X -\ -rr

2\/Ao 8AoV'^

V^Âi-r»

/ko 8A«>/A,

4AoAt^ 8AoV^

Le reste du premier degré en x peul donc se mettre sous la forme SAJAa— J^AoA,A,--Aî , 64 AJ A4 - lOAJ A| -^ 8 AoAJ A,- Af

8AJ 04 A

et les conditions pour que le polynôme donné soit un carré parfait sont évidemment

(1) AJ— 4AoA,A,— 8AJA3--0,

(•2) A{ — 8 Ao A? A2 -+- 16 A| AJ — 6i AJ A^ - o.

On pourrait traiter la question d'une autre manière en se reportant à l'exemple du n"* 29, où nous avons cherché les conditions de divisibilité du même polynôme du quatrième degré par le trinôme du second degré Box«-f-B|X-f- Bi. En exprimant que ce diviseur et le quotient trouvé alors sont identiques, on pourra éliminer les coefficients Bo, Bi, Bs du diviseur qui deviendra la racine carrée obtenue ci-dessus. Puis, en introduisant les valeurs de Bo, Bi, Bi dans les équations de condition (i) et (2) du n"* 29, on retombera sur les équations de condition que nous venons d'écrire.

322. 4* Appliquer la méthode des coefficients indéterminés (Livre V\ Ch. III) tf l'extraction de la racine /w^*'»* des polynômes.

Admettons que le polynôme inconnu

tto x^ ■+■ ai .r"- » -h ... H- a„

soit la racine m*^* exacte du polynôme donné

Aqxp -4- Al xP- ' -f- . . . 4- A/,.

On devra avoir identiquement

(«o-a^" -+- «i •^'*~* -I- ...-+- a„ )"» =^ Xqxp h- Ai xp-^ -+- . . . -f- Ap. Les deux polynômes devant être de môme degré (18), on aura

mu = p.

Il faut donc, pour que le problème soU possible, que p soit un multiple

de m. Si cette condition est remplie, /2 = — sera le degré de la racine,

et l'on connaîtra le nombre de ses coefficients «O) >n >S) • • m ^n-

En élevant cette racine à la puissance m, on obtiendra un polynôme de degré p comme le polynôme donné et, en égalant, pour les n + i premiers termes, les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux polynômes, on aura n -+- 1 équations pour déterminer les n -4- 1 inconnues. Les équations qui exprimeront l'identité des termes suivants des

268 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

deux polynômes, et dont le nombre sera égal kp — n, seront des équations de condition qui devront être satisfaites d'elles-mêmes.

Les n -h I équations qui déterminent les coefficients de la racine ont une forme qui rend leur résolution très facile. La première équation ne renferme que ao; la deuxième équation ne contient que oq et «i, etoo étant connu, elle donne ai qui n'y entre qu'au premier degré; la troisième équation ne contient que ao, ai, aj, et ao et ai étant connus, elle donne as qui n'y entre qu'au premier degré; et ainsi de suite.

Remarquons, en effet, que, si l'on effectue le développement de

(aoX«-+- aiar^-i-H ol^^i'"-^ -\- . . .-+- a/.r'»-''-|-. . .-H «;,)'«,

a/ ne peut appartenir à aucun terme dont le degré en x soit plus élevé que (m — i)n-\-n — io\i que m/i — i (303). Les i premières équations d'identité (il y en a en tout m/i + i on p-hi) ne contiendront donc pas a/. Quant à la (i-f-iy*'°* équation, elle renferme a, au premier degré; car, dans le développement ci-dessus, il n'y a qu'un seul terme du degré mn — i par rapport à x, et il a pour expression (306)

a/j:«-'(ao.r«)'«-* ou niOLiOL'^'~^ .1'»'^-^

Pi P/«-l

323. 5** Chercher, par la me'thode des coefficients indéterminés, les conditions pour que le pofynôtne

Ao-t-s -h Al ./•* -4- Aj.r -H A3 soit, un cube parfait.

La racine cubique, supposée exacte, de ce polynôme est de la forme ooXH- ai. On posera donc

Ao-r' H- Ai^' H- Aî-r -+- A3

On a, par suite, pour conditions d'identité,

a3 = Ao, 3a5air=Ai, Baya} = As, a} = A3.

On déduit des deux premières

Oo -- ^Ao et ai ~ -— . = — = — - — .

La racine cubique du polynôme donné est ainsi

Al v^

V^Ao^*

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SÔQ

Les deux autres relations d'identité sont les équations de conditions cherchées. En remplaçant ao et ai par les valeurs précédentes, elles deviennent

c'est-à-dire

(I) Aî= 3A«A„