque terme du développement. On aura ainsi
avec la condition a -t- p n- y = 3.
ALGEBRE SUPÉRIEURK. QDQ
Si Ton suppose a = 3, on a p = o et y = o.
Par suite, Ps = 6, Pa = 6, Pp— i, Py = i (par convention), et l'on déduit du terme général des termes de la forme a'.
Si l'on suppose a = 2, on a p = i et 7 = o ow p — o et 7 = 1 .
On a donc, dans les deux hypothèses, Pj = 6, Pol— '^, Pp = i» Py = » > et Ton déduit du terme général des termes de la forme 3à^b ou 3a*r, c'est-à-dire de la môme forme.
Si l'on suppose « = i , on a en môme temps p = 2 et 7 — 0, om p = i cl Y = I ou p = G et Y = 2.
On a donc, successivement,
P3-6, Pot--:i, Pp=a, Pv=r,
ou
ou
P,= 6, Pa=i, Pp=i, Py-r,
P3=6, Pa=i, Pp-i, Py=2,
et le terme général conduit à des termes de la forme 3ab^ ou 6 abc ou 3ac*, c'est-à-dire à des termes de la forme 3«*6 déjà obtenue et à des termes de la forme 6 abc.
Enfin, pour a = o, on retombe évidemment sur l'un des résultats précédents.
On obtient, par suite, la formule
(a-hb-hc-^d-^-,..)^--: £rt«-i-i:3a*6-+-26aZ>c.
On en conclut que ie cube d'un polynôme est égal à la somme des cubes de tous ses termes plus trois foi? la somme de tous^ les produits résultant de la multiplication du carré d'un terme par la première puissance d'un autre terme, plus six fois la somme des produits de tous les termes pris trois à troh,
310. 3** Formule du binôme. — La formule générale, que nous avons démontrée par notre seconde méthode (306), doit contenir celle du binôme. En effet, si le polynôme donné est x + a, on a, d'après cette formule générale,
avec la condition a -+- p = w, d'où p = w — a.
II vient donc
Le coefficient placé sous le signe £ étant égal à
,, ""• ,, ou à C?„ (223), a! (m — a)!
le terme général du dévcloppemeat n'est autre chose que
et se confond avec le terme général de la formule du binôme ^256).
Racines d'un polynôme.
311. Admettons qu'un polynôme entier P, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une certaine lettre ordonnatrice, soit la puissance m**°*« d'un autre polynôme entier Q ordonné de la même manière. Le polynôme Q est alors la racine m»*°>« du polynôme P, et l'on peut poser
Connaissant P, on se propose de trouver Q.
312. Si l'on regarde Q comme un binôme formé de son premier terme a et de l'ensemble de tous ses autres termes considérés comme un seul terme, on aura (255)
P=:Q'"i=(a-+-^-hcH-c/-h
L'expression (i) est une identité. Comme on suppose les deux polynômes ordonnés de la même manière, le premier terme de P doit être égal à a"* et, par suite, le premier terme a de la racine Q est la racine m»*"»« du premier terme de P.
On peut donc énoncer cette première règle :
Pour trouver le premier ternie de la racine m'*'"* d^u^ polynôme, on n'a qu'à extraire la racine m'*"** du premier terme de ce polynôme.
Si le premier terme de P est Ajt", on aura donc
a = "s/kx'^ =1 x^ '\/k.
Les deux polynômes P et Q étant supposés entiers par rapport à a? et de plus réels, n devra être un multiple de m et A devra être positif si m est pair (130, a*). On pourra alors accepter
les deux valeurs réelles de 'v^, qui sont égales et de signes contraires (130, i*). Si m est impair, '\/X n'aura qu'une seule valeur réelle de même signe que A (130, 3<»).
Nous remarquerons immédiatement, avant d'aller plus loin, que le dernier terme de la racine supposée exacte peut s'obtenir immédiatement comme le premier terme, e/i extrayant la racine m'*'"* du dernier terme de P.
En effet, si Ton regarde la racine Q comme formée de l'ensemble de tous ses termes, moins le dernier, et de ce dernier terme /, le dernier terme de Q"* est évidemment /'". Si L est le dernier terme de P, on a donc identiquement
L = /'" ou /='v/L.
313. Il s'agit maintenant d'obtenir les autres termes de la racine Q, à partir du deuxième terme.
Pour cela, nous déduirons de l'égalité (i) la valeur de P — a'", et nous aurons ainsi un premier reste Ri qui sera
i R, = 771 «'«-» (6-hc-f-é/-h...-f-Xr-+-/)
H î^ -a"'-^[b-\-c-\-d-\-.,,-\-k^lY -{-....
11 est évident que le premier terme de Ri, qui est en même temps le premier terme de P — a'" ou le second terme de P, est sans réduction ma'"~* b, puisque les deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de la même lettre et que ce terme ma"*-* b contient alors la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de l'égalité (2).
Il en résulte qu'en divisant le premier terme de Ri par ma'"-*, on obtiendra nécessairement pour quotient le deuxième terme b de la racine Q.
