II II II

Le reste de la série, au delà du troisième terme, est donc inférieur à la limite de la somme des termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée, qui a pour premier

terme -i et, pour raison, -> c'esl-à-dire à 2^ ^ 2

La limite de la série est, par conséquent^ inférieure à 2 -

ou au nombre 3.

Il reste à prouver que cette limite est un nombre incommensurable.

Admettons, pour un instant, qu'elle soit égale à un nombre

commensurable -• On aurait alors évidemment, p ei g étant

des entiers, p I 1 I 1

-=iH 1 1 T -H -■

■+-Z r: ^: r: r: rr -+-

.yH-i (^ + i)(v-+-2; ('/H-i)(7-^2)(y-H^)

Multiplions les deux membres de cette égaWié supposée par le produit 1 .2.3. . .<7. Le premier membre deviendra le nombre entier /?.i .2.3. . .(^7 ~ i). Dans le second membre, tous les

termes, depuis i jusqu'à la fraction 5 > se transfor-

meront en nombres entiers dont on représentera la somme par l'entier N, et le multiplicateur de la parenthèse se trouvera réduit à l'unité. On aura donc fmalement

Mais, à partir du second terme, les différents termes de la parenthèse du second membre sont respectivement inférieurs aux fractions

(gTTy' {(/-hiy' (7H-0''

La parenthèse elle-même est donc inférieure à la limite de la somme des termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée,