hi (7-H1)* (7+0' (7-+-O* c'est-à-dire à
quantité qui est une fraction proprement dite.
L'égalité supposée conduirait donc à admettre qu'un nombre entier peut être égal à un autre nombre entier augmenté d'une fraction proprement dite, ce qui est absurde. Cette égalité ne saurait donc subsister, et la limite de la série convergente que nous étudions, ne pouvant être un nombre commensurable, est nécessairement un nombre incommensurable.
C'est ce nombre incommensurable qu*on désigne en Mathématiques par la lettre e.
On a ainsi
=:Iim ( i-h -
\ I 1.2 1.2.3 ' * ' 1 .2.3. . . n M)â. Quand on s'arrête inclusivement au terme
ou au terme Ug, on conserve q -+- 1 termes dans la série. Le reste R^+i de la série peut alors se mettre sous la forme
^*'~' 1.2.3...^ L^ -h I (7-Hi)(7-i-2) (^-Hi)(^-+-2)(74-3) "'J' et l'on a, la parenthèse étant inférieure à - d'après ce qu'on
vient de voir (401),
Rtf^i < —
^q-hl
On retrouve, par cette autre voie, pour la limite supérieure de l'erreur commise en s'arrêtant dans la série à un certain terme, le même résultat qu'au n* 400.
4.03. Calcul de e, — Proposons-nous d'effectuer le calcul de e, de manière à obtenir cj nombre incommensurable, dont nous connaissons déjà la partie entière (401), avec neuf décimales exactes.
Nous déterminerons alors, avec dix décimales, chacun des termes que nous devrons conserver dans la série, et nous ferons en sorte que Terreur commise sur chacun d'eux soit inférieure à une demi-unité du dixième ordre décimal, par excès ou par défaut. Lorsque Terreur sera par excès, nous l'indiquerons par un point placé au-dessus du dernier chiffre du terme calculé.
Nous obtiendrons ainsi le Tableau ci-après, qui montre comment on doit déduire chaque résultat du précédent et qui prouve qu'il faut s'arrêter dans la série, eu égard au degré d'approximation demandé, au i4® terme inclusivement, puisque le i5« terme, et les suivants a fortiori, ne peuvent donner aucune unité du dixième ordre décimal.
Les trois premiers termes 2,5oooo ooooo
4" terme
5« terme
6° terme
7" terme
8*» terme
Qf terme
10" terme
lî® terme
1 2<^ terme
i3® terme
i4® terme
I de { o, 16666 66667
\ du 4° terme o,o4i66 66667
4 du 5« terme o,oo833 33333
\ du 6« terme o,ooi38 88889
I du 7* terme 0,00019 84127
\ du 8" terme 0,00002 48016
J- du 9® terme 0,00000 27657
^ du 10*» terme 0,00000 02766
i*j- du II® terme 0,00000 00261
j^ du 12* terme 0,00000 00021
j^ du 13® terme 0,00000 00002
Le calcul représenté par ce Tableau est entaché de deux erreurs.
La première est une erreur par défaut, qui répond aux termes négligés dans la série. Puisque nous en conservons les i4 premiers termes, le reste correspondant Ru est moindre
(W2) que -^ Wj, ou que
i3 1.2.3... II. ia.i3 8095 1 270400
c'est-à-dire, a fortiori, moindre que
ou que le huitième d*une unité du dixième ordre décimal,
La seconde erreur provient de la manière même dont nous avons dirigé le calcul, en faisant sur chaque nombre du Tableau une erreur moindre qu'une demi-unité du dernier ordre, par excès ou par défaut.
En comptant les points on voit que, de ce fait, on a commis par excès une erreur moindre que 4i unités du dernier ordre, tandis que, j[>ar défaut. Terreur est moindre qu'une unité du même ordre.
On est donc assuré, en ajoutant la première et la seconde erreur, que Terreur commise sur le dernier chiffre décimal 6 de Texpression obtenue est une erreur par excès qui ne peut dépasser 4 unités du même ordre. Par conséquent, en négligeant ce dernier chiffre, dont la valeur vraie peut varier, d'après ce qu'on vient de dire, de 2 à 6, on est certain d'obtenir la valeur de e par défaut, avec neuf décimales exactes et, très probablement, à moins d*une demi-unité du neuvième ordre décimal*
Cette valeur est donc
En calculant la valeur de e avec vingt décimales exactes, on trouve, en effet,
La valeur de e, avec neuf décimales, est facile à retenir.
les chiffres qui suivent 2,7 formant la date 1828 deux fois répétée.
Introduction de la variable x dans la série e, Wk. La série e n'est qu'un cas particulier de la série
IH
Celte dernière série est convergente, quel que soit x^ pourvu que sa valeur soit déterminée. Elle donne, en effet,
dont la limite est alors zéro, pour n=:oo.