Continuons. La partie écrite à la racine étant a-{- b, regardons Q comme composé d'un premier terme («H- b) et de l'ensemble de tous ses autres termes comme second terme. Nous aurons ainsi
P — Q*» = (a-^b -h c -ht/ + .?.VX:+7)"* (3) 1 iir(a-4- 6)"»-hm(a-4-6)'«-»(c-hûf4-...H-A--|-/)
m(m — i) , fv„. ., t , >^.
Nous déduirons de Tégalité (3) la valeur de P —{a -h 6)'", et nous aurons ainsi un deuxième reste R] qui sera
Il est évident que le premier terme de R, est, sans réduction, ma'^-^c, parce que ce terme contient la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de Tégaiité (4).
Il en résulte qu'en divisant le premier terme de R, par ma^^-^jOn obtiendra nécessairement pour quotient le troisième terme c de la racine Q.
On peut poursuivre d'une manière analogue ; la loi est générale, et Ton peut énoncer celte seconde règle :
Pour trouver les différents termes de la racine^ à partir du deuxième terme, on n*a qu*à diviser par le diviseur constant ma^-\ c'est-à-dire par ni fois la (m — lyè^e puissance du premier terme de la racine, le premier terme de chacun des restes successifs Rj, Rj, R3, . . . , ces restes s'obtenant d^ailleurs en retranchant du polynôme P la m'^"*'' puissance du premier termCy des deux premiers termes, des trois premiers termes, etc. de la racine Q.
314. Lorsqu'on parvient au dernier terme / de la racine Q, on doit obtenir un reste nul, puisqu'on retranche alors Q"' de P.
Réciproquement, un reste nul indique que la racine est complète, puisque la m**"»® puissance de cette racine reproduit le polynôme donné.
315. Nous ne nous arrêterons pas au cas ou la lettre ordonnatrice entrerait avec le môme exposant dans plusieurs termes de P. Il n'y a alors qu'à se reporter à ce qui a été dit sur ce sujet, pour la division et l'extraction de la racine carrée des polynômes {Alg. élém., 47, 226).
Des racines inexactes.
316. Nous avons supposé jusqu'à présent que P était la puissance /n^*™*» exacte d'un certain polynôme Q.
ALGÈBRE SUPÉAIEUllE. 263
Si cette condition n^ est pas remplie, mais si l'on peut, toutefois, commencer Texlraclion de la racine /w»*'"*' de P en appliquant les deux règles énoncées plus haul (312, 313), on voit, d'après ce qui précède, que le polynôme P sera, à un instant donné, égal à la m'*'«« puissance de la partie S écrite jusque-là à la racine, plus le reste R correspondant, et qu'on
aura l'identité
Mais l'opération n'aura pas de fm, puisque R ne peut pas être nul, et, en la poursuivant, on obtiendra une suite illimitée de termes où l'exposant de la lettre ordonnatrice deviendra négatif et croîtra indéfiniment en valeur absolue. Ces exposants négatifs n'apparaîtront que si l'on atteint le reste de degré inférieur à S par rapport à la lettre ordonnatrice.
On peut remarquer l'analogie qui existe ici entre l'extraction des racines et la division des polynômes {Alg, élém., 90, 227).
317. Lorsque le premier et le dernier terme du polynôme P ne sont pas tous deux des puissances m»*"" exactes, on peut affirmer qu'aucun polynôme Q, tel que nous l'avons défini, ne peut être la racine m**"" de P (312).
Si la racine m»*"*® du premier terme de P a un coefficient irrationnel, il peut se faire que la racine m**"® de P, alors à coefficients irrationnels, soit rationnelle par rapport à la lettre ordonnatrice. Mais, si la racine m»*™® du premier terme de P est complètement rationnelle, l'opération continuée ne peut amener à la racine que des termes rationnels. Il faut donc que le dernier terme de la racine soit aussi rationnel, c'està-dire que le dernier terme de P soit, comme son premier terme, une puissance m»*™« exacte. S'il n'en est pas ainsi, l'extraction de la racine est impossible exactement.
318. Il est inutile d'appuyer sur l'analogie qui existe entre l'extraction de la racine m*«"« des polynômes et celle de leur racine carrée, et de revenir sur la théorie de cette dernière, développée précédemment (Alg. élém,^ 226 à 229).
Nous ferons seulement remarquer que, si n est le degré d'un polynôme P, on ne peut commencer l'extraction de la racine carrée dans les conditions admises, que si n est pair. Alors, en poursuivant l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un
264 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
reste R de degré inférieur à la partie S écrite à la racine ou de degré inférieur à — > on obtient Tidentité
On peut dire, dans ce cas, que d= S est la racine carrée de P, et R le reste de l* opération.
Il est d'ailleurs facile de voir que cette décomposition de P n'est possible que de la manière indiquée.
Supposons, en effet, qu'on puisse avoir
P:^S*-hR et P::iiS'*+R'.
