X-YZ

On a donc (343)

limX = limYlimZ,

c'est-à-dire

/, — /jX ou ^ — 7*

SW. VI. La puissance entière d'une quantité variable a pour limite la même puissance de la limite de cette quantité^ pourvu que l'exposant de la puissance soit un nombre fini.

Soient X la quantité variable élevée à la puissance /? et / la limite de X.

X'' étant le produit de p facteurs égaux à X, la limite de X'' sera le produit des p limites de ces facteurs, c'est-à-dire /'', puisqu'on suppose p fini (343). On aura donc

\\m\P = IP — {\\m^)p.

346. VII. La racine d'une quantité variable a pour limite la même racine de la limite de cette quantité.

Soit X la quantité variable, dont on a à prendre la racine

m**'"«; soient / la limite de X et X la limite de V^. On a identiquement

Cv/x)'".-x.

Les deux membres de cette égalité étant constamment égaux ont des limites égales (334). On a donc, en appliquant le théorème précédent (345) au premier membre,

X"'^/ ou X = 'v^.

On voit que m doit être un nombre fini.

347. Ce qui précède permet de généraliser le théorème VI et de rétendre aux cas où Texposant de la puissance considérée e^i fractionnaire ou négatif.

Soit d'abord la quantité variable X dont la limite est /. Dé-

signons par X la limite de X'~ ou de "s/Xp (140).

La limite de X'' étant Ip (345), la limite de VX^ sera V^' (346). On aura donc