VII. Si, à partir d'un certain rang, le rapport

est constamment supérieur à un nombre fixe k plus grand que I , la série est convergente; si ce rapport est constamment inférieur à un nombre fixe k plus petit que i , la série est divergente.

Dans la première hypothèse, la condition

log~ log/i

conduit successivement {Alg. élém., 353, 2&k, 80, 350) aux relations

log — > A log/ï, log — > log/i*, — > /i*.

On peut donc écrire

Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de Ua, inférieurs aux termes de la série

qui est convergente puisque A: est > i (377, 3»), La série proposée est, par suite, elle-même convergente

ÀLGÈBKE SUPÉRIEURE. 3lC)

Dans la seconde hypothèse, la condition

log/z conduit successivement aux relations

Jog— < A: logn, log — < logwS - < /i*.

On peut donc écrire

"n > ,;-, » "«^, > (Ti^rri^' "'-« > (^:~^ ' • ■ • •

Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de «„, supérieurs aux termes de la série

qui est divergente, puisque A: est < i (377, 3'»). La série proposée est, par suite, elle-même divergente (370).