Il en résulterait identiquement
S»-hRi=S'*-hR' ou
Mais S et S' sont de degré - par rapport à la lettre ordonna-
irice, R et R' sont de degré inférieur. L'identité précédente est donc impossible (18), à moins qu'elle ne se réduise à 0 = 0. Mais on a, dans cette hypothèse,
(Sh-S')(S-S') — o et R'— R:rrO
ou
S:=ihS' et R = R'.
La racine carrée de P n'admet donc bien que deux valeurs égales et de signes contraires, et l'opération conduit toujours au même reste.
Applications.
319. I* Extraction de la racine w'*"»* des nombres entiers, — Comme un nombre entier peut toujours être regardé comme la somme de ses dizaines et de ses unités, il est facile de lui appliquer les principes précédents, quel que soit le degré de la racine qu'on veuille extraire, en raisonnant d'ailleurs comme nous l'avons fait en Arithmétique pour la racine carrée et pour la racine cubique.
Quand le degré de la racine est un nombre composé de facteurs premiers 1 et 3, on n'a qu*à extraire successivement des racines carrées et cubiques (137). Ainsi,
Mais, quand les facteurs premiers de Tindice de la racine sont différents de 2 et de 3 ou quand ce degré est lui-même un autre nombre premier, il faut opérer directement.
Soit, par exemple, à extraire la racine cinquième d*un nombre.
On commencera par former le tableau des puissances cinquièmes des neuf premiers nombres. Ce tableau permettra d'obtenir, à l'unité près, la racine cinquième des nombres moindres que io<, c'est-à-dire qui n'ont pas plus de cinq chiffres (Jrit/im.^ 278).
Quand le nombre donné aura plus de cinq chiffres, sa racine cinquième en aura au moins deux, et Ton pourra la regarder comme composée de a dizaines et de b unités. Cette racine sera alors exprimée par (a. 10 -+- b), et Ton aura (25i5)
{a.io-h bY=: a^.io^ -h 5a^,io^,b -h. . . ,
Soit, pour fixer les idées, le nombre 14348907 dont on veut extraire la racine cinquième.
La cinquième puissance des dizaines de la racine ne pouvant donner que des centaines de mille, on est conduit à partager ce nombre en tranches de ci/iq chiffres. Ici, on n'a que deux tranches, et Ton doit extraire la racine cinquième de la plus grande cinquième puissance renfermée dans la dernière tranche i43. Comme on a a* =32 et 3*= 2:^3, le chiffre des dizaines de la racine est égal à 2. En retranchant 2*. 10^ du nombre proposé, on a pour reste 11 148907. Ce reste est supérieur au deuxième terme 5 a^. 10^.6 du développement de la racine, qui ne peut donner d'ailleurs que des dizaines de mille. 11 en résulte que le nombre 11 14 des dizaines de mille du reste est au mouis égal à 5«*6. En divisant 11 14 par 5^*, ou par 5.2* = 80, on obtiendra donc un chiffre égal ou supérieur au chiffre b des unités de la racine.
Le quotient de 11 14 par 80 étant supérieur à 10, on essayera d'abord le chiffre 9, en cherchant si la cinquième puissance de 29 peut se retrancher du nombre considéré. Comme cette puissance est trop grande et qu'il en est de même de celle de 28, nous descendrons jusqu'à 7, qui est le chiffre b des unités; 27^^ reproduit précisément le nombre donné, et Ton a exactement
Quand on a besoin d'extraire des racines numériques de degré élevé, il est d'ailleurs toujours plus simple d'opérer par logarithmes.
320. a* Dans toute progression par différence dont la raison est l'unité, le produit de quatre termes consécutifs quelconques augmente de I est toujours un carré parfait.
Soit X un terme quelconque de la progression. Los quatre termes consécutifs que nous devons considérer seront x, ^ -+- i , jf -+- 2, j- -f- 3. ot il faut prouver que
N = .r{x -+- i)(./'-h 2)(.r-+- 3) -+- 1 -= .r^-+- 6.r5-H ii.r'-h 6.r H- i
est un carré parfait.
Nous n'avons qu'à essayer d'extraire la racine carrée de N suivant la règle connue qui se confond avec la règle générale (312, 313). Nous aurons {Mg. éle'm,, 226)
(2X*-t- ^X)ZX
On trouve un reste nul, et l'on a
N — (.r»-+- 3.r Le théorème est donc démontré.
321. 3° Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que le polynôme 'du quatrième degré
Ao.r^— Ai-r'-h Ai.r*-f- As-r-h A^
soit un carré parfait.
On essayera l'extraction de la racine carrée du polynôme, et l'on poursuivra l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste du premier degré en x. En écrivant que ce reste est identiquement nul, on obtiendra évidemment les conditions cherchées.
Le calcul se présente comme il suit :
Ao x^ -f- A 1 .r3 -H A j .rî -h A3 .r Ai.r5^- As-r'-h Aa-r
A,({AoA,-Af)
