P(A — X)=:PA-^PX
les deux membres de cette égalité ont donc la même limite (334).
Hais, puisque X a pour limite A, le premier membre a pour limite zéro (336), et il en est de même du second. On a, par conséquent,
lim(PA-PX) = o ou limPX = PA.
3M. II. La limite de la différence de deux quantités variables est égale à la différence des limites de ces quantités.
Soient X et Y les deux quantités variables, /| et /} leurs limites, a et |3 les différences qui existent à un instant donné
286 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
entre X et Y et leurs limites, différences qui sont des infiniment petits (336). On a d'abord
X = /i H- a et Y = /j H- (3, d'où
A la limite, a et {3 s*annulent, et il reste
lim(X - Y) ^ /,-/,.
342. III. La limite de la sorhme de n quantités variables est égale à la somme des limites de ces quantités j poun>u que n soit un nombre /ini.
Considérons les n quantités variables X, Y» Z, . . ., dont les limites sont /i, /|, l^, • . . .
Les différences /i— X, /j — Y, /s — Z, ... sont des infiniment petits (336).
La somme de ces n différences est moindre que n fois la plus grande d'entre elles, que nous désignerons par a; mais, la limite de a étant zéro, il en sera de même de celle du produit n(x (340) et, a fortiori, de celle de la somme des n différences considérées. On peut donc poser
lim[(/, — X) -f- (/, - Y) -f- (/, - Z) -4- . . .] = o
ou
lim[(/i -4- /î -h /, -h. . .) — (X H- Y 4- Z H-. . .)] = o,
c'est-à-dire
lim(X4- Y -+-Z-}-. . .) = ^ + 'f -t-^j-^-
Ainsi, la limite d'une somme est la somme des limites de ses parties,
La démonstration et le théorème seraient en défaut, si n n'était pas un nombre fini. L'Algèbre l'indique en donnant au produit wa, pour /? =:oo, la forme indéterminée oc x o {Alg, élém., 119).
On le voit d'ailleurs bien simplement, en partageant un nombre donné a en n parties égales. On a alors, quel que soit n,
a=: — I 1 h... (/ifois).
Si Ton fait croître indéflniment /i, la limite de chaque partie
algèbue supérieure. ^S'j
est zéro, et la limite de leur somme est cependant toujours égale à a,
3W. IV. La limite du produit de n /acteurs variables est égale au produit des limites de ces facteurs, pourvu que n soit un nombre fini.
Soient X, Y, Z, . . ., W les n facteurs variables, et /i, /„ hj «••« Uj leurs limites respectives. En désignant par a, ^, y, . . ., V les différences qui existent à un instant donné entre ces facteurs et leurs limites» et qui sont des inOniment petits (336), on peut poser les égalités
En multipliant toutes ces égalités membre à membre, il vient
XYZ. . . W =1 (/, -f- a) (/, + (3) (/, + y). . .(/„ -+- V).
Le second membre de cette dernière égalité contient un nombre de termes représenté par 2*» {Alg, élém,, 29). Le premier de ces termes est évidemment l^lfl^. . . /„. Tous les autrès tennes, en nombre égal à a'» — i, renferment au moins un des infiniment petits a, (3, y, ..., v, et tendent, par conséquent, vers zéro quand les facteurs variables tendent vers leurs limites (336, 3&.0). Il en est donc de même de leur somme, à la condition expresse que 2'* — i ou n soit un nombre fini (3^2). On a alors, à la limite,
limXYZ...W= /,/,/,.../«.
344. V. La limite du quotient de deux quantités variables est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur.
Désignons par li et /s les limites des quantités variables X et Y; soient Z leur quotient à un instant donné, et X sa limite.
De régalité
on déduit
